Влияние давления на уплотнение пористого тела при высоких температурах
Вводные замечания
Многочисленные специально поставленные опыты и обширная производственная практика свидетельствуют о том, что извне приложенное давление всестороннего сжатия ускоряет процесс спекания (уплотнения) пористого тела. Это ускоряющее влияние давления на кинетику спекания в области различных давлении и температур может быть обусловлено различными механизмами деформирования вещества пористого тела.
Приводимые расчеты и оценки выполнены в предположении, что в единице объема равномерно расположено п сферических изолированных пор одинакового радиуса R.
Учитывая лапласовское давление, обусловленное кривизной поверхности поры, и считая, что поры заполнены газом, нерастворимым в веществе матрицы, эффективное давление всестороннего сжатия можно записать в виде
, (6.1)
где Р0 – извне приложенное давление;
– сумма газового и лапласовского давлений:
, (6.2)
где PH и RH – соответственно начальное давление газа в поре и ее радиус.
Определение Р* согласно (6.1) справедливо лишь тогда, когда поры расположены равномерно в объеме тела. Только в этом случае можно действие давления, связанного с каждой из пор, уподобить действию гидростатического давления, приложенного к внешней границе пористого тела.
Следуя идее Маккензи и Шатлворса, поведение пористого тела описывается следующей моделью. Реальное пористое тело заменятся некоторой сферой, в центре которой расположена одиночная пора, а вокруг нее – два концентрических сферических слоя (две зоны): слой беспористого вещества и слой гомогенной среды, свойства которой зависят от свойств собственно вещества и пористости рассматриваемого пористого тела (см. рис. 4.1). В области малых значений Р*,когда пластическая деформация еще не наступила, беспористый слой, окружающий пору, будет деформироваться с помощью механизма квазивязкого течения*). Один определенный механизм деформирования этого слоя будет иметь место и в области больших давлений, превосходящих модуль упругости, когда весь беспористый слой будет перемещаться в полость поры вследствие пластического деформирования. В этих двух предельных случаях кинетику уплотнения естественно описывать в двухзонной модели.
В промежуточной области давлений деформирование различных участков беспористого слоя вокруг поры может осуществляться с помощью различных механизмов: зона, непосредственно примыкающая к поре, деформируется пластически; зона, следующая за ней, – путем квазивязкого течения. Граница между этими зонами будет перемещаться вследствие изменения величины Р* при уменьшении размера поры.
В этой области давлении описание кинетики уплотнения пористого тела может быть выполнено в приближении трехзонной модели (рис. 6.1), предполагающей, что вокруг поры концентрически расположены зона пластичности I, зона квазивязкого течения II и зона гомогенной среды III.
Малые давления. Механизм квазивязкого течения (двухзонная модель)
В области давлений, которые не превосходят предела линейной текучести, когда деформирование кристаллической матрицы осуществляется с помощью диффузионного механизма, справедливо соотношение:
Рис. 6.1. Трехзонная модель пористого тела
(6.3)
Из соотношения (6.3) следует закон:
. (6.4)
Так как экспериментально измеряется изменение плотности
, то влияние давления на усадку удобно характеризовать величиной 
, которая, учитывая (6.3), при ft<<1, определяется соотношением:
. (6.5)
В обсуждаемой области давлений дополнительная усадка, обусловленная давлением, согласно (6.4) должна быть пропорциональна величине давления.
Физическая причина ускоряющего влияния давления на кинетику усадки в этой области давлений, когда непороговые механизмы деформирования не действуют, заключается в следующем. Потоки вакансий от поверхности пор к ближайшим стокам при наличии и отсутствии давления относятся друг к другу, как градиенты концентраций:
. (6.6)
Поскольку
, (6.7)
, (6.8)
то
, (6.9)
и, таким образом, в приближении, не учитывающем зависимость вязкости от пористости, усадка под давлением должна быть усилена в 
раз по сравнению с усадкой при P0 = 0.
Промежуточные давления (трехзонная модель)
В рассматриваемой области давлений, где механизм деформирования матрицы может быть различным в зависимости от расстояния от центра поры, кинетику уплотнения удобно описывать в приближении трехзонной модели (рис. 6.1).
Результаты вычислений для этой области приводят к следующим соотношениям:
, (6.10)
где F0(R) – функция, описывающая кинетику залечивания изолированной поры в среде под давлением,
.
Воспользовавшись тем, что 
, соотношение (6.10) можно переписать в виде:
. (6.11)
В соответствии с физическим смыслом происходящих процессов, уравнение (6.11) описывает кинетику уплотнения, скорость которого со временем (с уменьшением пористости) убывает. Температурная зависимость 
при прочих равных условиях определяется температурной зависимостью величины ss. Эта величина убывает с ростом температуры.
Как это следует из соотношения (6.11), зависимость от числа пор n определяется зависимостью 
от n в меру взаимосвязи R, n и скорости изменения пористости. Очевидно, при = 0 скорость уплотнения от n не зависит.
Используя математический аппарат тензорного исчисления, можно показать, что условие одновременного существования зоны пластического деформирования и зоны квазивязкого течения определяется, с учетом ряда приближений, следующим соотношением:
. (6.12)
Высокие давления. Механизм пластической деформации (двухзонная модель)
Рассмотрим кинетику уплотнения пористого тела под влиянием P0, достаточного для того, чтобы вся матрица деформировалась пластически. Соответствующие кинетические уравнения можно получить, воспользовавшись решением Маккензи и Шатлворса для случая ансамбля пор, расположенных в бингамовской среде, и обобщив его на случай, когда к пористому телу приложено давление всестороннего сжатия. Пороговым напряжением в данном случае является величина ss.
Решение рассматриваемой задачи приводит к следующему соотношению:
. (6.13)
Использовав замену 
, имеем:
, (6.14)
где 
; 
.
После интегрирования имеем:
; 
. (6.15)
Так как lП < lП0 <<1, то из (6.15) после разложения в ряд следует:
. (6.16)
При больших внешних давлениях уравнение (6.16) оказывается справедливым практически до полного уплотнения. Соответственно, время полного уплотнения определяется равенством:
. (6.17)