Стереометрия. Многогранники.

1º. Призмой называется многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников (оснований), расположенных в параллельных плоскостях, и параллелограммов (боковых граней), число которых равно числу сторон оснований.

Если l – длина бокового ребра, P – периметр основания, S_осн – площадь основания, S_сеч – площадь перпендикулярного сечения; S_бок – площадь боковой поверхности, V – объем, H – высота, то:

; .

2º. Прямой называется призма, если ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Прямая призма называется правильной, если в ее основаниях лежат правильные многоугольники.

3º. Прямоугольным параллелепипедом называется прямая призма, основания которой – прямоугольники.

Если a, b, c – измерения параллелепипеда, d – диагональ, то:

; ; .

4º. Куб – прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны (a – ребро).

;

5º. Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого – произвольный многоугольник (основание), а остальные грани (боковые грани) – треугольники, имеющие общую вершину.

Если S_осн – площадь основания, V – объем, H – высота, то:

;

.

Если все боковые ребра пирамиды равны между собой, то:

1) боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы;

2) вершина пирамиды проектируется в центр описанной около основания окружности.

Если все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом α, то:

1) апофемы всех боковых граней равны;

2) вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание;

3) ; ;

6º. Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а высота проходит через его центр.

Если P – периметр основания, l – апофема, S_бок – площадь боковой поверхности, то:

; ; .

6º. Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Для произвольной усеченной пирамиды: ,

,

для правильной усеченной пирамиды: ,

где S₁ и S₂ – площади оснований, h - высота, V – объем, P₁ и P₂ – периметры оснований, l – апофема; S_бок – площадь боковой поверхности.

Пример 49. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 6 см, 8 см, 10 см и все боковые ребра образуют с основанием углы по 45º. Тогда объем пирамиды равен:

1) 62 см³ 2) см³ 3) 40 см³ 4) 24 см³ 5) 96 см³.

Решение.

Дано: MABC – пирамида,

. Найти .

Так как , т.е. , то по теореме обратной теореме Пифагора – ΔABC – прямоугольный, , AB, BC – его катеты, AC – гипотенуза. По условию все боковые ребра пирамиды наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания, значит, вершина пирамиды проектируется в центр описанной около основания окружности, т.е. в середину гипотенузы ΔABC.

, .

В ΔAOM ( ) острые углы треугольник равнобедренный, . Таким образом,

.

Ответ: см³ (№3 – правильный ответ).

Пример 50. Пусть в треугольной пирамиде все боковые грани образуют с плоскостью основания углы по 60º, и в основание вписан круг площадью 9π см². Тогда высота пирамиды равна:

1) 3 см 2) см 3) см 4) 9 см 5) см.

Решение. Пусть радиус круга, вписанного в основание пирамиды, - r. Тогда площадь круга S равна: . Отсюда . Из прямоугольного треугольника OMN находим: .

Ответ: высота пирамиды равна см (№3 – правильный ответ).

Пример 51. В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат площадью 16 см². Через одну из сторон нижнего основания и противоположную сторону верхнего проведена плоскость. Площадь полученного сечения равна 20 см². При этом полная поверхность параллелепипеда равна:

1) 96 см² 2) 48 см² 3) 40 см² 4) 80см² 5) 56 см².

Решение.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед, ABCD – квадрат, . см², ABC₁D₁ – сечение параллелепипеда, см². Найти .

.

По условию .

Тогда .

Вычислим СС₁. По условию , , .

Из ΔBCC₁: .

Окончательно, .

Ответ: см² (№4 – правильный ответ).

Дидактический материал.

1. Если боковая поверхность правильной четырехугольной призмы равна 40 см², а полная 90 см², то высота призмы равна:

1) 5 см 2) 4 см 3) 2 см 4) 3 см 5) 10 см.

2. Высота правильной треугольной пирамиды равна равна 6 см. На расстоянии 3 см от вершины проведена плоскость, параллельная основанию. Площадь полученного сечения равна 5 см². Тогда объем данной пирамиды равен:

1) 40 см² 2) 120 см² 3) 20 см² 4) 25 см² 5) 60 см².

3. Если площадь основания правильного параллелепипеда равна 9 см², а его полная поверхность равна 66 см², то объем параллелепипеда равен:

1) 40 см³ 2) 48 см³ 3) 36 см³ 4) 32 см³ 5) 64 см³.

4. В основание правильной четырехугольной пирамиды вписан круг радиуса 2 см. Боковые грани составляют с плоскостью основания углы 60º. При этих условиях полная поверхность пирамиды равна:

1) 48 см² 2) 32 см² 3) 64 см² 4) 24 см² 5) 36 см².

5. Около основания правильной шестиугольной призмы описана окружность радиуса 3 см. Высота призмы 4 см. Тогда площадь боковой поверхности призмы равна:

1) 84 см² 2) 36 см² 3) 72 см² 4) 54 см² 5) 42 см².

6. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 10 см. Все боковые грани образуют с основанием углы 60º. В этих условиях площадь полной поверхности пирамиды равна:

1) 72 см² 2) 64 см² 3) 48 см² 4) 56 см² 5) 88 см².

7. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Объем пирамиды равен 40 см³. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом. Этот угол равен:

1) 45º 2) 30º 3) 60º 4) 15º 5) 22º15´.

8. объем правильной треугольной призмы равен . Радиус окружности, описанной около основания равен 2. Найти высоту призмы.

1) 6 2) 8 3) 15 4) 9 5) 12.

9. Объем куба равен . Найти радиус окружности, описанной вокруг грани куба:

1) 2) 3 3) 4) 2 5) .