Традиционные модели неточности и неопределенности

Традиционно используются два средства представления неполноты данных: теория вероятностей и теория ошибок [98-100].

Сегодня теория вероятностей – вполне разработанная математическая теория с ясными и общепринятыми аксиомами. Основная из них – аксиома аддитивности вероятностей совместных событий. Споры вокруг теории вероятностей касаются ее интерпретации: какого рода действительность хотят выразить с помощью этой математической модели? Исторически ею пользовались в основном для «подсчета шансов» в азартных играх, причем вероятность события определялась отношением числа благоприятных исходов к числу возможныхисходов. Недостаточная строгость этого определения породила школу частотной интерпретации вероятности, в которой вероятность рассматривается как предел частот наблюдаемых событий. Третья, так называемая субъективистская школа, попыталась избежать трудностей приложений теории, с которыми сталкиваются «частотники» (требований достаточного числа наблюдений, повторяемости экспериментов и т.д.), предложив интерпретацию вероятности как меры неуверенности. Значение вероятности при этом понимается как число, пропорциональное сумме, которую субъект согласится заплатить в том случае, если высказывание, являющееся по его утверждению истинным, в действительности окажется ложным. Было показано, что подобным образом определенная мера неуверенности подчиняется аксиомам теории вероятностей, если только поведение субъекта удовлетворяет условиям «рациональности» (Сэвидж) [98]. Исходя из этого «субъективисты» стали утверждать, что аксиомы Колмогорова – единственные рациональные условия для оценки чувства неуверенности. Субъективные вероятности не позволяют проводить различия между этими двумя уровнями информированности и представляются малопригодными в ситуациях, когда информации мало. В вероятностной модели особенно плохо учитывается предельный случай полного незнания, поскольку в ней всегда предполагается заданным множество взаимно независимых событий, которым в силу принципа максимума энтропии приписываются равные вероятности (в конечном случае). Тогда идентификация всех этих событий исключена и кажется спорным, что значения неопределенности, связанные с этими событиями, зависят от числа рассматриваемых альтернатив, как в случае вероятностей.

С практической точки зрения очевидно, что числа, назначаемые субъектами для вероятностного описания уровня их информированности, должны рассматриваться как приближенные оценки. Теория субъективных вероятностей не затрагивает этот тип неточности и полагает, что «рациональный индивидуум» должен в результате процедур оценивания задавать точные числа.

Отметим также, что теория вероятностей представляется слишком нормативной для выражения всех аспектов субъективного суждения. Теория же ошибок [99, 101], часто используемая в физике, отражает лишь неточность средств измерения, выраженную в интервальной форме, в величинах, оцениваемых с помощью этих средств. То есть, в математическом плане определяется образ отображения, аргументы которого суть подмножества. Теория ошибок не признает вариантов: если неизвестно точное значение параметра, то точно известны пределы его изменения. Заметим, что когда задана мера неточности величины , то предложения типа: « принадлежит интервалу- будут естественным образом характеризоваться с помощью модальностей «возможно» и «необходимо», так как:

1) если пересечение непусто, то « », возможно, истинно;

2) если , то « » с необходимостью истинно.

Здесь выявляются связи между этими модальностями и теорией множеств: возможность оценивается с помощью теоретико-множественногопересечения содержаний и двух высказываний: « » и « », а необходимость вычисляется, исходя из отношений вложенности.

Принцип «все или ничего» - характерная черта теории ошибок[98], тогда как в теории вероятностей учитываются оттенки, градации неопределенности. Это вводит определенные различия между ними. Теория вероятностей не обобщает теорию ошибок, поскольку распределение вероятностей для функции равномерно распределенных случайных переменных (вероятностный аналог интервала ошибки) в общем случае не является равномерным, поэтому здесь предлагается вариант канонического обобщения теории ошибок, позволяющий учитывать оттенки неопределенности.

Часто оказывается, что неточность типа ошибки измерения присутствует в самой серии испытаний, проводимых для определенияслучайного явления. В этом случае без введения дополнительных гипотез не удается представить полученную информацию в чисто вероятностнойформе, так как основная гипотеза, обеспечивающая применимость теории вероятностей в математической статистике, состоит в том, что пространство испытаний необходимо поставить во взаимно однозначное соответствие с пространством событий [46]. С каждым событием связывается множество его реализаций (непустое, если только данное событие не является невозможным), и для любой пары различных событий существует, по крайней мере, одно испытание, в котором одно событие исключает другое. Эта гипотеза позволяет разбить достоверное событие на элементарные события, каждое из которых соответствует какой-то реализации. При обработке статистических данных это приводит к предположению о существовании такого разбиения множества реализаций, что результат всякого эксперимента можно будет сопоставить с одним, и только одним элементом этого разбиения, т.е., результат- есть элементарное событие.

Можно отыскать такие ситуации, в которых гипотеза о разбиении испытаний не справедлива. Например, если измерения дают интервалы ошибок, то вообще мало шансов сопоставить их с непересекающимися классами реализаций. Физик часто оказывается в противоположной ситуации: ему требуется получить пересекающиеся интервалы, порожденныенезависимыми измерениями, чтобы иметь возможность с помощью проверки уменьшить ошибку измерения. Отсюда видно, что даже в случае «объективных» повторяющихся явлений не всегда можно напрямую применять теорию вероятностей. Вероятностная модель приспособлена к обработке точной, но распределенной по реализациям информации. Как только возникает неточность в отдельной реализации, модель становится неприменимой.

В то время как вероятности были приспособлены к обработке точных, но противоречивых результатов испытаний, меры возможности станут естественным средством для построения баз знаний, хотя и неточных, но согласованных.

Меры неопределенности

Рассмотрим множество событий, связанных с базой неточных и неопределенных знаний, понимаемых как подмножества универсального множества , называемого достоверным событием. Предполагается, что каждому событию можно поставить в соответствие действительное число , задаваемое субъектом – «хранителем» базы знаний (или получаемое с помощью процедуры переработки информации, хранящейся в памяти информационной системы). Значение оценивает степень уверенности, имеющейся у субъекта по отношению к событию с учетом текущего уровня информированности. По определению величина растет с увеличением уверенности. Более того, если - достоверное событие, то полагают , а если -невозможное событие, то полагают .

Имеем и . (7.1)

Однако (соответственно ) вообще говоря, не означает, что непременно является достоверным (соответственно, невозможным) событием.

Наиболее слабая аксиома для обеспечениянекоторого минимума согласованности при определении функции множества , которую можно себе представить - это монотонность по включению

(7.2)

Эта аксиома выражает следующее: если событие влечет за собой другое событие , то всегда имеется, по меньшей мере, столько же уверенности появления , сколько в появлении .

Такие функции множества были предложены Сугэно [21] для оценки неопределенности под названием нечеткие меры. Кофман А. [102] предложил термин «оценка». Мы принимаем здесь название мера неопределенности.

Следует напомнить, что эти функции множества не являются обычными мерами, поскольку они могут не быть аддитивными, за исключением специально оговоренных случаев.

Если - бесконечное множество, то можно ввести условие непрерывности в виде

(7.3)

для любой последовательности вложенных множеств вида

или

Будем предполагать, что мера неопределенности удовлетворяет условию (7.3)

по крайней мере для одной из двух указанных последовательностей вложенных множеств.