Из истории вариационного исчисления

Задача о брахистохроне или как льва узнают по когтям

Возьмем две точки (А и В) и соединим их всевозможными кривыми, идущими сверху вниз (см. рисунок). Если материальная точка начнет падать из А по одной из кривых под действием силы тяжести, то через некоторое время она попадет в точку В. Это время можно рассматривать как функцию, заданную на множестве всех кривых, идущих из точки А в точку В. Возникает задача об отыскании кривой, двигаясь по которой падающая точка быстрее всего попадет в точку В. Такую кривую назвали брахистохроной (от греческих слов «брахистос» – кратчайший и «хронос» – время).

История задачи о брахистохроне начинается с 1696 года. Ее формулировка и первое решение принадлежат Иоганну Бернулли. Им же задача была предложена Лейбницу, который посоветовал Бернулли опубликовать «столь прекрасную и до сих пор неслыханную задачу» для состязания между геометрами, предоставив годичный срок для решения. По истечении срока оказалось, что только трое математиков сумели найти решение задачи о брахистохроне: Лопиталь, Якоб Бернулли и ... некий таинственный автор, опубликовавший решение без подписи в одном английском журнале. Но Иоганн Бернулли сразу угадал анонима: лишь один человек в Англии мог решить задачу с таким блеском – сэр Исаак Ньютон. Как писал сам Бернулли, он узнал Ньютона, как льва узнают по когтям.

Интересно, что термин «брахистохрона» оказался нужен только для постановки задачи. После ее решения выяснилось, что брахистохрона – это давно известная математикам и механикам циклоида.

Изопериметрическая задача или легенда о Дидоне

Дидона, дочь трирского царя, бежавшая от отца, после многих приключений прибыла на берег Африки. Жившие там туземцы согласились продать ей участок земли на берегу моря, но «не больше, чем можно окружить воловьей шкурой». Однако предприимчивая Дидона разрезала воловью шкуру на очень узкие полоски, из которых связала очень длинную веревку. А затем Дидона столкнулась с геометрической задачей: как следует положить веревку, чтобы она, вместе с морским берегом, ограничила участок земли наибольшей площади? Легенда утверждает, что Дидона успешно решила эту задачу и на отведенном ей участке основала город Карфаген.

Задача о геодезических линиях

После того как вывели формулу для вычисления длины пространственной кривой, возникла задача: найти кратчайшую среди всех кривых, лежащих на заданной поверхности и соединяющих две точки А и В этой поверхности. Например, на плоскости такой линией будет отрезок АВ, на сфере – дуга окружности большого круга, проходящая через точки А и В. Для поверхностей же более сложных решение задачи не было известно. А такие кратчайшие линии были нужны картографам и геодезистам, не зря их сейчас называют геодезическими линиями на поверхности. Интересный результат о геодезических линиях на поверхностях вращения получил французский ученый Алексис Клеро. Он доказал, что на таких поверхностях вдоль геодезических произведение расстояния до оси вращения на косинус угла между геодезической и параллелью остается постоянным.

Задачи с закрепленными границами

Уравнение Эйлера

Рассмотрим функционал вида

, (1)

где функции x предполагаются непрерывно дифференцируемыми на интервале (a,b). Функцию будем предполагать непрерывно дифференцируемой по всем своим аргументам столько раз, сколько потребуют содержащие ее уравнения.

Поставим задачу: найти в указанном классе функций такую, на которой функционал принимал бы наибольшее (наименьшее) из всех возможных значений.

Для функционалов вида (1) очень просто формулируется необходимое условие экстремума.

Теорема. Пустьфункция х₀ – экстремаль (т.е. функция, на которой достигается экстремум функционала ). Тогда она является решением уравнения Эйлера:

. (2)

Уравнение (2) есть обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение содержит две произвольные постоянные; значит, решив уравнение, мы найдем семейство экстремалей, зависящее от двух параметров. Чтобы определить экстремаль однозначно, требуется задать некоторые дополнительные условия. В классической постановке это –условия закрепленных границ:

. (3)

Добавляя к уравнению Эйлера условия (3), получаем для нахождения экстремалей обычную краевую задачу. В случае интегрируемости уравнения Эйлера в квадратурах, решение этой задачи может быть получено аналитическими методами; в прочих случаях используют приближенные и численные методы решения.

Пример 1.Найти экстремали функционала

,

удовлетворяющие условиям: .

Решение. В данном примере , следовательно, , а уравнение Эйлера имеет вид: . Это уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, решение которого легко записывается через элементарные функции: . Учитывая граничные условия, находим: Следовательно, искомая экстремаль имеет вид:

.