Методом наименьших квадратов
Зависимость измеряемой величины у от условий опыта х может быть найдена графически, если нанести значения х и у на миллиметровую бумагу и построить плавную кривую так, чтобы точки равномерно распределились по обе стороны кривой
(рис. 1). Задача состоит в том, чтобы по результатам опытов построить такую кривую у = f(x), относительно которой разброс (отклонения) экспериментальных точек был бы минимальным.
Tеория вероятности показывает, что наилучшее приближение к истинной зависимости у = f(x) дает кривая, построенная методом наименьших квадратов. В этом случае сумма квадратов отклонений экспериментальных значений уi от кривой у = f(x) будет минимальна. Отсюда и происходит название данного метода обработки результатов эксперимента.
1. Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для случая, когда между измеряемыми величинами хиу существует линейная зависимость
. (1)
Рис. 1. Метод наименьших квадратов
Пусть в результате эксперимента получено п различных значений величины уi, соответствующих различным значениям величины хi . Найдем коэффициент b,при котором экспериментальные точки уi будут иметь наименьшие отклонения Δуi относительно прямой.
Отклонение каждого значения уi от прямой у = bх будет
. (2)
Составим сумму квадратов отклонений:
(3)
Отклонение (разброс) измеренных значений уi от функции у = f(x) будет минимальным, если
(4)
Дифференцирование (3) по переменной b (предположив, что все остальные величины постоянны) с учетом (4) дает
или 
(5)
Отсюда определяем искомый коэффициент b.
(6)
2. В случае линейной зависимости между величинами х и у, которая аппроксимируется прямой, не проходящей через начало координат,
y = a + bx, (7)
коэффициенты а и b могут быть вычислены по формулам
 |  | ||
(8)
Пример: предположим, что мы провели эксперимент и получили данные, которые занесли в табл. 1.
Таблица 1
| Номер измерения i | |||||
| xi | 1,0 | 1,9 | 3,1 | 4,0 | 4,9 |
| yi | 1,6 | 2,5 | 3,0 | 3,7 | 4,6 |
Для упрощения расчетов составим вспомогательную таблицу и заполним ее.
Таблица 2
| Номер измерения i | xi | yi | xi уi | xi2 |
| 1,0 | 1,6 | 1,6 | 1,0 | |
| 1,9 | 2,5 | 4,75 | 3,61 | |
| 3,1 | 3,0 | 9,3 | 9,61 | |
| 4,0 | 3,7 | 14,8 | 16,0 | |
| 4,9 | 4,6 | 22,54 | 24,01 | |
| Σ | 14,9 | 15,4 | 52,99 | 54,23 |
Рассчитаем коэффициенты а и b
 | ||
 |
Таким образом, уравнение прямой будет выглядеть следующим образом: у = 0,928 + 0,722 х .
Для построения отрезка прямой линии найдем две точки,
у1= 0,928. Вторую точку получим, подставив в уравнение прямой значение х, равное, например, 5.
у2 = 0,928 + 0,722 5 = 4,538 .
На листе миллиметровой бумаги проведем оси координат, причем ось у проведем вертикально, а ось х – горизонтально.
Рис. 2
Выберем и нанесем на оси координат масштаб так, чтобы наши экспериментальные точки располагались на графике наилучшим образом – занимали на графике максимальную площадь. Нанесем на график экспериментальные точки и две точки у1и у2, рассчитанные нами (рис. 2). Для обозначения экспериментальных и «теоретических» точек используем разные обозначения (кружки, крестики, треугольники и т. п.).
Через две «теоретических» точки проведем отрезок прямой линии. При правильных расчетах линия пройдет на графике наилучшим образом, так, что экспериментальные точки будут располагаться справа и слева от прямой. Все построения желательно делать карандашом.
Список рекомендуемой литературы
1. Братухин Ю. К. Обработка результатов измерений: учеб. пособие / Ю.К.Братухин, Г.Ф.Путин, – Пермь.: Изд-во Перм. гос. ун-та, 1988.– 44 с.
2. Колесниченко В.И. Обработка и представление результатов эксперимента. / В.И.Колесниченко – Пермь; – Перм.. гос. техн. ун-т, 2000. – 74 с.
3. Сборник методических рекомендаций к лабораторным работам по физике. 1. Механика: учеб.пособие / под ред. В.М. Коровина, – Перм. гос. ун-т. – Пермь, 1997.- 87 с.
4. Зайдель А.Н. Ошибки измерений физических величин: учеб. пособие / А.Н.Зайдель. – Л.: Наука, 1985.– 108 с.
5. Общий физический практикум. Механика / Под ред. А.Н. Матвеева, Д.Ф. Киселева. – М.: Изд-во МГУ, 1991.– 272 с.
6. Савельев И. В. Курс физики. Т. 1. Механика : учеб. пособие / И.В. Савельев. – М.: Наука, 1989.– 496с.
7. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.1.: учеб. пособие / Д.В.Сивухин. – М.: Наука, 1989.– 576 с.
8. Общая физика. Ч.2. Молекулярная физика и термодинамика: учеб. пособие / под ред. Ю.Л. Райхера, Перм. политехн. ин-т. – Пермь, 1998. – 81с.
Содержание
Основные правила работы в лабораториях кафедры прикладной
физики……………………………………………………………………3
Введение в обработку результатов измерений… ………………….....6
Лабораторная работа № 1. Статистика времени реакции человека….16
Лабораторная работа № 2. Определение плотности твердого тела….19
Лабораторная работа № 3. Измерение ускорения свободного
падения с помощью машины Атвуда…………………………………23
Лабораторная работа № 4. Маятник Обербека……………………….32
Лабораторная работа № 5. Физический маятник…………………….44
Лабораторная работа № 6. Определение момента инерции тел
методом колебаний. Теорема Штейнера……………………………..52
Лабораторная работа № 7. Изучение прецессии гироскопа…………63
Лабораторная работа № 8. Определение коэффициента вязкости
жидкости методом Стокса…………………………………………….70
Лабораторная работа № 9. Измерение коэффициента трения………81
Лабораторная работа № 10. Исследование упругих колебаний…… 89
Приложение……………………………………………………………96
Список рекомендуемой литературы……………………………… 100