Оптимизация процесса коррекции траектории космического аппарата

Рассмотрим возможность применения комбинированного метода к задаче оптимизации процесса однопараметрической кор­рекции траектории космического аппарата.

Обозначим через величину прогнозируемого конечного прома­ха в момент, непосредственно предшествующий i -му корректирую­щему импульсу, отнесенному к среднему квадратичному отклонению априорного промаха; через — расчетную величину i -го корректирующего импульса скорости, отнесенную к среднему квадратичному отклонению ошибки, его реализации, через — производную по направлению . Обычно убывает по мере движения КА. Тогда после отработки i-ro импульса получим

где представляет собой ошибку реализации i -ro корректирующе­го импульса. Будем считать, что = 0 при = 0. При - центрированная случайная гауссовская величина с единичной дис­персией. Задача оптимизации процесса коррекции состоит в опре­делении последовательности , включая опре­деление самих моментов коррекции, обеспечивающей достижение требуемой конечной точности, характеризуемой условием

при минимальном расходе топлива, оцениваемом величиной

Число коррекций N и величина в соотношение (5.22) считают­ся заданными. Так как от моментов коррекции зависят лишь коэф­фициенты , то задачу определения оптимальных моментов кор­рекции, т. е. задачу оптимального распределения корректирующих импульсов вдоль траектории наведения, будем трактовать как за­дачу отыскания оптимальной последовательности .

Для решения задачи обратимся к комбинированному методу оптимизации.

Согласно поэтапной оптимизации решение задачи может быть проведено в два этапа. На первом этапе при фиксированном В пу­тем минимизации критерия (5.53) по последовательности , с учетом (5.52) отыскивается алгоритм оптимальной коррекции и функция

представляющая собой по сути дела зависимость потребного для достижения заданной конечной точности расхода топлива от мо­ментов проведения коррекции.

На втором этапе находится оптимальное распределение коррек­тирующих импульсов путем минимизации функции по после­довательности . Для решения задачи первого этапа воспользуемся методом множителей Лагранжа.

Введем в рассмотрение обобщенный критерий оптимальности

Пусть управление, минимизирующее приданном .

Нетрудно показать, что если найдется такой множитель >0, что будут одновременно выполнены условия

то управление будет оптимальным в задаче первого этапа. Действительно, из определения следует

откуда для всех и, если . Таким образом, для определения алгоритма оптимальной коррекции до­статочно минимизировать но последовательности обобщен­ный критерий оптимальности последующим выбором множителя а из условия .

Минимизация критерия может быть проведена с помощью ос­новного рекуррентного соотношения метода динамического про­граммирования

при граничном условии

Для определения множителя необходимо произвести анализ конечной точности при найденном согласно (5.54) алгоритме кор­рекции, т. е. установить зависимость от . С этой целью может быть использовано рекуррентное соотношение

при граничном условии

Искомая зависимость определится соотношением

Для решения задачи второго этапа необходимо установить зависи­мость . Это может быть сделано с помощью рекуррентного соотношения

при граничном условии

Так как функция характеризует зависимость ожидаемого расхода топлива при оптимальном корректировании от текущего состояния , то, очевидно,

Для окончательного решения задачи остается минимизировать функцию по В. Для простоты ограничимся рассмотрением случая одноимпульсной коррекции. Предположим, что единствен­ная коррекция производится в момент i = N. Воспользовавшись ре­куррентным соотношением (5.54), с учетом (5.51) получим

где

Осуществляя операцию минимизации по для случая , по­лучаем

Минимальное значение функции при этом оказыва­ется равным

где

Аналогично для случая

Объединяя полученные результаты, заключаем, что оптимальный алгоритм коррекции в момент i—N имеет вид

Здесь Δ_N — величина, определяемая условием

т.е.

Таким образом, алгоритм оптимальной коррекции является су­щественно нелинейным. Он имеет зону нечувствительности и явля­ется линейным вне этой зоны.

Функция потерь при найденном алгоритме может быть представлена в виде

В соответствии с изложенной выше методикой для определения множителя , входящего в алгоритм (5.57) через параметр , необходимо установить зависимость от . Для этого, как уже говорилось, воспользуемся рекуррентным соотношением (5.55), полагая i = N. Будем иметь

или, принимая во внимание алгоритм (5.57),

где

Так как рассматривается случай одноимпульсной коррекции, то в соответствии с принятыми обозначениями представляет со­бой величину нормированного априорного промаха, который имел бы место без коррекции траектории. Полагая, что является центрированной случайной величиной с нормальным законом рас­пределения и единичной дисперсией и производя осреднение выра­жения (5.50) по i, получим искомую зависимость от :

Введем условные обозначения для следующих интегралов:

Эти интегралы легко выражаются через табличные интегралы ве­роятностей, а именно,

Здесь

С учетом принятых обозначений получаем

или

Соотношение (5.60) и устанавливает зависимость от множи­теля Лагранжа , а данном случае через параметр Δ_N, который свя­зан с следующим образом:

Каждому значению или, что то же самое, Δ_N соответствует свое значение . Приравнивая величине , получаем уравнение для определения (или Δ_N) :

К сожалению, аналитически решить уравнение относительно Δ_N не удается. Решение можно получить численными методами или графически, построив зависимость от Δ_N. Характерно, что эта зависимость является монотонно возрастающей, в чем нетрудно убедиться, рассмотрев производную

Это означает, что решение уравнения (5.61), если такое суще­ствует, единственное. Это решение, естественно, зависит от пара­метра B_N, определяемого в свою очередь моментом проведения коррекции. С целью определения оптимального момента коррекции установим связь ожидаемого расхода топлива от величины B_N.

В соответствии с рекуррентным соотношением (5.56) имеем

где

Производя осреднение полученного выражения по x_N, как и выше, получаем

или

Из (5.62) видно, что ожидаемый расход топлива однозначно определяется все теми же параметрами Δ_N и B_n. Минимизируя (5.62) по B_N с учетом (5.61) найдем оптимальное значение, а сле­довательно, и оптимальный момент проведения коррекции, обеспе­чивающие минимум ожидаемому расходу топлива при достижении требуемой конечной точности. Беря производную от (5.62) с уче­том (5.61) и приравнивая ее к нулю, получим

причем

Учитывая это, нетрудно получить следующее алгебраическое урав­нение второй степени относительно B_N:

где через обозначено отношение:

Уравнение имеет единственный положительный корень

Последнее соотношение совместно с условием (5.61) и определяет оптимальное значение коэффициента B_N, обеспечивающее минимум ожидаемого расхода топлива при достижении требуемой конечной точности. Уравнение (5.61) целесообразно решать графически.

С этой целью достаточно построить зависимости , и . На основании зависимости по заданному значе­нию определяется величина , а по зависимостям , и найденной величине — оптимальное значение B_N и со­ответствующее значение . Указанные зависимости можно пере­строить, исключив вообще из рассмотрения параметр . В резуль­тате получим явные зависимости оптимальных значений B_N и от величины , определяющей заданную конечную точность.