Основы вариационного исчисления - II
Основы вариационного исчисления - II
Методические указания
и варианты заданий
для самостоятельной работы студентов
III курса специальностей КМ и ДПМ
Издательство
Пермского государственного технического университета
Составитель: В.В. Малыгина
УДК 517 (075.8)
О75
Рецензент:
канд. техн. наук, доцент кафедры ВММ И.Н. Бояршинова
Основы вариационного исчисления. Ч. II: метод. указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей КМ и ДПМ / сост. В.В. Малыгина. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. – 58 с.
Данное методическое пособие является продолжением пособия «Основы вариационного исчисления – I», сохраняя его обозначения и терминологию, а также продолжая нумерацию формул, примеров и заданий. В часть II вошли разделы «Вариационные задачи на плоскости и в пространстве», «Вариационные задачи с подвижными границами» и «Задачи на условный экстремум».
УДК 517 (075.8)
© ГОУ ВПО
«Пермский государственный
технический университет», 2008
Вариационные задачи с подвижными границами
В предыдущих лекциях при исследовании функционала
предполагалось, что граничные точки и заданы. Подобное предположение не всегда выполняется для многих интересных и практически важных вариационных задач. Рассмотрим в качестве примера задачу навигации.
Задача навигации
В этой задаче рассматривается река ширины с прямыми параллельными берегами. Считая один берег реки совпадающим с осью , введем скорость течения реки . Лодка с постоянной скоростью
( – величина скорости, ), за кратчайшее время должна пересечь реку, отчалив из точки (рис.1).
Обозначим через угол, который образует вектор скорости лодки с положительным направлением оси . Тогда реальная скорость движения лодки в момент времени определяется равенствами
, .
Отсюда
,
что позволяет выразить через :
,
откуда
.
Для времени пересечения реки находим
.
Последний интеграл должен быть минимизирован за счет выбора функции при условии .
Как видим, в отличие от предыдущих задач, правый конец искомой кривой заранее не определен: он может оказаться на любой точке вертикальной прямой . Мы приходим, таким образом, к задаче со свободной (подвижной) границей. Найдем ее решение в общей постановке.
Решение задачи навигации
Вернемся к задаче навигации и найдем ее решение, используя полученный выше результат.
Итак, нам следует найти минимум функционала
при условии , а может принимать любое значение.
Согласно вышеприведенной схеме, решаем уравнение Эйлера. Так как подынтегральная функция
зависит только от и , то уравнение Эйлера допускает первый интеграл: . С другой стороны, поскольку вторая граница экстремали перемещается по вертикальной прямой, для нее должно выполняться условие . Отсюда сразу следует, что вышеприведенный первый интеграл имеет вид: . Получаем дифференциальное уравнение первого порядка
,
для которого легко найти решение. Находя явное выражение для , получаем . Так как предполагается (см. рис. 1), что переправа осуществляется с левого берега на правый, то перед дробью следует выбрать знак плюс. Учитывая, что , получаем окончательно:
.
В частности, если , то искомый маршрут наибыстрейшей переправы реализуется на прямой .
Изопериметрическая задача
Интересный класс задач на условный экстремум образуют так называемые изопериметрические задачи. Классической задачей такого вида (давшей название всему классу задач) является задача Дидоны: найти замкнутую кривую, ограничивающую наибольшую площадь при заданном периметре. При этом и минимизируемый функционал (площадь) и ограничение (периметр) задаются определенными интегралами.
Рассмотрим задачу в общей постановке. Пусть на кривых с фиксированными концами , функционал
достигает своего минимального (максимального) значения, причем интегралы
обладают заранее заданными значениями . Функции и считаются дважды непрерывно дифференцируемыми.
На первый взгляд кажется, что интегральные ограничения существенно усложняют задачу, и к изопериметрической задаче неприменимы методы предыдущего раздела. Однако оказалось, что изопериметрическую задачу остроумным приемом можно свести к задаче на условный экстремум с функциональными условиями связи.
Обозначим
.
Тогда
– новые условия связи, уже дифференциально-функционального вида, а изопериметрические условия превращаются в граничные условия:
.
Таким образом, задача свелась к задаче на условный экстремум, для которой выше был приведен алгоритм решения. Следуя ему, составляем вспомогательную функцию
,
для которой система уравнений Эйлера имеет вид:
.
Но так как , то , а тогда
.
Следовательно, для изопериметрической задачи в качестве функции Лагранжа можно взять функцию
с постоянными множителями . Далее для функции , как и ранее, выписывается и решается система уравнений Эйлера, а для определения произвольных постоянных и параметров используются граничные и изопериметрические условия. То обстоятельство, что множители оказываются постоянными, безусловно, упрощает решение задачи.
Пример 9.Найти экстремум функционала
на классе функций, удовлетворяющих граничным условиям , и дополнительному условию .
Решение. Поставленная задача, очевидно, относится к классу изопериметрических задач, поэтому, согласно приведенной выше схеме, запишем вспомогательную функцию , для которой составим уравнение Эйлера: . Так как знак неизвестен, решение уравнения Эйлера следует провести для каждого из трех случаев: , и .
- Пусть , тогда решение уравнения Эйлера имеет вид
.
Подставляя граничные условия, находим , то есть . Но это решение не удовлетворяет условию , следовательно, при решений у задачи нет.
- Пусть , тогда решение уравнения Эйлера имеет вид
,
из граничных условий снова получаем , а , то есть при задача также не имеет решений.
- Пусть , тогда решение уравнения Эйлера имеет вид
,
подставляя граничные условия, находим , – любое число, . Следовательно, , где . Определим через изопериметрическое условие:
.
Получаем , то есть . Так как , то можно оставить перед функцией один знак. Окончательно получаем, что данная вариационная задача имеет бесконечное множество решений вида:
.
Примеры решения некоторых вариационных задач
В качестве иллюстрации построенной теории решим три классические задачи: задачу Дидоны, задачу о брахистохроне и задачу о минимальной поверхности вращения. Каждую из этих задач сначала переформулируем в вариационных терминах, то есть поставим ее как задачу отыскания минимума функционала с заданными граничными условиями, а затем решим ее разработанными выше методами вариационного исчисления.
Задача Дидоны
Вспомним задачу, о которой говорилось в начале курса: мы оставили Дидону в тот момент, когда ей нужно было ограничить шнуром фиксированной длины максимальную площадь. Мы уже освоили вариационное исчисление настолько хорошо, что можем помочь Дидоне.
Рассмотрим множество функций , определенных на отрезке , таких, что при всех , а (рис. 3). Вместе с отрезком график каждой функции ограничивает площадь, задаваемую функционалом
.
Потребуем дополнительно, чтобы кривые имели фиксированную длину, то есть постоянное значение сохранял функционал вида:
.
Мы получаем, таким образом, изопериметрическую задачу, для которой нам уже известны методы решения.
Выстраиваем вспомогательную функцию и записываем для нее уравнение Эйлера. Функция не зависит от переменной , следовательно, уравнение Эйлера допускает первый интеграл
,
представляющий собой дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной. Разрешая его относительно , получаем уравнение в разделяющихся переменных, интегральными кривыми которого являются окружности:
.
Учитывая граничные условия, находим, что , а . Не нарушая общности, можем считать, что интересующая нас дуга окружности не больше ее половины, тогда центр окружности лежит ниже оси , и . Для определения параметра , то есть радиуса искомой окружности, используем условие постоянства периметра.
.
Уравнение эквивалентно уравнению где , , . Из геометрических соображений ясно, что задача содержательна лишь при условии , следовательно, , а тогда уравнение всегда имеет на отрезке единственный корень (рис. 4).
Отсюда находим радиус искомой окружности и координаты ее центра: .
Задача о брахистохроне
Предположим, что точки и лежат в плоскости с осью , направленной вниз (рис.5). Положим и и пусть – уравнение дуги, соединяющей точки и так, что , , , . Скорость движения вдоль кривой пусть равна . Тогда время спуска равно
.
Чтобы найти скорость v как функцию координаты x, воспользуемся законом сохранения энергии:
,
где — начальная скорость движения частицы. Тогда
,
и задача свелась к выбору функции , для которой интеграл
достигает наименьшего значения из всех возможных.
Так как функция зависит только от и , то уравнение Эйлера допускает первый интеграл:
.
Разрешая это уравнение относительно , находим
,
где мы положили . Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение первого порядка в разделяющихся переменных. Решая его, имеем:
.
Для вычисления интеграла удобно воспользоваться заменой
. Тогда
.
Мы пришли к решению в параметрической форме
Это и есть кривая наибыстрейшего спуска, известная под названием циклоиды. Можно показать, что выбор постоянных и позволяет провести циклоиду через произвольные две заданные точки. Напомним, что величина не является произвольной постоянной.
Список рекомендуемой литературы
1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 319 с.
2. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления / В.К. Романко. – М., СПб.: Физматлит, 2000. – 342 с.
3. Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах / А.В. Пантелеев. – М.: Изд-во МАИ, 2000. – 227 с.
Варианты заданий
Задание 5
Найти экстремали следующих функционалов в указанных областях с заданными условиями на границе.
1. ,
– сектор круга: .
Граничные условия: , .
2. ,
– кольцо: .
Граничные условия: , .
3. ,
– круг: .
Граничные условия: .
4. ,
– квадрат: .
Граничные условия: , .
5. ,
– сектор кольца: .
Граничные условия: , .
6. ,
– сектор круга: .
Граничные условия: , .
7. ,
– кольцо: .
Граничные условия: , .
8. ,
– круг: .
Граничные условия: .
9. ,
– квадрат: .
Граничные условия: , .
10. ,
– сектор кольца: .
Граничные условия: , .
11. ,
– сектор круга: .
Граничные условия: , .
12. ,
– кольцо: .
Граничные условия: , .
13. ,
– круг: .
Граничные условия: .
14. ,
– квадрат: .
Граничные условия: , , .
15. ,
– сектор кольца: .
Граничные условия: , .
16. ,
– сектор круга: .
Граничные условия: , .
17. ,
– кольцо: .
Граничные условия: , .
18. ,
– круг: .
Граничные условия: .
19. ,
– квадрат: .
Граничные условия: , , .
20. ,
– сектор кольца: .
Граничные условия: , .
21. ,
– сектор круга: .
Граничные условия: , .
22. ,
– кольцо: .
Граничные условия: , .
23. ,
– круг: .
Граничные условия: .
24. ,
– квадрат: .
Граничные условия: , , .
25. ,
– сектор кольца: .
Граничные условия: , .
26. ,
– сектор круга: , .
Граничные условия: , , где – произвольная непрерывная на отрезке функция.
27. ,
– кольцо: .
Граничные условия: , .
28. ,
– круг: .
Граничные условия: .
29. ,
– квадрат: .
Граничные условия: .
30. ,
– сектор кольца: , – непрерывная на отрезке функция.
Граничные условия: .
Задание 6
Найти экстремали следующих функционалов в указанных областях с заданными условиями на границе, используя для построения решения функции Бесселя и многочлены Лежандра.
1. ,
– прямой круговой цилиндр: .
Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.
2. ,
– прямой круговой цилиндр: .
Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.
3. ,
– прямой круговой цилиндр: .
Граничные условия: , , где – непрерывная на отрезке функция.
4. ,
– шар: .
Граничные условия: .
5. ,
– шар: .
Граничные условия: .
6. ,
– шар: .
Граничные условия: .
7. ,
– шар: .
Граничные условия: .
8. ,
– шар: .
Граничные условия: .
9. ,
– круг: .
Граничные условия: .
10. ,
– сектор круга: .
Граничные условия: , .
11. ,
– квадрат: .
Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.
12. ,
– квадрат: .
Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.
13. ,
– прямоугольник: .
Граничные условия: , , ,
где – непрерывная на отрезке функция.
14. ,
– прямоугольник: .
Граничные условия: , , ,
где – непрерывная на отрезке функция.
15. ,
– квадрат: .
Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.
16. ,
– квадрат: .
Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.
17. ,
– прямоугольник: .
Граничные условия: , , ,
где – непрерывная на отрезке функция.
18. ,
– прямоугольник: .
Граничные условия: , , ,
где – непрерывная на отрезке функция.
19. ,
– квадрат: .
Граничные условия: , , , где – непрерывная на отрезке функция.
20. ,
– квадрат: .
Граничные условия: ,