Принадлежность точки поверхности
Точка, принадлежащая многограннику.
В многограннике точка может принадлежать вершине, ребру или гране.
Если точка принадлежит ребру многогранника, то определение ее положения сводится к решению задачи по принадлежности точки прямой.
Если точка принадлежит грани многогранника, то определение ее положения сводится к решению задачи принадлежности точки плоскости где за плоскость принимается грань многогранника.
При решении задач следует записывать обозначение проекции точки, лежащей на невидимой для наблюдателя грани, в скобках, например, (E2) на рис. 71а. На рис. 71а задана проекция (E2), т.е. точка E располагается на грани ADS четырёхгранной пирамиды, невидимой относительно фронтальной плоскости проекции. Для нахождения горизонтальной проекции проводится прямая S-1 в грани BCS через вершину S, на горизонтальной проекции которой и лежит E1.
Рис. 71
На рис. 71б задана проекция F2, т.е. точка F располагается на грани BCS правильной четырёхгранной пирамиды, видимой относительно фронтальной плоскости проекции. Для нахождения горизонтальной проекции проводится в грани BCS прямая, параллельная стороне AD основанияпирамиды. На горизонтальной проекции этой прямой и лежит F1.
На рис. 71в задана проекция (G2), т.е. точка G располагается на грани 1-2-BA наклонной призмы, видимой относительно фронтальной плоскости проекции. Для нахождения горизонтальной проекции проведена в грани 1-2-BA прямая, параллельная ребрам призмы. На горизонтальной проекции этой прямой и лежит G1.
У прямой призмы (рис. 71г) боковая поверхность занимает горизонтально-проецирующее положение, поэтому горизонтальные проекции K1 и L1 определяются с помощью вертикальных линий связи на следах граней.
Точка, принадлежащая телу вращения.
На рис. 72 приведены примеры изображения некоторых тал вращения на эпюре Монжа: прямой круговой конус (рис. 72а); наклонный круговой конус (рис. 72б); прямой круговой цилиндр (рис. 72в); наклонный круговой цилиндр (рис. 72г).
Рис. 72
Если очерки для тела вращения (кроме сферы) называются в зависимости от плоскости проекций на которую оно спроецировано (горизонтальная, фронтальная и профильная), то для сферы (рис. 73) эти очерки носят специфические названия (по аналогии с глобусом):
- очерк на π2 – главный (нулевой) меридиан;
- очерк на π1 – экватор;
- очерк на π3 – профильный меридиан.
Для построения точек на поверхностях используются образующие, проходящие через эти точки.
На рис. 72а задана проекция точки (А2), т.е. точка А располагается на невидимой стороне прямого кругового конуса относительно фронтальной плоскости проекций. Для нахождения горизонтальной проекции проводится образующая S-1, на горизонтальной проекции которой и лежит А1.
На рис. 72б задана проекция В1 точки В, лежащей на видимой стороне наклонного кругового конуса относительно горизонтальной плоскости проекций. Для нахождения фронтальной проекции проводится образующая S-2, на фронтальной проекции которой и лежит В2.
У прямого кругового цилиндра (рис. 72в) боковая поверхность занимает горизонтально-проецирующее положение, поэтому горизонтальные проекции С1 и D1 определяются с помощью вертикальных линий связи на следе боковой поверхности.
Рис. 73
На рис. 72г заданы проекции Е2 и (F2) точек Е и F расположенных соответственно на видимой и невидимой сторонах наклонного цилиндра относительно фронтальной плоскости проекций. Для нахождения горизонтальных проекций проводятся образующие, параллельные очерковым боковой поверхности на которых находятся горизонтальные проекции этих точек Е1 и F1.
Для нахождения точек на поверхности сферы используют дополнительные широты и удаления от оси вращения.
На рис. 74 задана проекция G2 точки G, лежащей ниже экватора на видимой стороне сферы относительно фронтальной плоскости проекций. Для нахождения горизонтальной проекции: вначале строится дополнительная широта, проходящая через заданную точку, а затем по инварианту принадлежности определяется горизонтальная проекция точки (G1).
Рис. 74
Следует отметить, что проекция точки на горизонтальной плоскости проекций не видима, т.к. точка G располагается ниже экватора.
Профильная проекция точки G3 определяется по горизонтальной линии связи и удалению от оси вращения (см. рис. 74). Проекция G3 видима потому, что фронтальная проекция точки G2 находится правей фронтальной проекции профильного меридиана.
Задача 1. Определить недостающие проекции точек, принадлежащих многогранникам.
Варианты заданий приведены в табл. 12 и табл. 13.
В общем случае задача решается для каждого многогранника в отдельности следующим образом.
1. Согласно варианта задания определяются исходные данные (табл. 12 и табл. 13), необходимые для построения многогранника и проекции точки принадлежащей его поверхности.
2. По координатам точек строится исходный эпюр.
3. Выбирается способ определения недостающей проекции точки (рис. 71).
4. Производится решение задачи на эпюре.
Пример. Определить недостающею проекцию точки К2, принадлежащей поверхности призмы .(рис. 75). Исходные данные: наклонная призма [А(50; 10; 0), В(80; 20; 0), С(60; 40; 0), D(10; 35; 50) Е(40; 45; 50) и F(20; 65; 50)]; проекция точки К(35; 30; …) невидимая.
Рис. 75
Решение. По координатам точек строятся очерк наклонной призмы и горизонтальная проекция точки К1. Учитывая, что проекция точки К1 невидима, следовательно, точка К принадлежит гране ACFD.
Для нахождения фронтальной проекции точки К2 проводится лучше всего использовать способ рис. 71в.
В грани ACFD,используя проекцию точки К1,строится прямая, параллельная ребрам призмы. На фронтальной проекции этой прямой и лежит К2.
Задача 2. Определить недостающие проекции точек, принадлежащих телам вращения.
Варианты заданий приведены в табл. 12 и табл. 14.
В общем случае задача решается для каждого тела вращения в отдельности следующим образом.
1. Согласно варианта задания определяются исходные данные (табл. 12 и табл. 14), необходимые для построения тела вращения и проекции точки принадлежащей его поверхности.
2. По исходным данным строится исходный эпюр.
3. Выбирается способ определения недостающей проекции точки (рис. 72 или рис. 74).
4. Производится решение задачи на эпюре.
Пример. Определить недостающею проекцию точки К1, принадлежащей поверхности сферы. Исходные данные: сфера диаметром 70 мм с центром О(45; 40; 40); проекция точки К(60; …; 20) видимая.
Решение. По координатам центра и численного значения диаметра строятся очерк сферы (рис. 76). Используя координаты точки на эпюр наносится фронтальная проекция точки К2.
| Рис. 76 |
Таблица 12
Варианты поверхностей
| № тела | Тип тела | Параметры для вычерчивания очерка |
| Гранные поверхности | ||
| Наклонная призма | А(110; 15; 0), В(55; 10; 0), С(80; 55; 0), D(55; 25; 50), Е(0; 20; 50), F(25; 65; 50). Основания призмы ∆АВС и ∆DEF параллельны плоскости проекций π1 | |
| Наклонная призма | Вершины - А(55; 15; 0), В(0; 10; 0), С(25; 55; 0), D(110; 25; 50), Е(55; 20; 50), F(80; 65; 50). Основания призмы ∆АВС и ∆DEF параллельны плоскости проекций π1 | |
| Призма прямая | Вершины - А(100; 15; 0), В(60; 75; 0), С(20; 40; 0), D(100; 15; 65), Е(60; 75; 65), F(20; 40; 65). Основания призмы ∆АВС и ∆DEF параллельны плоскости проекций π1 | |
| Призма прямая | Вершины - А(10; 40; 0), В(80; 10; 0), С(100; 75; 0), D(10; 40; 70), Е(80; 10; 70), F(100; 75; 70). Основания призмы ∆АВС и ∆DEF параллельны плоскости проекций π1 | |
| Четырехгранная пирамида | Вершины - А(35; 15; 0), В(85; 20; 0), С(110; 50; 0), D(45; 75; 0), S(10; 40; 60). Основания пирамиды четырехугольник АВСD параллельный плоскости проекций π1 | |
| Четырехгранная пирамида | Вершины - А(10; 15; 0), В(60; 20; 0), С(85; 45; 0), D(20; 75; 0), S(120; 45; 60). Основания пирамиды четырехугольник АВСD параллельный плоскости проекций π1 | |
| Правильная пирамида | Вершины - А(30; 15; 0), В(10; 55; 0), С(50; 75; 0), D(70; 35; 0), S(40; 45; 80). Основания пирамиды четырехугольник АВСD параллельный плоскости проекций π1 | |
| Правильная пирамида | Вершины - А(10; 35; 0), В(30; 75; 0), С(70; 55; 0), D(50; 15; 0), S(40; 45; 80). Основания пирамиды четырехугольник АВСD параллельный плоскости проекций π1 | |
| Тела вращения | ||
| Прямой круговой конус | Основание конуса круг радиусом R=40 мм, лежащее в полкости проекций π1. Центр О(60; 50; 0). Вершина конуса S(60; 50; 85) |
Окончание табл. 9
| № тела | Тип тела | Параметры для вычерчивания очерка |
| Наклонный круговой конус | Основание конуса круг радиусом R=35 мм, лежащее в полкости проекций π1. Центр О(95: 45 0). Вершина конуса S(20; 70; 90) | |
| Наклонный круговой конус | Основание конуса круг радиусом R=35 мм, лежащее в полкости проекций π1. Центр О(45; 45; 0). Вершина конуса S(115; 75; 90) | |
| Прямой круговой цилиндр | Верхнее и нижнее основания цилиндра круг радиусом R=35 мм, располагаются параллельно плоскости проекций π1. Центры: О(70: 45; 0); О*(70; 45; 85) | |
| Наклонный круговой цилиндр | Верхнее и нижнее основания цилиндра круг радиусом R=30 мм, располагаются параллельно плоскости проекций π1. Центры: О(100; 35; 0); О*(35; 80; 80) | |
| Наклонный круговой цилиндр | Верхнее и нижнее основания цилиндра круг радиусом R=30 мм, располагаются параллельно плоскости проекций π1. Центры: О(40; 35; 0); О*(110; 70; 80) | |
| Сфера | Радиус сферы R=35 мм. Центр сферы О(60; 40; 40) |
Таблица 13
Варианты заданий по теме «Принадлежность точки многограннику»
| Вариант 1 | ||||
| № тела | ||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(65; ...;25) видимая | L(35; …; 50) невидимая | T(70; 40; …) видимая | V(35;35; …) видимая |
| Вариант 2 | ||||
| № тела | ||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(55; 45; ...) невидимая | L(60; …; 35) видимая | T(80; 40; …) видимая | V(55;40; …) видимая |
| Вариант 3 | ||||
| № тела | ||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(50;40; …) невидимая | L(80; …; 35) невидимая | T(40; …; 20 видимая | V(40;…: 30) видимая |
| Вариант 4 | ||||
| № тела | ||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(50; 45; ...) видимая | L(60; …; 60) невидимая | T(80; …; 20) невидимая | V(30;…: 40) видимая |
| Вариант 5 | ||||
| № тела | ||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(60; ...;35) невидимая | L(90; …; 50) видимая | T(30; 50; …) невидимая | V(50;…: 35) невидимая |
| Вариант 6 | ||||
| № тела | ||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(50; ...; 35) видимая | L(95; …; 40) невидимая | T(80; …; 15) видимая | V(50;30; …) невидимая |
| Вариант 7 | ||||
| № тела | ||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(60; ...;30) невидимая | L(30; …; 10) невидимая | T(50; …; 15) невидимая | V(50;55; …) видимая |
Продолжение табл. 13
| Вариант 8 | ||||
| № тела | ||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(50; 40; ...) невидимая | L(30; …; 35) видимая | T(80; 40; …) видимая | V(20;…; 15) видимая |
| Вариант 9 | ||||
| № тела | ||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(30; 35; …) невидимая | L(35; …; 20) видимая | T(70; 65; …) видимая | V(50;…; 35) невидимая |
| Вариант 10 | ||||
| № тела | ||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(70; …; 30) невидимая | L(40; …; 55) невидимая | T(80; 40; …) видимая | V(20;…: 15) невидимая |
| Вариант 11 | ||||
| № тела | ||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(30; ...;35) видимая | L(40; …; 50) невидимая | T(60; …; 10) видимая | V(40;60; …) видимая |
| Вариант 12 | ||||
| № тела | ||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(80; 30; ...) невидимая | L(80; …; 35) невидимая | T(50; …; 10) невидимая | V(40;30: …) видимая |
| Вариант 13 | ||||
| № тела | ||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(85; 35; …) видимая | L(50; …; 50) невидимая | T(70; 40; …) невидимая | V(55;…: 20) видимая |
| Вариант 14 | ||||
| № тела | ||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(70; …; 30) невидимая | L(55; …; 45) видимая | T(80; 55; …) невидимая | V(50;40; …) видимая |
| Вариант 15 | ||||
| № тела | ||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(40; ...; 25) невидимая | L(80; …; 50) видимая | T(40; …; 25) невидимая | V(35;35; …) невидимая |
Таблица 14
Варианты заданий по теме «Принадлежность точки телу вращения»
| Вариант 1 | |||||
| № тела | |||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(40;…;10) невидимая | L(50;…;55) видимая | Т(80;…;30) видимая | V(60;40;…) невидимая | G(45;…25) невидимая |
| Вариант 2 | |||||
| № тела | |||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(80;…;15) видимая | L(50;30;…) видимая | Т(90;…;60) невидимая | V(50;…;40) невидимая | G(75;…;25) невидимая |
| Вариант 3 | |||||
| № тела | |||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(40;30;…) видимая | L(70;…15) видимая | Т(50;…;50) видимая | V(60;50;…) невидимая | G(45;65;…) невидимая |
| Вариант 4 | |||||
| № тела | |||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(70;…;40) видимая | L(60;…;30) невидимая | Т(45;…;80) невидимая | V(90;40;…) видимая | G(70;55;…) невидимая |
| Вариант 5 | |||||
| № тела | |||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(50;…;40) невидимая | L(50;…;55) невидимая | Т(60;…;45) видимая | V(80;70;…) видимая | G(70;…;40) видимая |
| Вариант 6 | |||||
| № тела | |||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(40;70;…) видимая | L(90;…;45) невидимая | Т(90;…;65) видимая | V(55;25;…) видимая | G(40;40;…) невидимая |
Продолжение табл. 14
| Вариант 7 | |||||
| № тела | |||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(60;…;30) видимая | L(70;…15) невидимая | Т(55;…;45) видимая | V(65;50;…) невидимая | G(70;…;60) видимая |
| Вариант 8 | |||||
| № тела | |||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(60;…50) невидимая | L(60;…;30) видимая | Т(55;…25) невидимая | V(50;45;…) невидимая | G(40;20;…) видимая |
| Вариант 9 | |||||
| № тела | |||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(80;30;…) видимая | L(60;65;…) видимая | Т(85;…;75) невидимая | V(50;…;45) невидимая | G(50;…;65) невидимая |
| Вариант 10 | |||||
| № тела | |||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(50;…;20) видимая | L(90;…;45) видимая | Т(95;…20) невидимая | V(85;35;…) невидимая | G(70;15;…) невидимая |
| Вариант 11 | |||||
| № тела | |||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(80;…;15) невидимая | L(80;…;25) видимая | Т(85;…;75) невидимая | V(90;55;…) видимая | G(70;…;20) видимая |
| Вариант 12 | |||||
| № тела | |||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(80;70;…) видимая | L(90;60;…) невидимая | Т(45;…;80) видимая | V(70;…;50) видимая | G(45;…;25) видимая |
Продолжение табл. 14
| Вариант 13 | |||||
| № тела | |||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(50;…;50) видимая | L(60;65;…) невидимая | Т(90;…;10) видимая | V(80;…;45) невидимая | G(40;55;…) видимая |
| Вариант 14 | |||||
| № тела | |||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(75;…;25) невидимая | L(85;55;…) видимая | Т(40;…;40) невидимая | V(90;…;45) невидимая | G(70;55;…) видимая |
| Вариант 15 | |||||
| № тела | |||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(35;35;…) видимая | L(80;…;25) невидимая | Т(45;…;30) видимая | V(90;25;…) видимая | G(75;…;20) невидимая |
| Вариант 16 | |||||
| № тела | |||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(70;…;50) видимая | L(80;70;…) невидимая | Т(50;…;70) видимая | V(100;…;45) видимая | G(80;30;…) невидимая |
| Вариант 17 | |||||
| № тела | |||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(50;…;35) невидимая | L(75;35:…) видимая | Т(55;…;55) невидимая | V(45;…;40) невидимая | G(65;…;60) видимая |
| Вариант 18 | |||||
| № тела | |||||
| Координаты и видимость проекции точки | К(70;25;…) видимая | L(70;…;40) невидимая | Т(60;…;25) видимая | V(55;55;…) видимая | G(70;…;60) невидимая |