Свойства параболоида вращения

Высота параболоида может быть определена по формуле

Объем параболоида, касающегося дна равен половине объема цилиндра с радиусом основания R и высотой Н, такой же объем занимает пространство W’ под параболоидом (рис.4.5а)

Рис.4.5. Соотношение объемов в параболоиде, касающемся дна.

Wп- объем параболоида,W’ – объем под параболоидом, Hп – высота параболоида

Рис.4.6. Соотношение объемов в параболоиде, касающемся краев цилиндра Hп – высота параболоида., R – радиус сосуда, Wж–объем под высотой жидкости в сосуде до начала вращения, z₀ – положение вершины параболоида, Н - высота жидкости в сосуде до начала вращения.

На рис.4.6а уровень жидкости в цилиндре до начала вращения Н. Объем жидкости Wж до и после вращения сохраняется и равен сумме объема Wц цилиндра с высотой z₀ плюс объем жидкости под параболоидом, который равен объему параболоидаWп с высотой Нп

Если параболоид касается верхнего края цилиндра, высота жидкости в цилиндре до начала вращения Н делит высоту параболоида Нп на две равные части, нижняя точка (вершина) параболоида расположена по отношению к основанию(рис.4.6в)

Кроме того, высота Н делит параболоид на две части (рис.4.6в), объемы которых равны W₂=W₁. Из равенства объемов параболического кольца W₂ и параболической чашки W₁, рис.4.6в

При пересечении поверхностью параболоида днища сосуда (рис.4.7) W₁=W₂=0,5W_кольца

Рис.4.7 Объемы и высоты при пересечении поверхностью параболоида днища цилиндра

Высоты на рис.4.6

объемы на рис.4.6 .

Расположение свободной поверхности в сосуде

Рис.4.8. Три случая относительного покоя при вращении

1. Если сосуд открыт, Po=Ратм (рис.4.8а). Вершина параболоида при вращении опускается ниже начального уровня-Н, а края поднимаются над начальным уровнем, положение вершины

2. Если сосуд заполнен полностью, прикрыт крышкой, не имеет свободной поверхности, находится под избыточным давлением Ро>Ратм, до вращения поверхность (П.П.), на которой Ро=Ратм будет находиться над уровнем крышки на высоте h_0и=М/ρg , H₁=Н+ М/ρg.

3. Если сосуд заполнен полностью, находится под вакуумом Ро<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h_0и=-V/ρg, Н₂=Н-V/ρg ,

4.7. Вращение с большой угловой скоростью (рис.4.9)

При вращении сосуда с жидкостью с большой угловой скоростью силой тяжести можно пренебречь по сравнению с центробежными силами. Закон изменения давления в жидкости можно получить из формулы

(4.22),

Поверхности уровня образуют цилиндры с общей осью, вокруг которой вращается сосуд. Если сосуд перед началом вращения не полностью заполнен, давление Р₀ будет действовать по радиусу r = r₀, вместо выражения (4.22) будем иметь

в котором принимаем g(z₀ - z) = 0,

Рис. 4.9 Расположение поверхностей вращения при отсутствии силы тяжести.

Радиус внутренней поверхности при известных H и h