Коррекция системы методом корневого годографа

Цель работы

Целью работы является изучение методов проектирования систем по корням характеристического уравнения при заданных показателях качества регулирования.

Общие сведения

Корневые оценки учитывают влияние на вид переходного про­цесса положения полюсов и нулей системы на комплексной плоско­сти. Качество регулирования оценивают лишь для устойчивых систем.

Корни, ближайшие к мнимой оси, назы­вают доминирующими, если влиянием осталь­ных корней можно пренебречь (остальные кор­ни находятся в 5-10 раз дальше от мнимой оси).

Расстояние от мнимой оси до ближайше­го к ней корня характеристического уравнения (пары комплексных сопряженных корней) называется степенью устойчивости α_min или η, оно характеризует быстродействие системы. Максимальное по модулю отношение мнимой части корня к действительной из имеющихся полюсов называется степенью колебательности системы.

К основным показателям качества регулирования относятся время регулирования или установления (длительность процесса) и перерегулирование (размах качаний при переходном процессе). Для оценки времени регулирования t_рег находят сначала степень устойчивости системы α_min или η, откуда при ошибке ∆ = 5 %

.

Для оценки перерегулирования s определяют степень колеба­тельности μ системы, а затем значение перерегулирования . При нескольких парах комплексных корней максимальное значение μ у того корня, который первым встречается лучу, проведенному из начала координат по положительной мнимой полуоси и поворачиваемому против часовой стрелки. При единственной паре комплексных корней необходимость выбора отпадает.

Совокупность траекторий, описываемых на комплексной плос­кости корнями характеристического уравнения замкнутой системы при изменении одного из ее параметров от 0 до ∞, называется корне­вым годографом.

Поскольку обычно делают оценку для замкнутой системы, то в ее характеристическое уравнение попадают и нули, и полюса разомк­нутой системы. Если , то . Ча­ще всего изменяют k – коэффициент усиления регулятора, вычисляют для каждого значения корни и наносят их на комплексную плоскость.

При построении корневого годографа обычно используют или учитывают его свойства:

- число ветвей корневого годографа равно степени характеристиче­ского уравнения;

- ветви комплексных частей корневого годографа симметричны отно­сительно действительной оси;

- точки расхождения ветвей на действительной оси соответствуют кратным действительным корням характеристического уравнения;

- при k, стремящемся к нулю, траектории корней начинаются в полю­сах передаточной функции разомкнутой системы;

- при k, стремящемся к бесконечности, m траекторий корней заканчи­ваются в нулях передаточной функции разомкнутой системы, а ос­тальные n-m ветвей асимптотически уходят в бесконечность. Здесь m – это порядок полинома числителя, а n – порядок полинома знамена­теля передаточной функции системы.

Указания к работе

В работе производится выбор значения коэффициента обратной связи k_ос в звене 6, ранее принимаемого равным единице, по условию получения минимального времени регулирования.

Поскольку этот коэффициент попадает в свободный член характеристического уравнения a_n, предварительно следует выразить аналитически зависимость этого коэффициента от коэффициента k_ос, учитывая новое значение k₁, полученное в предыдущей работе.

Используя программу ROOTLOCS "Корневой годограф" из библиотеки LinCAD и характеристическое уравнение системы из предыдущей работы, получить корневой годограф системы (рисунок 7) при изменении коэффициента a_n в задаваемом диапазоне (от нуля до значения, при котором корни перемещаются вправо от мнимой оси). Перемещая маркер по годографу, найти значение коэффициента, при котором все корни максимально удалены от мнимой оси. При этом и будет обеспечиваться наименьшее возможное время регулирования (наибольшее значение степени устойчивости).

Перенести корневой годограф в отчет с обозначением осей и масштаба, показать стрелками на ветвях направления движения корней при увеличении a_n, провести линию степени устойчивости и луч выбора корней для оценки степени колебательности. Возле точек, соответствующих наименьшему, наибольшему и выбранному значениям коэффициента a_n подписать значения этого коэффициента. Допускается полюс, далеко отстоящий от мнимой оси, не показывать, если это не нарушает наглядности выбора показателей качества.

Рисунок 7

Для выбранного значения a_n записать соответствующие ему величины времени регулирования t_рег, перерегулирования s и полученное значение коэффициента обратной связи k_ос.

5.4 Методический пример

Характеристическое уравнение системы

D(s) = s⁴+2s³+3s²+4s+(k₁k₂k₃k_oc+1) = s⁴ + 2s³ + 3s² + 4s + 1.1 = 0.

Принимаем диапазон изменения коэффициента a₄, включающего коэффициент обратной связи, в пределах граничных значений 0-2, найденных в предыдущей работе.

Таблица значений корней знаменателя ПФ

	Значение коэффициента а4
а4, min = 0.000	а4, max = 2.000	а4, опт = 0.523
полюса системы	0.000	-1.000	-0.145
-0.174 + j1.547	-1.000	-0.140 + j1.506
-0.174 - j1.547	0.000 + j1.414	-0.140 - j1.506
-1.650	0.000 - j1.414	-1.574

Корневой годограф

Показатели качества для выбранного значения а₄ = 0.523: время регулирования по критерию 5 % t_рег = 21.36 с, перерегулирование
σ = 0.746 или 74.6 %.

Вычисленное значение коэффициента обратной связи

k_ос = (a₄ – 1)/k₁/k₂/k₃ = (0.523 – 1)/(0.1∙0.1∙10) = -0.477/0.1 = -4.77.

Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать название, цель работы, характеристическое уравнение системы, корневой годограф с осями, нанесенными ветвями и таблицей, содержащей значения всех полюсов не менее, чем для трех значений a_n, включая наименьшее, наибольшее и окончательно выбранное, значения выбранных времени регулирования и перерегулирования, вид зависимости коэффициента характеристического уравнения a_n от коэффициента k_ос, полученное значение k_ос.

К защите нужно знать все определения по корневому годографу и корневым оценкам качества регулирования, свойства корневого годографа, уметь самостоятельно определить доминирующие корни, время регулирования и перерегулирование по расположению корней на комплексной плоскости.