Нечёткие множества: субъективность и неточность

Излагается общая точка зрения, основанная на понятии субъективности и неточности. Применение теории нечётких множеств к представлению неточных понятий было изложено в работах Goguena J.A., [34].

Наиболее убедительным аргументом Goguena J.A. является теорема представимости из его диссертации, утверждающая, что любая система, удовлетворяющая определённым аксиомам, эквивалентна некоторой системе нечётких множеств. Интуитивно кажется, что система всех неточных понятий удовлетворяет этим аксиомам. Поэтому, на основании теоремы, можно заключить: неточные понятия представимы нечёткими множествами. Теорема представимости математически строго доказывается теорией категорий [35], поэтому понятиям «система», «эквивалентно», «представлено» - придан самый точный смысл.

Множество, рассматриваемое в абстрактной, то есть классической, нечёткой теории множеств, определяется, как совокупности объектов, имеющих, некоторое общее свойство Р. Относительно природы каждого объекта в ней не делается никаких специальных предположений. Например, множество A можно определить как множество улиц:

А = {x|x есть улица}.

Что можно сказать о классе длинных улиц, является ли оно множеством в обычном смысле. Для этого нужно спросить - какова длина длинной улицы. Если улица длиной в милю, то чем она отличается от улицы в 0.5 мили, то есть, мы не знаем, как ответить на эти вопросы. Потому что выражение «улица длинная», относящееся к классу длинных улиц, не образует множество в обычном смысле. Фактически к такому размытому, нечетко определенному типу, относится большинство классов объектов реального физического мира. То есть, четких критериев принадлежности реальных объектов к тому или иному классу - не существует. Реальный объект не обязательно должен либо принадлежать, либо не принадлежать какому-либо классу, но возможны и промежуточные степени принадлежности. Отсюда и возникает понятие о нечетком множестве как о классе с континуумом (мощность множества) степеней принадлежности. Теория нечетких множеств ЗадеЛ. является обобщением ТНМ, [12-17]. Другими словами, она включает в себя абстрактную теорию - как частный случай. Все определения, теоремы, доказательства и т.д., ТНМ, всегда справедливы и для четких множеств. Поэтому, по сравнению с теорией абстрактных множеств, теория нечетких множеств имеет более широкую область применения при решении задач, в той или иной степени, включающих субъективную оценку. Интуитивно, НМ - это класс, к которому имеется возможность принадлежать.

Пусть Ω = {x} – это пространство объектов. Тогда НМ А в пространстве Ω называется множество упорядоченных пар A = {(x, µ_A(x))}, x Ω, где µ_A(x) - называется «степенью принадлежности объекта x к множеству А». Для простоты будем предполагать, что µ_A(x) - это число, принадлежащее отрезку , причем 1 соответствует полной принадлежности к НМ, а 0 - тому, что объект к нему не принадлежит. Предположим так же, что мы располагаем возможностью сравнения истинности двух нечетких утверждений: «x А» и «y А» и что точное отношение, полученное в результате такого сравнения, удовлетворяет минимальным требованиям согласованности – рефлексивности и транзитивности; при этом знак >= имеет смысл, по крайней мере «столь же истинно, как и», а знак <= - «не так истинно, как».

В своей философской работе Black M. [36] различает 3 типа неточности:

1. неопределенность, когда некоторое понятие применимо к множеству разнообразных ситуаций;

2. неоднозначность, когда оно описывает несколько различимых подпонятий;

3. неясность, когда нет точно определенной границы понятия.

НМ, таким образом, служит представлением всех 3 типов неточности. Неопределённость имеет место, когда универсальное множество состоит более чем из одной точки. Неоднозначность присутствует всякий раз, когда функция принадлежности имеет более одного локального максимума. Неясность соответствует тому факту, что функция принадлежности принимает значения отличные от 0 и 1. Таким образом, неоднозначность и неясность предполагают существование в универсальном множестве некоторого понятия близости или соседства. Рассмотрим несколько примеров НМ.

Пример 1:

Рассмотрим класс всех действительных чисел, много больших 1. Это множество можно определить как:

A = {x|x – действительное число и x 1}.

Однако по упомянутым выше причинам такое множество нельзя считать вполне четко определенным. Субъективно это множество можно задать с помощью функции принадлежности µ_A(x), такой что µ_A(x) = 0, при x<= 1 и µ_A(x) = , при x> 1, которая показана на рис. 2.1:

µ_A

x_i

log

Рис. 2.1.Функция принадлежности µ_A(x).

По своему существу задание функции принадлежности к НМ субъективно и отражает контекст, в котором рассматривается задача. Однако, несмотря на эту субъективность, функция принадлежности к НМ А не может быть произвольной. Будет полнейшей ошибкой задавать функцию принадлежности в виде:

µ_A(x) = , где x<= 1 и µ_A(x) = 0, при x> 1.

Точно так же непригодна функция

µ_A(x) = 0, где x<= 1 и µ_A(x) = , при x> 1, которая монотонно убывает с ростом x при x> 1 и функция µ_A(x) = 0 x<= 1 и µ_A(x) = , при x> 1, которая, хотя монотонно и возрастает, становится ~ 1 уже при x=1,1. Которая удовлетворяет неравенству µ_A [0,1] при всех x Ω и находится в согласии с определением множества А. Такие функции называют недопустимыми функциями для нечеткого множества А.

Из предыдущего обсуждения вытекает, что при задании функции принадлежности не следует придавать числовым значениям (кроме 0 и 1) таких признаков как, «короткий», какого либо особого смысла; важным здесь является самоупорядочивание этих значений. Наблюдательные люди согласятся друг с другими, что 1 человек меньше другого, однако и в этом случае слово короткий никогда не будет иметь четко определенного смысла. По терминологии Суппеса П. и Зинеса Дж. [37] степень принадлежности может быть измерена в порядковой шкале.

Морфизм категорий [38] также используется как метод описания измерений соотношений между точностью (мера правильности и важности) (мера ожидаемой полезности) в теории принятия решений, прогнозов погоды, а также соотношений между мнениями нескольких экспертов метеорологов.

Морфизм категорий – термин, используемый для элементов произвольной категории, играющих роль отображений множеств друг в друга, гомоморфизмов групп, колец, алгебр, непрерывных отображений топологических пространств и т.п. Морфизм категории – неопределяемое понятие. Каждая категория состоит из элементов двух классов, называемых классом объектов и классом морфизмов соответственно. Класс морфизмов категории обозначается . Любой морфизм категории имеет однозначно определенное начало – объект и однозначно определенный конец – объект . Все морфизмы с общим началом и концом образуют подмножество класса . Тот факт, что имеет начало и конец , можно записать обычным образом: , или с помощью стрелок и т.п. Деление элементов категории на морфизмы и объекты имеет смысл только в пределах фиксированной категории, т.к. морфизмы одной категории могут быть объектами другой и наоборот. Морфизмы любой категории образуют систему, замкнутую относительно частичной бинарной операции – умножения. В зависимости от свойств морфизма по отношению к этой операции выделяются специальные классы морфизмов, например: мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм, изоморфизм, нулевой морфизм, нормальный монорфизм, нормальный эпиморфизм и т.д. Эпиморфизм – понятие, отражающее алгебраические свойства сюръективных отображений множеств.

Нечеткая алгебра

Определение 1: Нечеткой алгеброй называется система:

Z = <Z,+,*, > , где Z – множество, имеющее хотя бы 2 различных элемента и система Z удовлетворяет следующему набору аксиом:

1. идемпотентность: ;

2. коммутативность: ;

3. ассоциативность: ;

4. поглощение: ;

5. дистрибутивность:

6. дополнение: если то существует дополнение элемента х такое, что ;

7. единичные элементы: такой, что

8. закон Де Моргана, [39]: , (2.20)

Эта система, из 8 аксиом, образует дистрибутивную структуру с единственными единичными элементами относительно операций суммирования (+) и умножения( ). К сведению, булева алгебра [40] так же является дистрибутивной структурой с дополнениями и с единственными единичными элементами, относительно этих же операций. Однако для любого элемента х в булевой алгебре справедливы равенства:

. (2.21)

Данные соотношения для нечеткой алгебры, вообще говоря, не верны. Таким образом, любая булева алгебра является нечеткой, но не наоборот.

В данном изложении мы будем пользоваться конкретной нечеткой алгеброй, которая определяется системой: Z = <[0,1],+,*, > , где в качестве операций сложения и умножения служат соответственно операция взятия максимума и минимума, а дополнение определяется как

.

Единственными единичными элементами служат соответственно 0 и 1, которые при любых x удовлетворяют равенствам:

.

Пусть, как и ранее, Ω = {x} – пространство объектов, а А и В – два нечетких множества в Ω.

В близком соответствии с терминологией Заде, введем следующие понятия:

Равенство А=В определим как А=В .

Нечеткое множество А содержится в множестве В*(А ), тогда и только тогда, когда

Нечеткое множество является дополнением нечеткого множества А, тогда и только тогда, когда

Объединением двух нечетких множеств А и В из Ω назовем множество А+В с функцией принадлежности .

Пересечением двух множеств А и В из Ω назовем множество А В с функцией принадлежности .

Далее, вместо термина,«степень принадлежности переменной к множеству», будем употреблять - термин «нечеткая переменная». Условимся так же опускать символ , то есть, вместо , будем писать x y.

Совершенно очевидно, что, среди бесконечного числа разных способов присвоения переменным степени принадлежности конечному множеству, существует лишь конечное число двоичных способов (то есть, присвоения всем переменным значения 0 и 1). Л. Заде определяет нечеткое отношение R как нечеткое множество упорядоченных пар. Таким образом, если совокупности объектов x и y, то нечеткое отношение из X в Y – это нечеткое подмножество прямого произведения , характеризуемое функцией принадлежности (характеристической функцией) которая каждой паре (x, y) ставит в соответствие «степень принадлежности» к R. Для простоты предположим, что областью значения функции служит отрезок [0,1], а число будем называть силой отношения между x и y.

Областью определения, (domain, domR) нечеткого отношения R, назовем НМ с функцией принадлежности

. (2.22)

Аналогично, областью значений (range, ranR) отношения R, назовем нечеткое множество с функцией принадлежности

. (2.23)

Высотой h(R) – называется число h(R):

(2.24)

Нечеткое отношение называется нормальным, если h(R)=1, и субнормальным, если h(R)<1.

Носителем S(R) отношения R назовем четкое подмножество прямого произведения X×Y, на котором .

Замечание 1: если X и Y – конечные множества, то функцию можно представить в виде матрицы, (x,y) –й элемент которой равен