Концепция возмущенно-невозмущенного движения

При решении задачи синтеза оптимального управления нелинейной динамической системой

, , ,

обеспечивающего минимум функционалу

,

часто оказывается возможным указать примерные (достаточно небольшие) области начальных и конечных условий , . В этом случае можно предложить следующий метод приближенного решения задачи. Выберем некоторые наиболее ожидаемые или желаемые точки и . Обозначим через оптимальную программу управления, обеспечивающую перевод из в . Траекторию , соответствующую этой программе, назовем невозмущенным, программным движением. Отклонения начального вектора от , а также неучтенные факторы приведут к отклонению траектории движения. Для математического описания возмущенного движения воспользуемся методом линеаризации. Представим , . Тогда получим уравнения движения в отклонениях

, ,

где , , т.е. матрицы и зависят от программного управления .

Желая приблизить действительное (возмущенное) движение к программному (невозмущенному), поставим задачу выбора такого закона управления , который позволял бы минимизировать некоторую меру возмущенного движения. В качестве такой меры можно принять, например, квадратичный критерий оптимальности

,

где матрицы и выбираются, исходя из анализа конкретных технических условий.

При наличии ограничений, накладываемых на вектор управления, задача может оказаться также очень сложной. Можно ее упростить, заменив критерий оптимальности

,

в котором подбирается так, чтобы удовлетворялось ограничение . Решение задачи для линейной системы с таким функционалом было получено ранее и имеет вид , причем, матрица зависит от . Таким образом, приближенное решение задачи синтеза для исходной системы может быть представлено в виде

.

Оптимальная программа управления и соответствующая траектория могут быть получены известными методами.

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ

Теорема Кротова о достаточных условиях

Абсолютного минимума

В предыдущих разделах для решения задач оптимального управления использовались либо необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума, либо метод динамического программирования. Рассмотрим достаточные условия оптимальности, знание и проверка которых дает возможность окончательно ответить на вопрос, является ли управление, найденное тем или иным способом, действительно оптимальным.

Пусть на некотором множестве задан функционал , . Введем в рассмотрение множество , включающее , определив на нем функционал , так, чтобы при .

Лемма. Если элемент удовлетворяет условию

,

то имеет место соотношение

.

Доказательство леммы проводится методом от противного. Предположим, что имеется некоторый элемент , что . Но тогда , так как при , что противоречит условию.

Рассмотрим задачу

, , , ,

.

Обозначим через множество пар векторов , , через - множество , удовлетворяющих рассматриваемой динамической системе. Задача заключается в отыскании таких , которые обеспечивают абсолютный минимум функционалу .

Введем в рассмотрение функцию , непрерывную при всех и и обладающую непрерывными частными производными и для всех , кроме конечного числа точек. Построим функции

,

.

Теорема. Для того, чтобы функционал достигал абсолютного минимума на , достаточно существования такой функции , чтобы:

1) почти всюду на ,

2) .

Для доказательства теоремы используем лемму, ывбрав в качестве множество . Под будем понимать множество , не связанных исходными уравнениями и допускающих разрывы функции в конечном числе точек. Определим на функционал:

.

Можно показать, что на множестве функционалы и совпадают. Действительно, при

.

Подставляя в выражение для и учитывая, что непрерывны, получаем

.

Так как на множестве допускаются разрывы функции , то слагаемые можно рассматривать независимо один от другого. Поэтому

.

Если теперь предположить, что и выполняются условия 1 и 2 теоремы, то согласно последнему выражению достигает абсолютного минимума на , а в силу леммы функционал при этом достигает абсолютного минимума на .