Краткое описание метода конечных элементов для линейных задач.

Общие положения

Теоретической основой ПК ЛИРА является метод конечных элементов (МКЭ), реализованный в форме перемещений. Выбор именно этой формы объясняется простотой ее алгоритмизации и физической интерпретации, наличием единых методов построения матриц жесткости и векторов нагрузок для различных типов конечных элементов, возможностью учета произвольных граничных условий и сложной геометрии рассчитываемой конструкции. Принципы построения конечно-элементных моделей изложены в главе 9.

Реализованный вариант МКЭ использует принцип возможных перемещений

(1.1)

где u - искомое точное решение; v - любое возможное перемещение;

a (u,v), (f,v) - возможные работы внутренних и внешних сил.

Занимаемая конструкцией область разбивается на конечные элементы W_r, назначаются узлы и их степени свободы L_i (перемещения и углы поворота узлов).

Степеням свободы соответствуют базисные (координатные, аппроксимирующие) функции m_i, отличные от нуля только на соответствующих звездах элементов и удовлетворяющие равенствам

(1.2)

Приближенное решение U_hищется в виде линейной комбинации базисных функций

(1.3)

удовлетворяющей главным (кинетическим) условиям,

где: u_i - числа; N - количество степеней свободы.

Далее излагается МКЭ для линейных задач, поскольку решение нелинейных задач сводится к последовательности линейных.

Подставляя в (1.1) U_hвместоUи m_j (j=l,...,N) вместо V, получим систему уравнений МКЭ:

(1.4)

Обозначив К матрицу жесткости с элементами k_{i, j}=a(m_i, m_j) , P - вектор нагрузок, с элементами P_i =(f, m_i) и Х- искомый вектор с элементами u_i , запишем систему (1.4) в матричной форме

КХ=Р (1.5)

Таким образом, применение МКЭ сводит задачу к системе линейных алгебраических уравнений (1.5).

Решив ее, находим вектор X , затем из (1.3) - остальные компоненты напряженно-деформированного состояния.

Важным преимуществом излагаемого метода является то, что матрицу Ки вектор Рполучают суммированием соответствующих элементов матриц жесткости и векторов нагрузок, построенных для отдельных конечных элементов.

Для МКЭ в перемещениях известны условия сходимости и оценки погрешности. Условиями сходимости являются линейная независимость и полнота системы базисных функций, а также их совместность (конформность), либо условия, компенсирующие несовместность. Совместность означает, что все базисные функции являются возможными перемещениями. Линейная независимость следует из (1.2). Известны легко проверяемые условия, позволяющие установить полноту базисных функций, их совместность или выполнение условий, компенсирующих несовместность. Эти условия имеют вид равенств, которым должны удовлетворять базисные функции на каждом конечном элементе. Такая теоретическая основа позволяет не только исследовать корректность применения известных конечных элементов, но и разработать принципы конструирования новых совместных и несовместных элементов и получить для них оценки погрешности.

Библиотека конечных элементов (БКЭ) содержит элементы, моделирующие работу различных типов конструкций:

· элементы стержней,

· четырехугольные и треугольные элементы плоской задачи, плиты, оболочки,

· элементы пространственной задачи - тетраэдр, параллелепипед, трехгранная призма.

Кроме того, в библиотеке имеются различные специальные элементы, моделирующие связь конечной жесткости, упругую податливость между узлами, элементы, задаваемые численной матрицей жесткости.

Все конечные элементы, включенные в библиотеку, теоретически обоснованы, для них получены оценки погрешности по энергии и по перемещениям. Погрешность по энергии оценивается величиной, пропорциональной h^t, где h – максимальный из размеров конечных элементов, t =2 для прямоугольных и четырехугольных элементов плиты, t =1 для остальных элементов. Погрешность по перемещениям оценивается величиной, пропорциональной h^t, где t=4 для совместных прямоугольных и четырехугольных элементов плиты, t=2 для остальных элементов. Теоретически обоснована также возможность задания криволинейных стержней прямолинейными элементами и произвольных оболочек треугольными и прямоугольными (для цилиндрических оболочек) элементами плоской оболочки. Погрешность по энергии и перемещениям оценивается в этом случае величиной, пропорциональной h.