Залечивание изолированной поры в однородной изотропной среде

Рассмотрим кинетику залечивания изолированной сферической поры, расположенной в однородной изотропной среде. В случае кристаллического тела такой средой по отношению к поре радиуса R является монокристалл, в котором средний линейный размер блока (т.е. γ>>1) или же (т.е. γ<<1).

а) Механизм диффузионно-вязкого течения

Пусть изолированная пора радиуса R расположена в однородной вязкой ньютоновской среде, где деформация происходит при сколь угодно малых напряжениях и скорость деформации пропорциональна первой степени приложенного напряжения ( ). В рассматриваемом случае при заданном значении нормального давления Р_R, приложенного к внутренней поверхности поры, и внешнего давления Р₀ на бесконечности (недостаточного для возбуждения пороговых механизмов деформирования) значение радиальной компоненты тензора напряжений в точке r > R составляет:

(3.1)

и соответственно на поверхности поры:

. (3.2)

В случае, когда пора не содержит газа, – лапласовское давление.

В процессе вязкого течения скорость потока вещества через поверхность сферы радиуса r составляет .

Соответственно радиальная компонента тензора скорости деформации может быть записана в виде

(3.3)

Из (3.1) – (3.3) следует уравнение, которое описывает кинетику уменьшения радиуса поры вследствие процесса вязкого течения:

^. (3.4)

Интегрируя это уравнение с учетом начального условия R = R₀ при
t = 0, получим:

. (3.5)

Из (3.5) следует, что время, в течение которого пора полностью залечивается (т.е. R =0), определяется соотношением:

. (3.6)

В предельном случае малых давлений (P<<2α/R)из (3.5) легко получить закон

, (3.7)

совпадающий с точностью до множителя порядка единицы (перед отношением α/η) с найденным Френкелем. В ином предельном случае, когда , решение уравнения (3.5) для начальной стадии процесса, т.е. до значений R, когда , радиус поры со временем уменьшается по закону

. (3.8)

Из выражения (3.4) следует, что радиус поры уменьшается или увеличивается в зависимости от знака величины . При объем поры будет со временем увеличиваться.

Применительно к кристаллическим телам интерес представляет случай, когда вязкое течение среды осуществляется вследствие самосогласованного изменения формы большого количества блоков, окружающих пору (рис. 3.1, б).При ее залечивании изменение формы блоков происходит в процессе перемещения их центров тяжести по направлению к центру поры. Описываемый процесс может определить кинетику залечивания поры именно в случае, когда радиус поры существенно превосходит средний линейный размер блока. В рассматриваемом случае изолированной поры диффузионно-вязкое преобразование формы отдельного блока должно сопровождаться появлением радиальной текстуры, когда средний размер блоков, примыкающих к поре, уже нельзя характеризовать одной величиной . Вследствие роста блоков в радиальном направлении относительная скорость уменьшается.

Одиночные дислокации, расположенные вокруг поры, перемещаясь в поле напряжений, заданных искривленностью ее поверхности, определяют эффективную вязкость среды . Роль одиночных дислокаций в механизме непороговой диффузионно-вязкой ползучести справедлива и в случае вязкого течения среды в процессе залечивания поры. В частности, может наблюдаться процесс россыпи дислокационных границ, активно происходящий при напряжениях, когда иные источники одиночных дислокации «заперты»; этот процесс при залечивании поры влияет на величину эффективной вязкости.

Изложенные расчеты, и в частности соотношение (3.7), наиболее просто проверялись в опытах, в которых велось наблюдение за «самопроизвольным» уменьшением внутреннего диаметра стеклянного капилляра при высокой температуре. Капиллярный канал является двумерным аналогом сферической поры. Решение задачи об уменьшении диаметра канала капилляра приводит к соотношению, которое отличается от (6.7) множителем порядка единицы перед отношением α/η.

Капилляр – удобный объект для изучения «самопроизвольного» залечивания изолированной поры, так как давление газа внутри канала (двумерная пора) в связи с тем, что он не замкнут, остается неизменным в процессе залечивании и равным внешнему давлению. Опыты выполнялись с капиллярами простого силикатного стекла, нагреваемыми в горизонтальной трубчатой печи.

Во избежание искривления под действием собственной массы образец приводили во вращение с постоянной скоростью 2 об/мин. Диаметр капилляра уменьшался равномерно по длине образца, за исключением краев (рис. 3.2). Экспериментально установленные зависимости R = R(t) при различных температурах использованы для определения вязкости стекла с помощью coотношения

. (3.9)

Вязкость вычисляли в предположении, что поверхностное натяжениене зависит от температуры*). Энергия активации вязкого течения простого силикатного стекла, найденная по температурной зависимости коэффициента вязкости, оказалась равной 370 кДж/моль,что близко к данным, имеющимся к литературе.

Исследована кинетика залечивания цилиндрической поры в металлическом монокристалле (Сu, Ag, Al). Монокристаллические образцы с цилиндрической порой получали тремя различными способами: кристаллизацией расплава вокруг тонкой цилиндрической молибденовой проволоки; протяжкой цилиндрических трубок через фильеры с последующим рекристаллизационным отжигом; спеканием трех проволок, контактирующих вдоль образующих.

Рис. 3.2. Зависимость диаметра капилляра от времени изотермического отжига

Отличительная особенность структуры образцов заключается в том, что цилиндрическая пора не пересекается межзеренными границами, которые соединяют ее поверхность и внешнюю поверхность образца. Пора располагается в мозаичном монокристалле со средним линейным размером блока =5·мкм(рис. 3.3). Типичные кривые зависимости радиуса поры от времени изотермического отжига, полученные в опытах с медными образцами, изображены на рис. 3.4.

Рис. 3.3. Мозаичная структура медного монокристалла, содержащего
цилиндрическую пору. Увеличение 1000^x

На протяжении длительного времени (при Т = 1070 °С, t = 2·10⁵ с) радиус пор в соответствии с (3.8) линейно убывает со временем. По наклону прямолинейных участков на рис. 3.4 можно найти отношение α/η = K, а затем, зная , коэффициент

Рис. 3.4. Зависимость радиуса поры от времени изотермического отжига
(опыты с медными образцами)

самодиффузии , который при Т = 1070° С оказался равным
D =2·10^-9 см²/с, что близко к значению, следующему из непосредственных измерений.

б) Механизм диффузионного растворения поры

Поток вакансий от поверхности поры определяется соотношением

, (3.10)

где ξ_R – концентрация вакансий вблизи поверхности поры,

– средняя концентрация вакансий вдали от поры.

Величина зависит от давления, приложенного к образцу, и от пересыщения, имеющегося в образце в связи с его предысторией (вследствие наличия в образце различного рода дефектов).

Далее, положим, что:

, (3.11)

, (3.12)

, (3.13)

где Δξ – заданное пересыщение в решетке;

Δξ_гр – пересыщение у внешней границы образца, поддерживавмое давлением, приложенным к образцу ( ).

Уравнение (3.10) можно переписать в виде

. (3.14)

Из (3.14) следует, что при данном внешнем давлении и пересыщении, не зависящем от давления, критический радиус поры, способной к росту за счет концентрации на ней избыточных вакансий из пересыщенного раствора вакансий в решетке, равен:

, (3.15)

где R₀^*— критический радиус при отсутствии внешнего давления.

Из (3.15) следует, что при внешнем давлении, когда (при ), критический размер поры равен бесконечности, т. е. все имеющиеся в теле поры будут залечиваться.

Решение уравнения (3.14), с учетом начального условия R = R₀ при
t = 0, имеет вид:

; (3.16)

(3.17)

. (3.18)

В случае малых давлений (P<<2α/R₀ или h<<i/R₀)уравнение (3.16) преобразуется к виду:

(3.19)

и соответственно время полного залечивания

. (3.20)

При больших давлениях (P>>2α/R₀) в уравнении (3.16) следует сохранить лишь первое слагаемое, и уменьшение радиуса поры будет подчиняться закону

. (3.21)

Из (3.21) следует, что при линейные размеры пор не будут изменятся.

Экспериментально соотношение (3.19) проверялось тем образом, что изучалась кинетика залечивания цилиндрических изолированных пор, которые пересекаются межзеренными границами, имеющими выход к внешней границе образца. В этом случае уменьшение объема цилиндрической поры осуществляется вследствие ее повакансионного растворения по всей поверхности с последующим уходом вакансий за пределы образца.

Рис. 3.5. Зависимость R = R(t) для поры, пересекаемой межзеренными границами

Как это следует из рис. 3.5, в этом случае закон выполняется и следующая из опытов температурная зависимость коэффициента самодиффузии удовлетворительно согласуется с результатами прямых измерений.

Из приведенных формул, описывающих кинетику залечивания поры, в соответствии с физическим смыслом рассмотренных механизмов следует, что относительная роль каждого из них оказывается преобладающей при различных предельных значениях безразмерного параметра γ. Действительно, имея в виду случай малых внешних давлений, можно, воспользовавшись формулами (3.7) и (3.19), показать, что

, (3.22)

где и — соответственно скорости уменьшения радиуса поры в случае механизма диффузионно-вязкого течения и механизма диффузионного растворения.

Из (3.22) следует, что при γ>>1, т.е. когда большая пора окружена дисперсными элементами структуры (рис. 3.1, б), определяющим будет механизм вязкого течения. Когда γ<<1 и малая пора оказывается расположенной практически в одном блоке (рис. 3.1, а), преобладающим оказывается механизм диффузионного растворения.

Механизм вязкого течения, осуществляющийся путем самосогласованного диффузионного преобразования формы блоков и путем переползания дислокаций, и механизм диффузионного растворения существенно различны. В частности, перемещение границы поры при механизме вязкого течения сопровождается соответствующим смещением внешней границы образца, что, вообще говоря, не сразу происходит при механизме диффузионного растворения, когда пора может “повакансионно” раствориться ранее, чем начнут изменяться внешние размеры образца (или блока, в котором она расположена). Это произойдет при условии, когда , где L – среднее расстояние от поры до ближайшего стока, т.е. когда время залечивания τ меньше характерного времени диффузии вакансии к стоку t* . Учитывая (3.19), получим оценку нижней границы L:

, (3.23)

Из этой оценки следует, что пора с R₀ = 10^{-5 м,} расположенная в центре сферического монокристалла меди, размер которого L= 0,1 м, при предплавильной температуре (ξ₀ = 10^-4 – 10^-3; T = 1,4×10³ °C) полностью растворится, прежде чем линейные размеры сферы начнут сокращаться.