Тема 3.2 Основы дифференциального исчисления.

Студент должен:

знать: -определение производной функции;

-таблицу производных;

-формулы производных суммы, произведения, частного;

-определение частной производной;

уметь: -вычислять производные функции при данном значении аргумента;

- исследовать функции с помощью производной и строить графики.

Производная функции. Исследование функций и построение графика. Функции нескольких переменных. Частные производные.

Методические указания.

Понятие производной является одним из фундаментальных понятий математики. Многие задачи как самой математики, так и естествознания и техники приводят к этому понятию.

Перед тем как записать понятие производной рекомендуется рассмотреть физическую задачу о неравномерном движении и его скорости, которая приводит к понятию производной. Данная тема включает в себя очень много формул дифференцирования и интегрирования (табличные интегралы).

Формулы дифференцирования следует изучить в следующей последовательности:

- правила дифференцирования (производная постоянной, функции у = х, суммы и разности функции, произведения двух функций, произведения постоянной на функцию, частного);

- формулы дифференцирования (степенной, тригонометрических, логарифмических, показательных, обратных тригонометрических функций).

В рекомендуемой литературе предлагаются различные варианты общей схемы исследования и построения графика функции. Студент по своему усмотрению может выбрать ту или иную схему построения графика функции.

Из функции нескольких переменных следует рассмотреть функции двух переменных z = f (х,у) и частные производные этой функции по аргументу х и по аргументу у.

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение производной функции.

2. Напишите все формулы дифференцирования.

3. Дайте определение сложной функции. Как найти ее производную ?

4. Сформулируйте условия возрастания и убывания функции.

5. Как найти точки экстремума и экстремумы функции ?

6. Как определяются геометрически и по знаку второй производной выпуклость и вогнутость кривой ?

7. Что называется точкой перегиба и каковы необходимый и достаточный признаки ее существования ? Сформулируйте правило нахождения точки перегиба.

8. Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции ?

9. Какая функция называется первообразной для функции f (х) ?

10. Дайте определение функции двух переменных.

11. Как найти частные производные функции z = f (х, у) двух независимых переменных х и у по аргументу х, по аргументу у ?

Тема. 3.3 Основы интегрального исчисления

Студент должен:

знать: -основные методы интегрирования;

-таблицу простейших интегралов;

-формулу Ньютона-Лейбница;

-свойства определенного и неопределенного интегралов;

уметь: - интегрировать простейшие определенные интегралы; -вычислять площади плоских фигур;

Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. Замена переменной. Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Приложение интеграла к решению прикладных задач.

Методические указания

Каждому математическому действию соответствует обратное ему действие. Для дифференцирования существует обратное действие-интегрирование. Нужно разобраться в определении первообразной для функции f(х), понять неоднозначность нахождения первообразной, а затем следует изучить определение неопределенного интеграла, основные свойства неопределенного интеграла.

Зная формулы дифференцирования, студент легко сможет выписать в таблицу основные интегралы. Эти интегралы называются табличными интегралами.

Из способов интегрирования рекомендуется изучить лишь непосредственное интегрирование (приведение к одному или нескольким табличным интегралам) и метод подстановки (замены переменной). В рекомендуемой литературе приводится схема интегрирования методом подстановки и множество решенных примеров на нахождение интегралов по данному методу. Все это позволит студенту понять сущность интегрирования методом подстановки.

После серьезной работы над темой "Неопределенный интеграл" студенту не составит огромного труда изучить такие вопросы как:

- определение определенного интеграла;

- основные свойства определенного интеграла (предлагается пять свойств, среди них два свойства аналогичны свойствам неопределенного интеграла);

- методы вычисления определенного интеграла: непосредственный и метод подстановки.

Определенный интеграл широко применяется для вычисления различных геометрических и физических величин. Следует разобраться в следующих приложениях определенного интеграла:

- вычисление площади плоских фигур (геометрический смысл определенного интеграла);

- нахождение объема тела вращения;

- вычисление пути пройденного точкой и скорости тела;

- вычисление работы силы.

Вопросы для самоконтроля

1. Какая функция называется первообразной для функции f (х) ?

2. Дайте определение неопределенного интеграла.

3. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

4. Каким действием можно проверить интегрирование ?

5. Напишите основные формулы интегрирования (табличные интегралы).

6. Дайте определение определенного интеграла.

7. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

8. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла ?

9. Приведите примеры физических и технических задач, которые можно решить с помощью определенного интеграла.

Раздел 4.

Основы теории вероятностей и математической статистики

Основные понятия и теоремы теории вероятностей.

Студент должен:

знать: понятия: перестановки, размещения, сочетания, события,

частоты и вероятности появления события, совместного и

несовместного события; теоремы сложения вероятностей;

уметь: находить вероятность в простейших задачах, используя

классические определения вероятностей; решать задачи с

применением теоремы сложения вероятностей для

несовместимых событий.

.Основные понятия комбинаторики. Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторные независимые испытания, формула Бернулли

Методические указания

Прежде чем познакомиться с основными понятиями теории вероятностей следует рассмотреть три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания. Уяснить для себя, чем отличаются перестановки от размещения, перестановки от сочетания, размещения от сочетания.

По рекомендуемой литературе разобраться в формулах и в решенных комбинаторных задачах. Рассмотрите понятие случайного события и на примерах разберитесь в видах события: невозможные, достоверные, совместные, несовместные, зависимые, независимые.

После этих понятий следует изучить классическое определение вероятности события, и научиться находить вероятность в простейших задачах, используя классическое определение вероятностей.

Из операций над событиями необходимо познакомиться лишь с суммой конечного числа событий.

Изучение теоретического материала следует сопровождать рассмотрением

решенных задач по предложенным учебникам, а затем следует ответить на вопросы для самоконтроля.

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется n - факториалом ?

2. Что называется перестановками ? Запишите формулу .

3. Что называется размещениями ? Запишите формулу .

4. Что называется сочетаниями ? Запишите формулу .

5. Что понимается под случайным событием ? Приведите примеры.

6. Какие события называются достоверными ? Приведите примеры.

7. Какие события называются невозможными ? Приведите примеры.

8. Что понимается под вероятностью события ?

9. Дайте классическое определение вероятности события.

10. Какие события называются несовместными, совместными ? Приведите примеры.

11. Как формулируется теорема сложения вероятностей ?

12. Дайте определение частоты наступления события и объясните от чего она зависит ?

13. Какими свойствами обладает вероятность события ?

14. Какие события называются независимыми, зависимыми ? Приведите примеры.

Тема 4.2 Случайные величины

Студент должен:

знать: -способы задания случайной величины;

-определение непрерывной и дискретной случайной величины;

-закон распределения случайной величины;

- определение математического ожидания, дисперсии

дискретной случайной величины;

уметь: -строить ряд распределения случайной величины;

-находить функцию распределения случайной величины.

-находить математическое ожидание и дисперсию случайной

величины по заданному закону ее распределения.

Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Биноминальное распределение. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение. Формулы для вычисления основных числовых характеристик случайных величин..

Методические указания

Случайное событие, связанное с некоторым опытом, является качественной характеристикой опыта. Количественной же характеристикой результата проведенного опыта является случайная величина.

Рассматривая примеры, необходимо усвоить понятие случайной величины, виды случайной величины (дискретной и непрерывной) и их определения. Нужно рассмотреть соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Такое соответствие называется законом распределения случайной величины. Закон распределения случайной величины удобно задавать в виде таблицы.

Наиболее исчерпывающей характеристикой случайной величины является ее закон распределения вероятностей. Однако не всегда обязательно знать весь закон распределения. Иногда можно обойтись одним или несколькими числами, отражающими наиболее важные особенности закона распределения, например, числом, имеющим смысл "среднего значения" случайной величины, или же числом, показывающим средний размер отклонения случайной величины от своего среднего значения. Такого рода числа называются числовыми характеристиками случайной величины. Оперируя числовыми характеристиками, можно решать многие задачи, не пользуясь законом распределения.

Из числовых характеристик рекомендуется изучить математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Наряду с понятиями этих чисел следует разобраться в формулах вычисления математического ожидания и дисперсии случайной величины

Вопросы для самоконтроля

1. Какая величина называется случайной ?

2. Какая случайная величина называется дискретной ?

3. Что называется законом распределения случайной величины ?

4. Как строится ряд распределения дискретной случайной величины ?

5. Какое равенство справедливо для вероятностей случайной величины ?

6. Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины ?

7. Что называется дисперсией случайной величины ?

8. Чему равно математическое ожидание дискретной случайной величины ?

9. Какая формула применяется для вычисления дисперсии случайной величины Х ?