Двумерные случайные величины

Совокупность случайных величин Х₁,Х₂,...,Х_п, определенных на вероятностном пространстве ( ) образует п-мерную случайную величину (Х₁,Х₂,...,Х_п). Если экономический процесс описывается при помощи двух случайных величин Х₁и Х₂, тоопределяется двумерная случайная величина (Х₁,Х₂)или(X,Y).

Функцией распределениясистемы двух случайных величин (Х,Y), рассматриваемой как функция переменных называется вероятность появления события :

Значения функции распределения удовлетворяют неравенству

С геометрической точки зрения функция распределения F(x,y) определяет вероятность того, что случайная точка (х,Y) попадет в бесконечный квадрант с вершиной в точке (х,у), так как точка (х,Y)будет ниже и левее указанной вершины (рис.9.1).

Рис.9.1

Вероятность попадания случайной точки (х,Y) в полуполосу (рис.9.2) или в полуполосу (рис.9.3) выражается формулами:

,

соответственно. Вероятность попадания значений двумерной случайной величины (х,Y) в прямоугольник (рис.9.4) можно найти по формуле:

Рис.9.2 Рис.9.3 Рис.9.4

Дискретнойназывают двухмерную величину, составляющие которой дискретны.

Законом распределениядвумерной дискретной случайной величины (X,Y) называется множество всевозможных значений (x_i, y_j), , дискретных случайных величин Х и Y и соответствующих им вероятностей , характеризующих вероятность того, что составляющая Х примет значение x_i и одновременно с этим составляющая Y примет значение y_j, причем

Закон распределениядвумерной дискретной случайной величины (X,Y) задают в виде табл. 9.1.

Таблица 9.1

ΩХ ΩY	x1	x2	…	xi	…
y1	p(x1,y1)	p(x2,y1)	…	p(xi,y1)	…
y2	p(x1,y2)	p(x2,y2)	…	p(xi,y2)	…
…	…	…	…	…	…
yi	p(x1,yi)	p(x2,yi)	…	p(xi,yi)	…
…	…	…	…	…	…

Непрерывнойназывают двумерную случайную величину, составляющие которой непрерывны. Функция р(х,у), равная пределу отношения вероятности попадания двумерной случайной величины (X,Y)в прямоугольник со сторонами и к площади этого прямоугольника, когда обе стороны прямоугольника стремятся к нулю, называется плотностью распределения вероятностей:

Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения по формуле:

Во всех точках, где существует смешанная производная второго порядка функции распределения , плотность распределения вероятностей можно найти по формуле:

Вероятность попадания случайной точки (х,у) в область D определяется равенством:

Вероятность того, что случайная величина X приняла значение X<х при условии, что случайная величина Y приняла фиксированное значение Y=y, вычисляется по формуле:

Аналогично,

Формулы для вычисления условных плотностей распределения вероятностей составляющих X и Y :

Совокупность условных вероятностей p(x₁|y_i), p(x₂|y_i), …, p(x_i|y_i), … отвечающих условию Y=y_i, называется условным распределением составляющей Х при Y=y_i дискретной двумерной случайной величины (X,Y), где

Аналогично условное распределение составляющей Y при Х=х_i дискретной двумерной случайной величины (х,Y) – это совокупность условных вероятностей отвечающих условию X=x_i , где

Начальным моментом порядкаk+s двумерной случайной величины (X,Y)называется математическое ожидание произведений и , т.е. .

Если X и Y – дискретные случайные величины, то

Если X и Y – непрерывные случайные величины, то

Центральным моментомпорядка k+s двумерной случайной величины (X,Y)называется математическое ожидание произведений и ,т.е.

Если составляющие величины являются дискретными, то

Если составляющие величины являются непрерывными, то

где р(х,y) – плотность распределения двумерной случайной величины (X,Y).

Условным математическим ожиданиемY(X)при X=х (при Y=у) называется выражение вида:

– для дискретной случайной величины Y(X);

– для непрерывной случайной величины Y(X).

Математические ожидания составляющих X и Y двумерной случайной величины вычисляются по формулам:

или

или

Корреляционным моментомнезависимых случайных величин X и Y,входящих в двумерную случайную величину (X,Y), называют математическое ожидание произведений отклонений этих величин:

.

Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y, входящих в двумерную случайную величину (X,Y), равен нулю.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y, входящих в двумерную случайную величину (X,Y), называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

Коэффициент корреляции характеризуют степень (тесноту) линейной корреляционной зависимости между X и Y.Случайные величины, для которых , называются некоррелированными.

Коэффициент корреляции удовлетворяет свойствам:

1. Коэффициент корреляциине зависит от единиц измерения случайных величин.

2. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицу:

3. Если то между составляющими X и Y случайной величины (X,Y) существует линейная функциональная зависимость:

4. Если то составляющие X и Y двумерной случайной величины некоррелированы.

5. Если то составляющие X и Y двумерной случайной величины зависимы.

Уравнения M(X|Y=у)=φ(у)и M(Y|X=х)=ψ(x)называют уравнениями регрессии, а линии, определяемые ими, – линиями регрессии.

Задачи

9.1.Двумерная дискретная случайная величина (X, Y) задана законом распределения:

Таблица 9.2

Ωх Ωy
	0,2	0,15	0,08	0,05
	0,1	0,05	0,05	0,1
	0,05	0,07	0,08	0,02

Найти: а) законы распределения составляющих X и Y;

б) условный закон распределения величины Y при X =1;

в) функцию распределения.

Выяснить, являются ли независимыми величины X и Y. Вычислить вероятность и основные числовые характеристики М(Х), М(Y), D(X), D(Y), R(X,Y), .

Решение. а)Случайные величины X и Y определены на множестве , состоящем из элементарных исходов, которое имеет вид:

Событию {X=1} соответствует множество таких исходов, у которых первая компонента равна 1: (1;0), (1;1), (1;2). Эти исходы несовместимы. Вероятность того, что Х примет значение х_i, согласно аксиоме 3 Колмогорова, равна:

Аналогично

Следовательно, маргинальное распределение составляющей Х, может быть задано в виде табл. 9.3.

Таблица 9.3

xi
P(X=xi)	0,35	0,27	0,21	0,17

Чтобы найти вероятность P(Y=y_i), необходимо сложить вероятности строки y_i в табл. 9.2:

Тогда маргинальное распределение составляющей Y, двумерной случайной величины, имеет вид:

Таблица 9.4

yj
P(Y=yi)	0,48	0,30	0,22

б) Совокупность условных вероятностей р(1;0), р(1;1), р(1;2) отвечающих условию X=1, называется условным распределением составляющей Y при X=1. Вероятность значений величины Y при Х=1 найдём при помощи формулы:

Поскольку , то, подставив значения соответствующих вероятностей, получаем

Итак, условное распределение составляющей Y при Х=1 имеет вид:

Таблица 9.5

yj
	0,48	0,30	0,22

Так как условный и безусловный законы распределения не совпадают (см. табл. 9.4 и 9.5), то величины X и Y зависимы. Этот вывод подтверждается тем, что не выполняется равенство

для любой пары возможных значений X и Y.

Например,

в) Функция распределения F(x,y) двумерной случайной величины (X,Y) имеет вид:

где суммирование выполняется по всем точкам ( ), для которых одновременно выполняются неравенства x_i<x и y_j<y. Тогда для заданного закона распределения, получим:

Результат удобнее представлять в виде табл.9.6.

Таблица 9.6

х y
		0,20	0,35	0,43	0,48
		0,30	0,5	0,63	0,78
		0,35	0,62	0,83

Воспользуемся формулами для начальных моментов и результатами таблиц 9.3 и 9.4 и вычислим математические ожидания составляющих X и Y:

Дисперсии вычислим через второй начальный момент и результаты табл. 9.3 и 9.4:

Для вычисления ковариации К(X,Y) используем аналогичную формулу через начальный момент:

Коэффициент корреляции определяется по формуле:

Искомая вероятность определяется как вероятность попадания в область на плоскости, определяемую соответствующим неравенством:

где

9.2.Кораблем передается сообщение «SOS», которое может быть принято двумя радиостанциями. Этот сигнал может быть принят одной радиостанцией независимо от другой. Вероятность того, что сигнал принят первой радиостанцией, составляет 0,95; вероятность того, что сигнал принят второй радиостанцией, равна 0,85. Найти закон распределения двумерной случайной величины, характеризующей прием сигнала двумя радиостанциями. Написать функцию распределения.

Решение: Пусть X – событие, состоящее в том, что сигнал принимает первая радиостанция. Y – событие состоит в том, что сигнал принимает вторая радиостанция.

Множество значений .

Х=1 – сигнал принят первой радиостанцией;

Х=0 – сигнал не принят первой радиостанцией.

Множество значений .

Y=l – сигнал принят второй радиостанцией,

Y=0 – сигнал не принят второй радиостанцией.

Вероятность того, что сигнал не принят ни первой, ни второй радиостанциями равна:

.

Вероятность принятия сигнала первой радиостанцией:

.

Вероятность того, что сигнал принят второй радиостанцией:

.

Вероятность того, что сигнал принят и первой и второй радиостанциями, равна: .

Тогда закон распределения двумерной случайной величины равен:

y x
	0,007	0,142
	0,042	0,807

При каждом фиксированном значении точки с координатами (х,y) значение F(х,y)равно сумме вероятностей тех возможных значений случайной величины (X,Y), которые попадают внутрь указанного прямоугольника.

Тогда функция распределения будет иметь вид:

9.3.Две фирмы выпускают одинаковую продукцию. Каждая независимо от другой может принять решение о модернизации производства. Вероятность того, что первая фирма приняла такое решение, равна 0,6. Вероятность принятия такого решения второй фирмой равна 0,65. Написать закон распределения двумерной случайной величины, характеризующей принятие решения о модернизации производства двух фирм. Написать функцию распределения.

Ответ: Закон распределения:

	0,14	0,21
	0,26	0,39

При каждом фиксированном значении точки с координатами (x,y) значение равно сумме вероятностей тех возможных значений , которые попадают внутрь указанного прямоугольника .

9.4.На токарном станке-автомате изготавливаются поршневые кольца для двигателей автомобиля. Измеряются толщина кольца (случайная величина X)и диаметр отверстия (случайная величина Y). Известно, что около 5% всех поршневых колец бракованные. Причем, 3% брака обусловлены нестандартными диаметрами отверстий, 1% – нестандартной толщиной и 1 % – бракуют по обоим признакам. Найти: совместное распределение двумерной случайной величины (X,Y); одномерные распределения составляющих Х и Y;математические ожидания составляющих X и Y; корреляционный момент и коэффициент корреляции между составляющими X и Y двумерной случайной величины (Х,Y).

Ответ: Закон распределения:

	0,01	0,03
	0,01	0,95

; ; ; ; ; .

9.5.В продукции завода брак вследствие дефекта А составляет 4%, а вследствие дефекта В – 3,5%. Стандартная продукция составляет 96%. Определить какой процент всей продукции обладает дефектами обоих типов.

9.6.Случайная величина (X,Y)распределена с постоянной плотностью внутри квадрата R, вершины которого имеют координаты (–2;0), (0;2), (2;0), (0;–2). Определить плотность распределения случайной величины (X,Y)и условные плотности распределения р(х\у), р(у\х).

Решение. Построим на плоскости x0y заданный квадрат (рис.9.5) и определим уравнения сторон квадрата ABCD, воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две заданные точки: Подставив координаты вершин А и В получим последовательно уравнение стороны АВ: или .

Рис.9.5

Аналогично находим уравнение стороны ВС: ;стороны CD: и стороны DA: .

Согласно условия задачи, плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины имеет вид:

Константу С находим, воспользовавшись свойством плотности распределения:

Так как область интегрирования является симметричной относительно начала координат, то интеграл, стоящий в левой части равенства, будет равен:

Тогда 8С=1, следовательно, и плотность распределения вероятностей запишется в виде:

Условные плотности вычислим по формулам:

и , предварительно вычислив и :

и

Тогда

Ответ:

При

При

9.7.Плотность распределения двумерной случайной величины (X,Y) имеет вид:

Определить константу С и вычислить математические ожидания составляющих X и Y, коэффициент корреляции.

Решение. Константу С найдем воспользовавшись свойством плотности распределения вероятности:

или .

Область интегрирования ограничена прямыми: х=0, х=2 и y=0, Y=2. Поэтому, переходя к повторному интегралу, получим: .

Вычислим интеграл в левой части равенства:

Тогда , откуда находим . Плотность распределения двумерной случайной величины примет вид:

Математические ожидания составляющих вычислим по формулам:

; .

Подставив значения плотности и учитывая область интегрирования, получим:

Для выполнения коэффициента корреляции, вычислим в начале дисперсии D(X), D(Y) и корреляционный момент К(X,Y):

,

поскольку подынтегральные выражения и пределы интегрирования такие же, как и при вычислении D(X).

Тогда коэффициент корреляции равен:

9.8.Двумерная случайная величина (X, Y)распределена с постоянной плотностью внутри квадрата R, вершины которого имеют координаты (0;0), (0;2), (2;0), (2;2). Найти плотность вероятностей р(х,у)и функцию распределения F(x,y).

Ответ:

9.9.Поверхность распределения системы случайных величин (X, Y) представляет собой полушар с центром в начале координат радиуса R.Найти плотность распределения вероятностей.

Ответ:

9.10.Задана дискретная двумерная случайная величина:

	0,25	0,10
	0,15	0,05
	0,32	0,13

Найти: а) условный закон распределения X, при условии, что у=10;

б) условный закон распределения Y, при условии, что x =10;

в) математическое ожидание, дисперсию, коэффициент корреляции.

9.11.Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y)равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами О(0;0), А(0;8), В(8,0).

Найти: а) плотность распределения вероятностей;

б) плотность распределения вероятностей составляющих.

Ответ: а) ; при ; при ; б) при ; при , вне указанных интервалов функции равны нулю.

9.12.В продукции завода брак вследствие дефекта М составляет З%, а вследствие дефекта К – 4,5%. Годная продукция составляет 95%. Определить, какой процент всей продукции обладает дефектами обоих типов. Вычислить коэффициент корреляции дефектов М и К.

Ответ:2,5%; .