Задача о наименьшей поверхности вращения

Пусть даны две точки , плоскости , пусть . Пусть далее – уравнение кривой, соединяющей точки и , т.е. , . Кривая вращается вокруг оси , заметая некоторую поверхность вращения. Спрашивается, что представляет собой поверхность вращения, имеющая наименьшую возможную площадь. Таким образом, мы приходим к проблеме выбора функции , для которой интеграл

– площадь поверхности вращения – минимален. Такие минимальные поверхности вращения, при некоторых дополнительных ограничениях на точки и , называются катеноидами.

Функция F в этом случае имеет вид , то есть не зависит от x. Первый интеграл дается равенством

, и тогда .

Решая это уравнение в разделяющихся переменных, получаем

.

Удобно далее положить . Тогда

.

Положим и , тогда окончательно – искомая кривая (цепная линия).

Список рекомендуемой литературы

1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 319 с.

2. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления / В.К. Романко. – М., СПб.: Физматлит, 2000. – 342 с.

3. Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах / А.В. Пантелеев. – М.: Изд-во МАИ, 2000. – 227 с.

Варианты заданий

Задание 5

Найти экстремали следующих функционалов в указанных областях с заданными условиями на границе.

1. ,

– сектор круга: .

Граничные условия: , .

2. ,

– кольцо: .

Граничные условия: , .

3. ,

– круг: .

Граничные условия: .

4. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , .

5. ,

– сектор кольца: .

Граничные условия: , .

6. ,

– сектор круга: .

Граничные условия: , .

7. ,

– кольцо: .

Граничные условия: , .

8. ,

– круг: .

Граничные условия: .

9. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , .

10. ,

– сектор кольца: .

Граничные условия: , .

11. ,

– сектор круга: .

Граничные условия: , .

12. ,

– кольцо: .

Граничные условия: , .

13. ,

– круг: .

Граничные условия: .

14. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , .

15. ,

– сектор кольца: .

Граничные условия: , .

16. ,

– сектор круга: .

Граничные условия: , .

17. ,

– кольцо: .

Граничные условия: , .

18. ,

– круг: .

Граничные условия: .

19. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , .

20. ,

– сектор кольца: .

Граничные условия: , .

21. ,

– сектор круга: .

Граничные условия: , .

22. ,

– кольцо: .

Граничные условия: , .

23. ,

– круг: .

Граничные условия: .

24. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , .

25. ,

– сектор кольца: .

Граничные условия: , .

26. ,

– сектор круга: , .

Граничные условия: , , где – произвольная непрерывная на отрезке функция.

27. ,

– кольцо: .

Граничные условия: , .

28. ,

– круг: .

Граничные условия: .

29. ,

– квадрат: .

Граничные условия: .

30. ,

– сектор кольца: , – непрерывная на отрезке функция.

Граничные условия: .

Задание 6

Найти экстремали следующих функционалов в указанных областях с заданными условиями на границе, используя для построения решения функции Бесселя и многочлены Лежандра.

1. ,

– прямой круговой цилиндр: .

Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

2. ,

– прямой круговой цилиндр: .

Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

3. ,

– прямой круговой цилиндр: .

Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

4. ,

– шар: .

Граничные условия: .

5. ,

– шар: .

Граничные условия: .

6. ,

– шар: .

Граничные условия: .

7. ,

– шар: .

Граничные условия: .

8. ,

– шар: .

Граничные условия: .

9. ,

– круг: .

Граничные условия: .

10. ,

– сектор круга: .

Граничные условия: , .

11. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.

12. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.

13. ,

– прямоугольник: .

Граничные условия: , , ,

где – непрерывная на отрезке функция.

14. ,

– прямоугольник: .

Граничные условия: , , ,

где – непрерывная на отрезке функция.

15. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.

16. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.

17. ,

– прямоугольник: .

Граничные условия: , , ,

где – непрерывная на отрезке функция.

18. ,

– прямоугольник: .

Граничные условия: , , ,

где – непрерывная на отрезке функция.

19. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.

20. ,

– квадрат: .

Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.

21. ,

– прямоугольник: .

Граничные условия: , , ,

где – непрерывная на отрезке функция.

22. ,

– прямоугольник: .

Граничные условия: , , ,

где – непрерывная на отрезке функция.

23. ,

– эллиптический цилиндр: .

Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

24. ,

– эллиптический цилиндр: .

Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

25. ,

– эллиптический цилиндр: .

Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

26. ,

– эллиптический цилиндр: .

Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

27. ,

– эллиптический цилиндр: .

Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

28. ,

– эллиптический цилиндр: .

Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

29. ,

– эллиптический цилиндр: .

Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

30. ,

– эллиптический цилиндр: .

Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.

Задание 7

Решить задачу навигации при условии, что собственная скорость лодки постоянна, а скорость реки задается указанным ниже равенством. Предполагая, что , построить график движения лодки, при котором переправа осуществится за минимальное время.

1. 
2. 
3. .
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. .
23. .
24. .
25. .
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 

Задание 8

Найти экстремали следующих вариационных задач с подвижными границами.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 

Задание 9

Найти решение следующих изопериметрических задач.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 

14.

1. 
2. 
3. 
4. 

19.

1. 
2. 
3. 

23.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 

Задание 10

Сформулировать следующие задачи как задачи на отыскание экстремумов некоторых интегральных функционалов и решить их методами вариационного исчисления.

1. Найти замкнутую линию наименьшей длины, ограничивающую заданную площадь S.
2. Найти замкнутую линию заданной длины L, ограничивающую наибольшую площадь.
3. Даны два взаимно перпендикулярных луча ОА и ОВ с общей вершиной О. Среди кривых заданной длины L, концы которых лежат на ОА и ОВ, найти такую, которая отсекает от угла АОВ максимальную площадь.
4. Даны два взаимно перпендикулярных луча ОА и ОВ с общей вершиной О. Среди кривых с концами на ОА и ОВ, отсекающих от угла АОВ заданную площадь S, найти кривую наименьшей длины.
5. В равностороннем треугольнике провести кривую заданной длины, которая образовала бы вместе с углом треугольника фигуру наибольшей площади.
6. В равностороннем треугольнике провести кривую наименьшей длины, которая образовала бы вместе с углом треугольника фигуру заданной площади.
7. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой , соединяющей точки и , со скоростью, прямо пропорциональной абсциссе точки в каждый момент времени. Найти кривую , время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.
8. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой со скоростью, прямо пропорциональной ординате точки в каждый момент времени. Найти кривую , соединяющую начало координат с точкой на прямой , и такую, что время движения вдоль нее будет минимальным.
9. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой со скоростью, прямо пропорциональной ординате точки в каждый момент времени. Найти кривую , соединяющую начало координат с точкой на прямой , и такую, что время движения вдоль нее будет минимальным.
10. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой со скоростью, прямо пропорциональной ординате точки в каждый момент времени. Найти кривую , соединяющую начало координат с точкой на прямой , и такую, что время движения вдоль нее будет минимальным.
11. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой со скоростью, прямо пропорциональной ординате точки в каждый момент времени. Найти кривую , соединяющую начало координат с точкой на окружности , и такую, что время движения вдоль нее будет минимальным.
12. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой , соединяющей точки и , со скоростью, обратно пропорциональной абсциссе точки в каждый момент времени. Найти кривую , время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.
13. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой , соединяющей точки и , со скоростью, прямо пропорциональной ординате точки в каждый момент времени. Найти кривую , время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.
14. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой , соединяющей точки и , со скоростью, обратно пропорциональной ординате точки в каждый момент времени. Найти кривую , время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.
15. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой , соединяющей точки и , со скоростью (k – постоянный коэффициент). Найти кривую , время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.
16. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой , соединяющей точки и , со скоростью, (k – постоянный коэффициент). Найти кривую , время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.
17. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой , соединяющей точки и , со скоростью, (k – постоянный коэффициент). Найти кривую , время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.
18. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой , соединяющей точки и , со скоростью, (k – постоянный коэффициент). Найти кривую , время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.
19. Решить задачу о брахистохроне, если известно, что шарик должен оказаться на некоторой вертикальной прямой.
20. Решить задачу о брахистохроне, если шарик должен финишировать в некоторой точке горизонтальной прямой.
21. Решить задачу о брахисто