Дискретной случайной величины.
1. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой величине.
М(С)=С.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.
М(СХ)=СМ(Х).
3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин Х и Y равно сумме их математических ожиданий.
М(Х+Y)=М(Х)+М(Y).
Определение 5.2.2. Дискретные случайные величины называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое возможное значение приняла другая величина.
Несколько случайных величин называются независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины.
4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
М(ХY)=М(Х)М(Y).
5. Математическое ожидание разности двух случайных величин Х и Y равно разности их математических ожиданий:
М(Х – Y)=М(Х) – М(Y).
Отметим, что свойства 3 и 4 имеют место для любого конечного числа случайных величин.
Пример 5.2.3. Найти математическое ожидание случайной величины Z=X+2Y, если известны математические ожидания случайных величин X и Y: M(X)=5, M(Y)=3.
○Используя свойства 3 и 2 математического ожидания, получим:
M(Z)=M(X+2Y)=M(X)+M(2Y)=M(X)+2M(Y)=5+2·3=11.●
Пример 5.2.4. Независимые случайные величины заданы законами распределения
| Х | ||
| P(X=xi) | 0,2 | 0,8 |
| Y | 0,5 | |
| P(Y=yi) | 0,3 | 0,7 |
Найти математическое ожидание случайной величины XY.
○Найдем математические ожидания каждой из данных величин:
М(X)=1·0,2+2·0,8=1,8.
М(Y)=0,5·0,3+1·0,7=0,15+0,7=0,85.
Случайные величины X и Y независимы, поэтому искомое математическое ожидание: М(XY)=M(X)M(Y)=1,8·0,85=1,53.●
Дисперсия дискретной случайной величины.
Математическое ожидание не дает полной характеристики закона распределения случайной величины. Покажем это на примере. Пусть заданы две дискретные случайный величины X и Y своими законами распределения:
| Х | –2 | ||
| P(X=xi) | 0,4 | 0,2 | 0,4 |
| Y | –100 | ||
| P(Y=yi) | 0,3 | 0,4 | 0,3 |
Несмотря на то, что математические ожидания величин Х и Y одинаковы: M(Х)=M(Y)=0, возможные значения величин Х и Y «разбросаны» или «рассеяны» около своих математических ожиданий по-разному: возможные значения величины Х расположены гораздо ближе к своему математическому ожиданию, чем значения величины Y.
Укажем еще на один пример. При одинаковой средней величине годовых осадков одна местность может быть засушливой и неблагоприятной для сельскохозяйственных работ (нет дождей весной и летом), а другая – благоприятной для ведения сельского хозяйства.
Из сказанного вытекает необходимость введения новой числовой характеристики случайной величины, по которой можно судить о «рассеянии» возможных значений этой случайной величины.
Пусть задана дискретная случайная величина Х:
| Х | x1 | x2 | … | хn |
| P(X=xi) | p1 | p2 | … | pn |
Определение 5.2.3. Отклонением случайной величины Х от ее математического ожидания М(Х) (или просто отклонением случайной величины Х) называется случайная величина Х–М(Х).
Видно, что для того, чтобы отклонение случайной величины приняло значение х1– М(Х), достаточно, чтобы случайная величина Х приняла значение х1. Вероятность же этого события равна р1. Следовательно, и вероятность того, что отклонение случайной величины Х примет значение х1 – М(Х), также равна р1. Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения случайной величины Х. Используя это, запишем закон распределения отклонения случайной величины Х:
| Х–М(Х) | x1–М(Х) | x2–М(Х) | … | хn–М(Х) |
| P(X–М(Х)=ti) | p1 | p2 | … | pn |
Отметим, что математическое ожидание отклонения Х–М(Х) равно нулю:
М[Х–М(Х)]= 0.
Из данного равенства видно, что с помощью отклонения Х–М(Х) не удается определить среднее отклонение возможных значений величины Х от ее математического ожидания, т.е. степень рассеяния величины Х. Это объясняется взаимным погашением положительных и отрицательных возможных значений отклонения. Однако можно освободиться от этого недостатка, если рассматривать квадрат отклонения случайной величины Х.
Запишем закон распределения случайной величины [Х–М(Х)]2 (рассуждения те же, что и в случае случайной величины Х–М(Х)).
| [Х–М(Х)]2 | [x1–М(Х)]2 | [x2–М(Х)]2 | … | [хn–М(Х)]2 |
| P([Х–М(Х)]2=ti) | p1 | p2 | … | pn |
|
D(X)=М[(Х–М(Х))2].
Из закона распределения величины [Х–М(Х)]2 следует, что
|