Классическая форма метода наименьших квадратов

В настоящее время метод наименьших квадратов нахо­дит самое широкое применение при построении оценок параметров движения летательных аппаратов и, в первую очередь, при опре­делении орбит космических аппаратов. Поэтому в данном разделе вначале излагается общая (классическая) идея метода наимень­ших квадратов [6, 29], а затем приводится его изложение примени­тельно к задаче определения оценок состояния космических аппа­ратов [17].

Введем модель измерений в виде:

где у_i — l-мерный вектор измерений, реализуемых в момент t_i, — нелинейная вектор-функция, связывающая вектор измеряемых ве­личин с вектором оцениваемых параметров. Например, в задаче определения состояния космического аппарата в качестве оцени­ваемых параметров могут быть приняты параметры его орбиты: экс­центриситет, наклонение и т. д. Таким образом, в отличие от приве­денных выше постановок задачи оценивания состояния динамиче­ской системы постановка задачи при использовании метода наи­меньших квадратов предполагает, что оцениванию подлежит не­который r-мерный вектор неизвестных параметров — вектор ошибок измерений, относительно которых предполагается, что математическое ожидание этих ошибок равно нулю во все мо­менты времени. Никакой другой априорной информации о векторе оцениваемых параметров а и ошибках измерений в принципе не требуется.

Предположим, что измерения проведены в моменты i = 0, 1, 2, ..., N, так что в нашем распоряжении оказывается выборка из (N+1) векторов измерений у_i. Введем вектор раз­мерностью (N+1)l×1. Тогда модель измерений для выборки из N+1 векторов yi может быть записана в виде

Из (3.134) следует

Будем искать оценку а* вектора параметров а из условия минимума скалярного критерия по а*:

или, с учетом (3.135)

Необходимое условие минимума J по а*

представляет собой систему из r уравнений для определения оценок а* r-мерного вектора а.

Уравнения (3.138) — нелинейные алгебраические, и их корни в общем случае следует искать численными методами. Необходимым условием существования решения системы (3.138) является требо­вание, чтобы ранг матрицы частных производных равнялся r, поскольку в противном случае система (3.138) будет неопре­деленной. Итак, в уравнениях (3.138) компоненты вектора а* вы­ступают уже не как «истинные» значения оцениваемых параметров, а как варьируемые величины, среди которых есть и искомые оцен­ки. Таким образом, в отличие от описанных выше рекуррентных байесовских алгоритмов оценивания алгоритм наименьших квадра­тов в его классической форме описывает способ получения оценок по полной выборке, т. е. путем одновременной обработки всей мас­сы накопленных к данному моменту измерений. Подчеркнем также, что алгоритм наименьших квадратов не требует никаких априорных статистических сведений о динамической системе и ошибках изме­рений, кроме предположения о том, что среднее значение ошибок измерений равно нулю.

К недостатку алгоритма наименьших квадратов в приведенной выше форме следует отнести прежде всего сложность вычисления оценок, поскольку система (3.138), будучи нелинейной, может иметь в общем случае бесчисленное множество корней.

Перейдем к описанию той интерпретации метода наименьших квадратов, которая используется для определения оценок парамет­ров движения космических аппаратов. В этом случае в качестве вектора оцениваемых параметров а может быть принят, как уже говорилось, вектор оскулирующих элементов орбиты q или вектор неизвестных начальных условий движения аппарата . В дальней­шем [29] будем полагать, что задача оценки состояния летательно­го аппарата при использовании метода наименьших квадратов сво­дится к оценке неизвестных начальных условий его движения в мо­мент . Предполагается также, что располагаем системой диффе­ренциальных уравнений движения, позволяющих определять вектор состояния аппарата в любой момент при известных началь­ных условиях. Следующим важным предположением является допу­щение, что между измеряемыми величинами и оцениваемыми пара­метрами движения существует линейная связь, т. е.

где — поправка, которая вносится за счет измерений в оцени­ваемый n-мерный вектор начальных условий ; — отклонения измеряемых параметров от так называемых расчетных значений (невязка измерений):

Здесь — фактическое значение измеряемого параметра в мо­мент ; — расчетное значение измеряемого параметра в мо­мент , определяемое на расчетной (опорной) траектории, соответ­ствующей расчетным значениям начальных условий ;

матрица l×n частных производных измеряемых параметров по компонентам вектора х₀, вычисленная для опорной траектории.

В общем случае ошибки измерений характеризуются не только своим средним значением, но и разбросом относительно него, т. е. дисперсиями. Если дисперсии ошибок измерений известны при проведении соответствующих траекторных измерений, то их учиты­вают в алгоритме наименьших квадратов путем формирования критерия качества оценок в виде квадратичной формы

где — так называемая весовая матрица, представляющая собой матрицу, обратную корреляционной матрице вектора ошибок измерений :

В (3.141) — матрица размерности (N+1)l× (N+1)l. Введем те­перь обозначение

n× (N+l)l. Тогда с учетом критерия вида (3.140),.модели измере­ний (3.139) и введенных обозначений необходимое условие (3.138) минимума критерия по оцениваемым параметрам примет вид

откуда

где

В выражениях (3.144), (3.145) — оптимальная оценка попра­вок к начальным условиям, определенная по выборке y^N.

Система уравнений (3.143) представляет собой систему линей­ных алгебраических уравнений, которую можно решать, например, методом Гаусса.

При определении состояния космических аппаратов алгоритм наименьших квадратов используют многократно, в итерационном цикле, когда в качестве опорной траектории на k-й итерации ис­пользуется траектория, задаваемая начальными условиями, полу­ченными путем вычисления оценок на (k-1)-й итерации и т. д.

Таким образом, на k-й итерации имеем

где — соответственно оценка начальных условий и по­правка, соответствующая k-й итерации; оценка начальных условий на (k-1)-й итерации. Процесс продолжается до тех пор, пока поправки на некоторой k-й итерации не окажутся по всем компонентам меньше некоторых наперед заданных величин. Точность получаемых оценок вектора может быть определена из следующих соображений. Для выборки измерений объемом (N+1)l (3.139) принимает вид

где соответствуют (3.134), (3.142), (3.145). Умножим (3.146) слева и справа на :

или с учетом (3.144)

Здесь —«истинные» значения поправок к расчетным значениям начальных условий, откуда ошибка оценки

и корреляционная матрица ошибок оценки

Диагональные элементы матрицы представляют со­бой апостериорные дисперсии компонент вектора .