Перечень базовых операций над множествами

1. Дополнение А. Если X={x₁, x₂, x₃} и A={x₁, x₂}, то А={x₃};

2. Разность А\В. Если A={x₁, x₂} и B={x₂, x₃}, то А\В = {x₁};

3. Пересечение (произведение) если и , то ;

4. Объединение (сумма) если и , то .

На универсальном множестве X= { } любое множество А можно записать так:

, (1.3)

где принимает все значения из подмножества множества натуральных чисел или - множество номеров элементов .

Например: X = { }, при i от 1 до 10 и А = {x₁, x₄, x₆}, можно записать: , где принимает значения 1, 4, 6.

Пусть задано универсальное множество, а в нем определено некоторое пространство, в котором имеется класс множеств.

Аксиома 3: класс множества пространства называется аддитивным, если:

a) всё пространство принадлежит классу;

b) все последовательности вложенных множеств из этого класса, их сумма и произведение принадлежат классу;

c) для множества и его подмножества из этого класса, и их разность - принадлежат классу.

Таким ообразом, признак аддитивности класса: счетное число операций сложения, умножения и вычитания над элементами этого класса, дают результат в том же классе. Например, если пространство равно {x₁,x₂}, то класс всех его возможных подмножеств есть множество подмножеств {{x₁}, {x₂}, {x₁,x₂}} или степенное множество в данном пространстве.

Проверим аддитивность этого класса. В соответствии с аксиомой 3, проверяем условия:

a) в классе множества {{x1}, {x2}, {x1, x2}} имеется элемент {x1, x2} равный пространству {x₁,x₂}, поэтому оно принадлежит классу {{x₁}, {x₂}, {x₁, x₂}};

б) в классе {{x₁}, {x₂}, {x₁, x₂}} имеются две последовательности вложенных множеств: {x₁} {x₁, x₂}, {x₂} {x₁, x₂}, в каждой из них сумма и произведение множеств дают результат в том же классе;

в) в классе {{x₁}, {x₂}, {x₁, x₂}} имеются пары: множество и его подмножество из того же класса -{x₁, x₂} {x₁}, {x₁, x₂} {x₂}; в каждой паре разность множества и подмножества дают результат в том же классе.

Таким образом, условия а), б) и в) справедливы и класс {{x₁}, {x₂}, {x₁, x₂}} является аддитивным.

На множестве действительных чисел R определим интервалы как подмножество , где r_i и r_j – точная и неточная границы интервала соответственно:

r_i r_j R

Класс всех интервалов на множестве не является аддитивным, т.к. для вложенной последовательности множеств, либо множества и его подмножества, результат суммы, либо разности, не будут принадлежать исходному классу (не выполняется условие б) или в) аксиомы 3.

Например, класс I₁, I₂, I₃ является аддитивным, так как его элементы не образуют вложенной последовательности R множеств, сумма которых даст результат в том же классе { }:

I₁ I₂ I₃

не является аддитивным, так как его элементы не образуют вложенной последовательности множеств, сумма которых даст результат в том же классе .

Выполним процедуру расширения класса интервалов путём счётного повторения операций сложения, вычитания и умножения над элементами класса до тех пор, пока расширенный класс не будет удовлетворять условиям аддитивности, в соответствии с аксиомой 3. Тогда вся совокупность, полученных при расширении множеств, называется классом борелевских множеств [18]. Такой класс ещё называется борелевским полем множеств, множествами, измеримыми по Борелю или минимальной алгеброй множеств. Будем обозначать этот класс .

Рассмотрим, на примере, получение борелевского класса. Пусть на множестве R задан исходный класс интервалов { }:

I₁ I₂ I₃ R

Выполним процедуру расширения класса { } в класс {R₁, R₂, R₃, R₄, R₅, R₆, R₇} следующим образом:

R₁ = I₁

R₂ = I₂

R₃ = I₃

R₄ =

R₅ =

R₆ =

R₇ =

Теперь проверим аддитивность полученного класса.

По аксиоме 3 условия аддитивности следующие:

а) в классе {R₁÷R₇} элементы R₁, R₂ и R₃ равны элементам пространства I₁, I₂, I₃ соответственно. Поэтому всё пространство принадлежит классу {R₁ R₇};

в) в классе {R₁÷R₇} имеются шесть последовательностей вложенных множеств, каждое из которых сумма и произведение множеств дают результат в том же классе:

R₁ R₆ R₇; R₃ R₆ R₇;

R₁ R₄ R₇; R₂ R₄ R₇;

R₃ R₅ R₇; R₂ R₅ R₇.

Например, R₁ R₆ = R₆.

с) в классе {R₁÷R₇} имеются пары: множество и его подмножество из того же класса, в каждой паре разность между множеством и подмножеством дает результат в том же классе: R₄ R₁; R₄ R₂; R₅ R₂; R₅ R₃; R₆ R₃; R₇ R₆; R₇ R₄; R₇ R₅; R₇ R₁; R₇ R₂; R₇ R3. Например, R₄ \ R₁ = R_2.

Таким образом, условия аддитивности выполняются и полученный класс – борелевский: В = {R₁÷R₇}.

1.4. Области определения функций

Условиям аддитивности удовлетворяют степенное множество 2^А в некотором пространстве А и борелевский класс В, в пространстве интервалов множества действительных чисел R. Поэтому в теории нечетких множеств существуют дискретная и непрерывная области определения: .

1) Дискретная область определения.

Пусть задано универсальное множество X:

X={x₁,x₂,..,x_i,…,x_n}, i=1÷n. (1.4)

В Х определено пространство А:

. (1.5)

На множестве J номеров элементов пространства А образовано множество К=2^J, т.е. степенное множество. Тем самым, в А построен аддитивный класс 2^А:

(1.6)

Этот класс является дискретной областью определения различных функций в теории нечётких множеств. В частном случае, если А=X, областью определения является 2^X.

2) Непрерывная область определения. Пусть задано универсальное множество R, элементы которого принадлежат множеству r. На R определено пространство интервалов А:

, (1.7)

где I_j - интервал с границами r_j и r_j+1; m, n – границы пространственных интервалов А.

В А построен борелевский класс В:

, (1.8)

где .

Класс В является непрерывной областью определения различных функций в теории нечётких множеств.

3)

Базовые функции.Рассмотрим две одинаковые числовые оси

- числовая функция от х.

Если каждому значению х из (a; b) по какому- нибудь закону или правилу f

поставлено в соответствие одно определенное значение другой величины

, то говорят, что – есть числовая функция от х.

х – аргумент;

(a, b) – область определения функции;

(c,d) – область значений функций.

Например: y = sinx; y = x²;

х – независимая переменная,

у – зависимая переменная от х.

}

Множество точек М (х; у), где , называется графиком функции .

Простейший вид заданного типа функции называется базовой функцией.

Пример, - линейная функция. Базовой функцией будет являться функция .

При построении функции заданного типа предварительно строим график базовой функции.

Пример: Построить график функции .

Перед нами – квадратичная функция. Ее графиком является парабола. Базовой функцией будет являться функция .

Для построения нашей функции выделим полный квадрат:

График нашей функции строится в три этапа:

1. Строим график базовой функции

2. Сдвигаем нашу функцию на влево:

3.

Опускаем график полученной функции на вниз.

График функции

Понятие сложной функции

Для освоения понятия сложной функции введем в рассмотрение промежуточную числовую ось z.

Для примера рассмотрим функцию . Для этой функции, для заданного х, предварительно вычисляется . Для полученного значения z вычисляется . Таким образом, в два приема, для заданного х, мы получили значение . Такое задание от х называется сложной функцией.

– сложная функция от х.

Промежуточных числовых осей может быть несколько.

Например:

Обратная функция

Простейшие функции, изучаемые в средней школе, называются базовыми функциями.

Элементарной функцией будем называть базовую функцию или функцию,

полученную путем четырех арифметических действий из базовых функций, или

взятия сложной функции, последовательно применяемых конечное число раз

.

Говорят, что функция непрерывна в точке ,если выполнены следующие условия:

1. – существует значение функции в точке

2. существуют пределы функции слева и справа при

3. все полученные нами числа должны быть равны между собой.

И записывается это так:

Так как, ,то условие непрерывности примет вид

Для непрерывной функции знак предела и знак функции можно переставлять местами.

Разрывная функция

Конечный скачок

}

скачок

Бесконечный скачок

Устранимый скачок: предел слева равен пределу справа, а в точке значение не существует, или не совпадает с пределами.

В точке значение функции вычислить нельзя, так как на 0 делить нельзя.

Теорема

Всякая элементарная функция непрерывна в области своего определения:

Мера и нечеткая мера

Понятие меры было введено для частных случаев Э. Борелем [18], К. Жорданом [19] и А. Лебегом [20]. В современной теории меры Banon G. формулирует его следующим образом, [11].

Пусть заданы области определения: аддитивный класс 2^x в пространстве X на универсальном множестве X; значения – множество действительных чисел R. Функция множества называется мерой , если выполняются условия {1,2,3}:

1) ограниченность - ;

2) неотрицательность - ;

3) аддитивность - .

В теории нечётких множеств используется понятие «нечеткая мера», на основе которой определяется функция доверия.

Пусть теперь заданы области определения, аддитивный класс 2^А в пространстве А на универсальном множестве X; значения - отрезок [0,1] на множестве действительных чисел.

Функция множества называется нечеткой мерой g:

, если выполняются условия {1,2,3}:

1) ограниченность – g (Ø) = 0, g(x)=1;

2) монотонность – для

3) непрерывность – для A_n 2^A и монотонной последовательности

Тройка называется пространством с нечеткой мерой.