Основы вариационного исчисления - II

Основы вариационного исчисления - II

Методические указания

и варианты заданий

для самостоятельной работы студентов

III курса специальностей КМ и ДПМ

Издательство

Пермского государственного технического университета

Составитель: В.В. Малыгина

УДК 517 (075.8)

О75

Рецензент:

канд. техн. наук, доцент кафедры ВММ И.Н. Бояршинова

Основы вариационного исчисления. Ч. II: метод. указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей КМ и ДПМ / сост. В.В. Малыгина. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. – 58 с.

Данное методическое пособие является продолжением пособия «Основы вариационного исчисления – I», сохраняя его обозначения и терминологию, а также продолжая нумерацию формул, примеров и заданий. В часть II вошли разделы «Вариационные задачи на плоскости и в пространстве», «Вариационные задачи с подвижными границами» и «Задачи на условный экстремум».

УДК 517 (075.8)

© ГОУ ВПО

«Пермский государственный

технический университет», 2008

Вариационные задачи с подвижными границами

В предыдущих лекциях при исследовании функционала

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru предполагалось, что граничные точки Основы вариационного исчисления - II - student2.ru и Основы вариационного исчисления - II - student2.ru заданы. Подобное предположение не всегда выполняется для многих интересных и практически важных вариационных задач. Рассмотрим в качестве примера задачу навигации.

Задача навигации

В этой задаче рассматривается река ширины Основы вариационного исчисления - II - student2.ru с прямыми параллельными берегами. Считая один берег реки совпадающим с осью Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , введем скорость течения реки Основы вариационного исчисления - II - student2.ru . Лодка с постоянной скоростью

( Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – величина скорости, Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ), за кратчайшее время должна пересечь реку, отчалив из точки Основы вариационного исчисления - II - student2.ru (рис.1).

Обозначим через Основы вариационного исчисления - II - student2.ru угол, который образует вектор скорости лодки с положительным направлением оси Основы вариационного исчисления - II - student2.ru . Тогда реальная скорость движения лодки в момент времени Основы вариационного исчисления - II - student2.ru определяется равенствами

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Отсюда

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

что позволяет выразить Основы вариационного исчисления - II - student2.ru через Основы вариационного исчисления - II - student2.ru :

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

откуда

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Для времени пересечения реки находим

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Последний интеграл должен быть минимизирован за счет выбора функции Основы вариационного исчисления - II - student2.ru при условии Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Как видим, в отличие от предыдущих задач, правый конец искомой кривой заранее не определен: он может оказаться на любой точке вертикальной прямой Основы вариационного исчисления - II - student2.ru . Мы приходим, таким образом, к задаче со свободной (подвижной) границей. Найдем ее решение в общей постановке.

Решение задачи навигации

Вернемся к задаче навигации и найдем ее решение, используя полученный выше результат.

Итак, нам следует найти минимум функционала

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru

при условии Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , а Основы вариационного исчисления - II - student2.ru может принимать любое значение.

Согласно вышеприведенной схеме, решаем уравнение Эйлера. Так как подынтегральная функция

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru

зависит только от Основы вариационного исчисления - II - student2.ru и Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , то уравнение Эйлера допускает первый интеграл: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru . С другой стороны, поскольку вторая граница экстремали перемещается по вертикальной прямой, для нее должно выполняться условие Основы вариационного исчисления - II - student2.ru . Отсюда сразу следует, что вышеприведенный первый интеграл имеет вид: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru . Получаем дифференциальное уравнение первого порядка

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

для которого легко найти решение. Находя явное выражение для Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , получаем Основы вариационного исчисления - II - student2.ru . Так как предполагается (см. рис. 1), что переправа осуществляется с левого берега на правый, то перед дробью следует выбрать знак плюс. Учитывая, что Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , получаем окончательно:

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

В частности, если Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , то искомый маршрут наибыстрейшей переправы реализуется на прямой Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Изопериметрическая задача

Интересный класс задач на условный экстремум образуют так называемые изопериметрические задачи. Классической задачей такого вида (давшей название всему классу задач) является задача Дидоны: найти замкнутую кривую, ограничивающую наибольшую площадь при заданном периметре. При этом и минимизируемый функционал (площадь) и ограничение (периметр) задаются определенными интегралами.

Рассмотрим задачу в общей постановке. Пусть на кривых Основы вариационного исчисления - II - student2.ru с фиксированными концами Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru функционал

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru

достигает своего минимального (максимального) значения, причем интегралы

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru

обладают заранее заданными значениями Основы вариационного исчисления - II - student2.ru . Функции Основы вариационного исчисления - II - student2.ru и Основы вариационного исчисления - II - student2.ru считаются дважды непрерывно дифференцируемыми.

На первый взгляд кажется, что интегральные ограничения существенно усложняют задачу, и к изопериметрической задаче неприменимы методы предыдущего раздела. Однако оказалось, что изопериметрическую задачу остроумным приемом можно свести к задаче на условный экстремум с функциональными условиями связи.

Обозначим

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Тогда

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru

– новые условия связи, уже дифференциально-функционального вида, а изопериметрические условия превращаются в граничные условия:

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Таким образом, задача свелась к задаче на условный экстремум, для которой выше был приведен алгоритм решения. Следуя ему, составляем вспомогательную функцию

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

для которой система уравнений Эйлера имеет вид:

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Но так как Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , то Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , а тогда

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Следовательно, для изопериметрической задачи в качестве функции Лагранжа можно взять функцию

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru

с постоянными множителями Основы вариационного исчисления - II - student2.ru . Далее для функции Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , как и ранее, выписывается и решается система уравнений Эйлера, а для определения произвольных постоянных и параметров Основы вариационного исчисления - II - student2.ru используются граничные и изопериметрические условия. То обстоятельство, что множители Основы вариационного исчисления - II - student2.ru оказываются постоянными, безусловно, упрощает решение задачи.

Пример 9.Найти экстремум функционала

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru

на классе функций, удовлетворяющих граничным условиям Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru и дополнительному условию Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Решение. Поставленная задача, очевидно, относится к классу изопериметрических задач, поэтому, согласно приведенной выше схеме, запишем вспомогательную функцию Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , для которой составим уравнение Эйлера: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru . Так как знак Основы вариационного исчисления - II - student2.ru неизвестен, решение уравнения Эйлера следует провести для каждого из трех случаев: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru и Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

  1. Пусть Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , тогда решение уравнения Эйлера имеет вид

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Подставляя граничные условия, находим Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , то есть Основы вариационного исчисления - II - student2.ru . Но это решение не удовлетворяет условию Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , следовательно, при Основы вариационного исчисления - II - student2.ru решений у задачи нет.

  1. Пусть Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , тогда решение уравнения Эйлера имеет вид

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

из граничных условий снова получаем Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , а Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , то есть при Основы вариационного исчисления - II - student2.ru задача также не имеет решений.

  1. Пусть Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , тогда решение уравнения Эйлера имеет вид

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

подставляя граничные условия, находим Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – любое число, Основы вариационного исчисления - II - student2.ru . Следовательно, Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , где Основы вариационного исчисления - II - student2.ru . Определим Основы вариационного исчисления - II - student2.ru через изопериметрическое условие:

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Получаем Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , то есть Основы вариационного исчисления - II - student2.ru . Так как Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , то можно оставить перед функцией один знак. Окончательно получаем, что данная вариационная задача имеет бесконечное множество решений вида:

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Примеры решения некоторых вариационных задач

В качестве иллюстрации построенной теории решим три классические задачи: задачу Дидоны, задачу о брахистохроне и задачу о минимальной поверхности вращения. Каждую из этих задач сначала переформулируем в вариационных терминах, то есть поставим ее как задачу отыскания минимума функционала с заданными граничными условиями, а затем решим ее разработанными выше методами вариационного исчисления.

Задача Дидоны

Вспомним задачу, о которой говорилось в начале курса: мы оставили Дидону в тот момент, когда ей нужно было ограничить шнуром фиксированной длины максимальную площадь. Мы уже освоили вариационное исчисление настолько хорошо, что можем помочь Дидоне.

Рассмотрим множество функций Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , определенных на отрезке Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , таких, что Основы вариационного исчисления - II - student2.ru при всех Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , а Основы вариационного исчисления - II - student2.ru (рис. 3). Вместе с отрезком Основы вариационного исчисления - II - student2.ru график каждой функции Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ограничивает площадь, задаваемую функционалом

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Потребуем дополнительно, чтобы кривые Основы вариационного исчисления - II - student2.ru имели фиксированную длину, то есть постоянное значение сохранял функционал вида:

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Мы получаем, таким образом, изопериметрическую задачу, для которой нам уже известны методы решения.

Выстраиваем вспомогательную функцию Основы вариационного исчисления - II - student2.ru и записываем для нее уравнение Эйлера. Функция Основы вариационного исчисления - II - student2.ru не зависит от переменной Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , следовательно, уравнение Эйлера допускает первый интеграл

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

представляющий собой дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной. Разрешая его относительно Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , получаем уравнение в разделяющихся переменных, интегральными кривыми которого являются окружности:

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Учитывая граничные условия, находим, что Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , а Основы вариационного исчисления - II - student2.ru . Не нарушая общности, можем считать, что интересующая нас дуга окружности не больше ее половины, тогда центр окружности лежит ниже оси Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , и Основы вариационного исчисления - II - student2.ru . Для определения параметра Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , то есть радиуса искомой окружности, используем условие постоянства периметра.

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru Уравнение Основы вариационного исчисления - II - student2.ru эквивалентно уравнению Основы вариационного исчисления - II - student2.ru где Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru . Из геометрических соображений ясно, что задача содержательна лишь при условии Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , следовательно, Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , а тогда уравнение Основы вариационного исчисления - II - student2.ru всегда имеет на отрезке Основы вариационного исчисления - II - student2.ru единственный корень Основы вариационного исчисления - II - student2.ru (рис. 4).

Отсюда находим радиус искомой окружности Основы вариационного исчисления - II - student2.ru и координаты ее центра: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Задача о брахистохроне

Предположим, что точки Основы вариационного исчисления - II - student2.ru и Основы вариационного исчисления - II - student2.ru лежат в плоскости Основы вариационного исчисления - II - student2.ru с осью Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , направленной вниз (рис.5). Положим Основы вариационного исчисления - II - student2.ru и Основы вариационного исчисления - II - student2.ru и пусть Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – уравнение дуги, соединяющей точки Основы вариационного исчисления - II - student2.ru и Основы вариационного исчисления - II - student2.ru так, что Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru . Скорость движения вдоль кривой пусть равна Основы вариационного исчисления - II - student2.ru . Тогда время спуска равно

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Чтобы найти скорость v как функцию координаты x, воспользуемся законом сохранения энергии:

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

где Основы вариационного исчисления - II - student2.ru — начальная скорость движения частицы. Тогда

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

и задача свелась к выбору функции Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , для которой интеграл

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru

достигает наименьшего значения из всех возможных.

Так как функция Основы вариационного исчисления - II - student2.ru зависит только от Основы вариационного исчисления - II - student2.ru и Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , то уравнение Эйлера допускает первый интеграл:

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Разрешая это уравнение относительно Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , находим

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

где мы положили Основы вариационного исчисления - II - student2.ru . Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение первого порядка в разделяющихся переменных. Решая его, имеем:

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Для вычисления интеграла удобно воспользоваться заменой

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru . Тогда Основы вариационного исчисления - II - student2.ru

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Мы пришли к решению в параметрической форме

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru

Это и есть кривая наибыстрейшего спуска, известная под названием циклоиды. Можно показать, что выбор постоянных Основы вариационного исчисления - II - student2.ru и Основы вариационного исчисления - II - student2.ru позволяет провести циклоиду через произвольные две заданные точки. Напомним, что величина Основы вариационного исчисления - II - student2.ru не является произвольной постоянной.

Список рекомендуемой литературы

1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 319 с.

2. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления / В.К. Романко. – М., СПб.: Физматлит, 2000. – 342 с.

3. Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах / А.В. Пантелеев. – М.: Изд-во МАИ, 2000. – 227 с.

Варианты заданий

Задание 5

Найти экстремали следующих функционалов в указанных областях с заданными условиями на границе.

1. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – сектор круга: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

2. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – кольцо: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

3. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – круг: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

4. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – квадрат: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

5. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – сектор кольца: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

6. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – сектор круга: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

7. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – кольцо: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

8. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – круг: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

9. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – квадрат: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

10. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – сектор кольца: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

11. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – сектор круга: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

12. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – кольцо: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

13. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – круг: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

14. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – квадрат: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

15. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – сектор кольца: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

16. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – сектор круга: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

17. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – кольцо: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

18. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – круг: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

19. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – квадрат: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

20. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – сектор кольца: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

21. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – сектор круга: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

22. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – кольцо: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

23. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – круг: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

24. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – квадрат: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

25. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – сектор кольца: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

26. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – сектор круга: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , где Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – произвольная непрерывная на отрезке Основы вариационного исчисления - II - student2.ru функция.

27. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – кольцо: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

28. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – круг: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

29. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – квадрат: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

30. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – сектор кольца: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – непрерывная на отрезке Основы вариационного исчисления - II - student2.ru функция.

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Задание 6

Найти экстремали следующих функционалов в указанных областях с заданными условиями на границе, используя для построения решения функции Бесселя и многочлены Лежандра.

1. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – прямой круговой цилиндр: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , где Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – непрерывная на отрезке Основы вариационного исчисления - II - student2.ru функция.

2. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – прямой круговой цилиндр: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , где Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – непрерывная на отрезке Основы вариационного исчисления - II - student2.ru функция.

3. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – прямой круговой цилиндр: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , где Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – непрерывная на отрезке Основы вариационного исчисления - II - student2.ru функция.

4. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – шар: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

5. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – шар: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

6. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – шар: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

7. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – шар: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

8. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – шар: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

9. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – круг: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

10. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – сектор круга: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

11. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – квадрат: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , где Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – непрерывная на отрезке Основы вариационного исчисления - II - student2.ru функция.

12. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – квадрат: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , где Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – непрерывная на отрезке Основы вариационного исчисления - II - student2.ru функция.

13. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – прямоугольник: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

где Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – непрерывная на отрезке Основы вариационного исчисления - II - student2.ru функция.

14. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – прямоугольник: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

где Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – непрерывная на отрезке Основы вариационного исчисления - II - student2.ru функция.

15. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – квадрат: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , где Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – непрерывная на отрезке Основы вариационного исчисления - II - student2.ru функция.

16. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – квадрат: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , где Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – непрерывная на отрезке Основы вариационного исчисления - II - student2.ru функция.

17. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – прямоугольник: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

где Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – непрерывная на отрезке Основы вариационного исчисления - II - student2.ru функция.

18. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – прямоугольник: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

где Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – непрерывная на отрезке Основы вариационного исчисления - II - student2.ru функция.

19. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – квадрат: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , Основы вариационного исчисления - II - student2.ru , где Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – непрерывная на отрезке Основы вариационного исчисления - II - student2.ru функция.

20. Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,

Основы вариационного исчисления - II - student2.ru – квадрат: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru .

Граничные условия: Основы вариационного исчисления - II - student2.ru ,