Построение интегрального показателя качества.

Предположим, что выбранная функция I=f(r₁, r₂, … r_i, …r_k) является линейной комбинацией частных показателей, тогда

=α₁ α₂ α_n

При чем коэффициенты α неизвестны, тогда при условии линейности и относительного характера интегрального показателя выбор обобщенной функции возможен при следующих условиях:

1) Интегральный показатель качества существует и имеет один и тот же вид во всем интервале изменения;

2) Принцип компенсации, когда малое изменение одного показателя может компенсироваться изменением другого, если это допущение не выполняется, то область существования интегрального показателя необходимо разбить на части, где эти условия будут выполнены.

Для нахождения вида функции J заменим приращение Δr дифференциалами:

=α₁ α₂ α_n

Затем проинтегрируем

=α₁ α₂ α_n

Неопределенный интеграл

α₁ α₂

Константу интегрирования С

α₁ α₂

C= α₀

И для интегрального показателя качества мы получим выражение в виде произведения:

I= …

I=

В этом выражении I- интегральный показатель качества, постоянный множитель, неизвестные коэффициенты.

2.3. Определение коэффициентов α.

Для определения коэффициентов часто используют экспертный метод, когда с помощью экспертных оценок используют качественные характеристики объекта.

Таким образом, каждому частному показателю мы ставим в соответствие некоторое число р_i, которое характеризует относительное качество каждого объекта для эквивалентов объекта это число р тождественно равно 1.

Определим показатели качества в виде отношения некоторых показателей качества для всей совокупности качества объекта, т.е. представим как

=

Тогда используя это выражение, запишем:

=

Прологарифмируем и получим тогда:

= * + * +…+ *

Если эти логарифмы обозначить как , как , тогда запишем

= + +…+

Получим линейное выражение. Таким образом, интегральный показатель качества можно представить в виде системы выражений:

= + +…+

i=1…l

В зависимости от соотношения между числом частных показателей n и числом комбинаций ρ (уровней), между l и n.

Получаем, что:

1) если l-1=n, тогда все ρi известны, а система решается методом нормализации;

2) если l-1≠n, ρi неизвестны, тогда система уравнений преобразуется в систему неравенств, решение которых дает области решений значение коэффициентов α.

Выбор моделей

Виды моделей

Истинной моделью называют такую, которая адекватно отражает экспериментальные результаты. При выборе моделей обычно используют следующие критерии:

1) адекватность;

2) простота.

Если из двух моделей, которые адекватны, с требуемой точностью эксперимента выбирают ту, которая проще.

Поэтому построение модели начинают с более простой, критерий адекватности выбирают в качестве отношения дисперсии адекватности к дисперсии воспроизводимости:

В организации эксперимента различают 3 типа моделей:

1) регрессионная модель;

2) полиномиальная;

3) факторная.

Регрессионная модель

Модель вида y=b₀* f₀ ( )+ b₁* f₁ ( )+…+ b_m* f_m ( ) называют регрессионной моделью, здесь b₀ b₁ …b_m неизвестные постоянные коэффициенты, f₀ f₁ … любые сколь угодно сложные, но вычисляемые функции.

Если вид функции известен f₀, f₁, f_m, то задача построения модели сводится к нахождению неизвестных b₀, b₁, b_m в уравнении регрессии.

Главное, что неизвестные коэффициенты регрессионной модели всегда линейны. Если модель не является регрессионной y= b₀* тогда соответствующим преобразованием нужно привести ее к регрессионному виду, самое здесь простое логарифмирование:

=

z= +

z= +

3.3. Полиномиальная модель.

Частный случай регрессионной модели, когда функцией факторов являются полиномами факторов.

y= + + + + +

Представляем эту функцию в виде полинома. В полиноминальной модели следует изучать факторность и порядок моделей. Факторность – число факторов модели, а порядок модели – это максимальная степень полинома.

При большом числе факторов число коэффициентов значительно возрастает, особенно при увеличении числа факторов.

m n

Поэтому всегда следует ограничивать число коэффициентов, необходимо выбрать такую модель, чтобы она имела не более 10-12 коэффициентов.

Факторная модель.

Факторная модель является частным случаем полиномиальной модели, причем факторная модель – это полиномиальная модель, выполняющая условие невырожденности плана эксперимента.

3.4. План эксперимента.

Пусть число факторов к=3, тогда модель будет иметь вид:

y=f₀(x₁,x₂,x₃)+b₁f₁(x₁,x₂,x₃)+b_nf_n(x₁,x₂,x₃)

Допустим, что ошибки измерения отсутствуют, то есть, известны точные значения функции y при любых заданных значениях факторов.

Построим план эксперимента для этих трех факторов.

N	x1	x2	x3	y
	x11	x12	x13	y1
	x21	x22	x23	y2
	x31	x32	x33	y3
n	xn1	xn2	xn3	yn

Эта таблица представляет собой план эксперимента, причем

y₁=b₀f₀(x₁,x₂,x₃)+b₁f₁(x₁,x₂,x₃)+b_mf_m(x₁,x₂,x₃)

y_n=f₀(x₁,x₂,x₃)+b₁f₁(x₁,x₂,x₃)+...+b_mf_m(x₁,x₂,x₃)

Представляет собой систему из n-уровней, причем часть таблицы, образованная значениями факторов называют матрицей эксперимента, иначе матрицу, состоящую из n-строк и k-столбцов называют план эксперимента.

Рассмотрим методы перехода от плана к модели. Для этого необходимо построить регрессионную модель, то есть получить математическую модель объекта. При этом должны выполняться следующие условия:

1) Если n>m+1, тогда число коэффициентов больше чем число опытов и такой план называется вырожденным. Необходимо выполнять условие невырожденности, то есть когда коэффициенты модели b_i однозначно определяется в случаи отсутствия ошибок эксперимента.

2) Если фактов варьируется (меняется) на r-уровнях, то есть задаем определенную градацию определенных факторов. Следует учесть, что этот фактор входит в полиномиальную модель в степени (r-1), то есть Х_i^(r-1). Число коэффициентов модели должно быть равно произведению числа уровней на число факторов. Это следствие невырожденности плана эксперимента. Число опытов должны быть не меньше числа коэффициентов. Естественно оно может быть равно числу экспериментов, когда ошибкой можно пренебречь.

Построение модели необходимо с min-го порядка уравнения регрессии, и только в случаи неадекватности линейной модели следует приступать к построению модели более высокого порядка.

В этом случаи точка плана не обязательно является одним экспериментом, а может представлять совокупность опытов.

Глава 4. Оптимальные опыты.