Операторы поиска данных с возможностью модификации

1. Найти и удержать единственный экземпляр сегмента. Эта операция подобна первой операции поиска GET UNIQUE, единственным отличием этой операции является то, что после выполнения этой операции пал найденным экземпляром сегмента допустимы операции модификации (изменения) данных.

Синтаксис:

GET HOLD UNIQUE <имя сегмента> WHERE <список поиска>

1. Найти и удержать следующий с теми же условиями поиска. Аналогично операции 4 эта операция дублирует вторую операции поиска GET NEXT с возможностью выполнения последующей модификации данных.

Синтаксис:

GET HOLD NEXT [WHERE <дополнительные условия>]

1. Получить и удержать следующий для того же родителя. Эта операция является аналогом операции поиска 3, но разрешает выполнение операций модификации данных после себя.

Синтаксис:

GET HOLD NEXT WITHIN PARENT [ where <дополн.условия>]

Операторы модификации данных

1. Удалить : Это первая из трех операций модификации.

Синтаксис:

DELETE

Эта команда не имеет параметров. Почему? Потому что операции модификации действуют на экземпляр сегмента, найденный командами поиска с удержанием. А он всегда единственный текущий найденный и удерживаемый для модификации экземпляр конкретного сегмента. Поэтому при выполнении команды удаления будет удален именно этот экземпляр сегмента.

1. Обновить

Синтаксис:

UPDATE

Как же происходит обновление, если мы и в этой команде не задаем никаких параметров. СУБД берет данные из рабочей области пользователя, где в шаблонах записей соответствующих внутренних переменных находятся значения полей каждого сегмента внешней модели, с которой работает данный пользователь. Именно этими значениями и обновляется текущий экземпляр сегмента. Значит, перед тем как выполнить операции модификации UPDATE, необходимо присвоить соответствующим переменным новые значения.

Ввести новый экземпляр сегмента.

INSERT <имя сегмента>

Эта команда позволяет ввести новый экземпляр сегмента, имя которого определено в параметре команды. Если мы вводим данные в сегмент, который является подчиненным некоторому родительскому экземпляру сегмента, то он будет внесен в БД и физически подключен к тому экземпляру родительского сегмента, который в данный момент является текущим.

Как видим, набор операций поиска и манипулирования данными в иерархической БД невелик, но он вполне достаточен для получения доступа к любому экземпляру любого сегмента БД. Однако следует отметить, что способ доступа, который применяется в данной модели, связан с последовательным перемещением от одного экземпляра сегмента к другому. Такой способ напоминает движение летательного аппарата или корабля по заданным координатам и называется навигационным.

Сетевая модель данных

Стандарт сетевой модели впервые был определен в 1975 году организацией CODASYL (Conference of Data System Languages), которая определила базовые понятия модели и формальный язык описания.

Базовыми объектами модели являются:

• элемент данных;
• агрегат данных;
• запись;
• набор данных,

Элемент данных — то же, что и в иерархической модели, то есть минимальная информационная единица, доступная пользователю с использованием СУБД.

Агрегат данных соответствует следующему уровню обобщения в модели. В модели определены агрегаты двух типов: агрегат типа вектор и агрегат типа повторяющаяся группа.

Агрегат данных имеет имя, и в системе допустимо обращение к агрегату по имени. Агрегат типа вектор соответствует линейному набору элементов данных. Например, агрегат Адрес может быть представлен следующим образом:

Адрес
Город	Улица	дом	квартира

Агрегат типа повторяющаяся группа соответствует совокупности векторов данных. Например, агрегат Зарплата соответствует типу повторяющаяся группа с числом повторений 12.

Зарплата
Месяц	Сумма

Записью называется совокупность агрегатов или элементов данных, моделирующая некоторый класс объектов реального мира. Понятие записи соответствует понятию «сегмент» в иерархической модели. Для записи, так же как и для сегмента, вводятся понятия типа записи и экземпляра записи.

Следующим базовым понятием в сетевой модели является понятие «Набор». Набором называется двухуровневый граф, связывающий отношением «одии-комногим» два типа записи.

Набор фактически отражает иерархическую связь между двумя типами записей. Родительский тип записи в данном наборе называется владельцем набора, а дочерний тип записи — членом того же набора.

Для любых двух типов записей может быть задано любое количество наборов, которые их связывают. Фактически наличие подобных возможностей позволяет промоделировать отношение «многие-ко-многим» между двумя объектами реального мира, что выгодно отличает сетевую модель от иерархической. В рамках набора возможен последовательный просмотр экземпляров членов набора, связанных с одним экземпляром владельца набора.

Между двумя типами записей может быть определено любое количество наборов: например, можно построить два взаимосвязанных набора. Существенным ограничением набора является то, что один и тот же тип записи не может быть одновременно владельцем и членом набора.

В качестве примера рассмотрим таблицу, на основе которой организуем два набора и определим связь между ними:

	Преподаватель	Группа	День недели	№ пары	Аудитория	Дисциплина
	Иванов		Понедельник		22-13	КИД
	Иванов		Понедельник		22-13	КИД
	Карпова		Вторник		22-14	БЗ и ЭС
	Карпова		Вторник		22-14	БЗ и ЭС
	Карпова		Вторник		22-14	БД
	Смирнов		Вторник		23-07	ГВП
	Смирнов		Вторник		23-07	ГВП

Экземпляров набора Ведет занятия будет 3 (по числу преподавателей), экземпляром набора Занимается у будет 4 (по числу групп). На рис. 3.6 представлены взаимосвязи экземпляров данных наборов.

Рис. 3.6. Пример взаимосвязи экземпляров двух наборов

Среди всех наборов выделяют специальный тип набора, называемый «Сингулярным набором», владельцем которого формально определена вся система. Сингулярный набор изображается в виде входящей стрелки, которая имеет собственно имя набора и имя члена набора, но у которой не определен тип записи «Владелец набора». Например, сингулярный набор М.

Сингулярные наборы позволяют обеспечить доступ к экземплярам отдельных типов данных, поэтому если в задаче алгоритм обработки информации предполагает обеспечение произвольного доступа к некоторому типу записи, то для поддержки этой возможности необходимо ввести соответствующий сингулярный набор.

В общем случае сетевая база данных представляет совокупность взаимосвязанных наборов, которые образуют на концептуальном уровне некоторый граф.

Язык описания данных в сетевой модели

Язык описания данных в сетевой модели имеет несколько разделов:

• описание базы данных — области размещения;
• описания записей — элементов и агрегатов (каждого в отдельности);
• описания наборов (каждого в отдельности).

SCHEMA IS <Имя БД>.

AREA NAME IS <Имя физической области>.

RECORD NAME IS <Имя записи (уникапьное)>

Для каждой записи определяется способ размещения экземпляров записи данного типа:

LOCATION MODE IS'{DIRECT (напрямую)

CALC <Имя программы> USING <[Список пер.>]

DUPLICATE ARE [NOT] ALLOWED

VIA <Имя на6ора> SET (рядом с записями владельца)

SYSTEM (решать будет система)}

Каждый тип записи должен быть приписан к некоторой физической области размещения:

WITHIN <Имя области размещения> AREA

После описания записи в целом идет описание внутренней структуры:

<Имя уровня> <Имя данного> <Шаблон> <Тип>

Номер уровня определяет уровень вложенности при описании элементов и агрегатов данных. Первый уровень — сама запись. Поэтому элементы или агрегаты данных имеют уровень начиная со второго. Если данное соответствует агрегату, то любая его составляющая добавляет один уровень вложенности.

Если агрегат является вектором, то он описывается как <Номер уровня> <Имя агрегата>.<Номер уровня> <Имя 1-й сост.> а если — повторяющейся группой, то следующим образом:

<Номер уровня> <Имя агрегата>.OCCURS <N> TIMES

где N — среднее количество элементов в группе.

Описание набора и порядка включения членов в него выглядит следующим образом:

SET NAME IS <Имя набора>:

OWNER IS (<Имя владельца> SYSTEM).

Далее указывается порядок включения новых экземпляров члена данного набора в экземпляр набора:

ORDER PERMANENT INSERTION IS {SORTED | NEXT | PREV | LAST FIRST}

После этого описывается член набора с указанием способа включения и способа исключения экземпляра — члена набора из экземпляра набора.

MEMBER IS <Имя члена набора> {AUTOMATIC | MANUAL} {MANDATORY OPTIONAL} KEY IS (ACCENDING | DESCENDING) <Имя элемента данных>

При автоматическом включении каждый новый; экземпляр члена набора автоматически попадает в текущий экземпляр набора в соответствии с заданным ранее Порядком включения. При ручном способе экземпляр члена набора сначала попадает в БД, а только потом командой CONNECT может быть включен в конкретный экземпляр набора.

Если задан способ исключения MANDATORY, то экземпляр записи, исключаемый из набора, автоматически исключается и из базы данных. Иначе просто разрываются связи.

Внешняя модель при сетевой организации данных поддерживается путем описания части общего связного графа.

Язык манипулирования данными в сетевой модели

Все операции манипулирования данными в сетевой модели делятся на навигационные операции и операции модификации.

Навигационные операции осуществляют перемещение по БД путем прохождения по связям, которые поддерживаются в схеме БД. В этом случае результатом является новый единичный объект, который получает статус текущего объекта.

Операции модификации осуществляют как добавление новых экземпляров отдельных типов записей, так и экземпляров новых наборов, удаление экземпляров записей и наборов, модификацию отдельных составляющих внутри конкретных экземпляров записей. Средства модификации данных сведены в табл. 3.1:

Таблица 3.1. Операторы манипулирования данными в сетевой модели

	Операция	Назначение
	READY	Обеспечение доступа данного процесса или пользователя к БД (сходна по смыслу с операцией открытия файла)
	FINISH	Окончание работы с БД
	FIND	Группа операций, устанавливающих указатель найденного объекта на текущий объект
	GET	Передача найденного объекта в рабочую область. Допустима только после FIND
	STORE	Помещение в БД записи, .сформированной в рабочей области
	CONNECT	Включение текущей записи в текущий экземпляр набора
	DISCONNECT	Исключение текущей записи из текущего экземпляра набора
	MODIFY	Обновление текущей записи данными из рабочей области пользователя
	ERASE	Удаление экземпляра текущей записи

В рабочей области пользователя хранятся шаблоны записей, программные переменные и три типа указателей текущего состояния:

• текущая запись процесса (код или ключ последней записи, с которой работала данная программа);
• текущая запись типа записи (для каждого типа записи ключ последней записи, с которой работала программа);
• текущая запись типа набор (для каждого набора с владельцем Т1 и членом Т2 указывается, Т1 или Т2 были последней обрабатываемой записью).

На рис. 3.7 представлена концептуальная модель торгово-посреднической организации.

Рис. 3.7. Схема БД «Торговая фирма»

При необходимости возможно описание элементов данных, которые не принадлежат непосредственно данной записи, но при ее обработке часто используются. Для этого используется тип VIRTUAL с обязательным указанием источника данного элемента данных.

RECORD Цены

02 Цена TYPE REAL

02 Товар VIRTUAL

SOURCE IS Товары.НаименованиеТовара

OF OWNER OF Товар-Цены SET

Наиболее интересна операция поиска (FIND), так как именно она отражает суть навигационных методов, применяемых в сетевой модели. Всего существует семь типов операций поиска:

1. По ключу (запись должна быть описана через CALC USING ...):

FIND <Имя записи> RECORD BY CALC KEY <Имя параметра>

1. Последовательный просмотр записей данного типа:

FIND DUPLICATE <Имя записи> RECORD BY CALC KEY

1. Найти владельца текущего экземпляра набора:

FIND OWNER OF CURRENT <Имя набора> SET

1. Последовательный просмотр записей—членов текущего экземпляра набора:

FIND (FIRST | NEXT) <Имя записи> RECORD IN CURRENT <Имя набора> SET

1. Просмотр записей—членов экземпляра набора, специфицированных рядом нолей:

FIND [DUPLICATE] <Имя записи> RECORD IN CURRENT <Имя набора> SET USING <Список полей>

1. Сделать текущей записью процесса текущий экземпляр набора:

FIND CURRENT OF <Имя набора> SET

1. Установить текущую запись процесса:

FIND CURRENT OF <Имя записи> RECORD

Например, алгоритм и программа печати заказов, сделанных Петровым, будут выглядеть так:

ФИО = "Петров"

FIND Люди RECORD BY CALC KEY

FIND FIRST Заказы RECORD IN

CURRENT Люди-Заказы SET WHILE NOT FAIL DO

FIND OWNER OF CURRENT

Товары-Заказы SET GET Товары

PRINT НаимТовара FIND NEXT Заказы RECORD IN

CURRENT Люди-Заказы SET

END

Лекция 4

Реляционная модель данных

Литература

• Базы данных: модели реализация / Т. С. Карпова. - СПб.: Питер, 2001. - 304 с.: ил.
• Хомоненко А. Д., Цыганков В. М., Мальцев М. Г. Базы данных: Учебник для высших учебных заведений /Под. ред. проф. А. Д. Хомоненко. - СПб.: КОРОНА принт, 2000. - 416 с.

• Реляционная модель данных
• Основные определения
• Операции над отношениями. Реляционная алгебра
• Теоретико-множественные операции реляционной алгебры
• Специальные операции реляционной алгебры
• Задания для самостоятельной работы

Реляционная модель данных

Основные определения

Появление теоретико-множественных моделей в системах баз данных было пред определено настоятельной потребностью пользователей в переходе от работы с элементами данных, как это делается в графовых моделях, к работе с некоторыми макрообъектамн. Основной моделью в этом классе является реляционная модель данных. Простота и наглядность модели для пользователей-непрограммистов, с одной стороны, и серьезное теоретическое обоснование, с другой стороны, определили большую популярность этой модели. Кроме того, развитие формального аппарата представления и манипулирования данными в рамках реляционной модели сделали се наиболее перспективной для использования в системах представления знаний, что обеспечивает качественно иной подход к обработке данных в больших информационных системах.

Теоретической основой этой модели стала теория отношений, основу которой заложили два логика — американец Чарльз Содерс Пирс (1839-1914) и немец Эрнст Шредер (1841-1902). В руководствах по теории отношений было показано, что множество отношений замкнуто относительно некоторых специальных операций, то есть образует вместе с этими операциями абстрактную алгебру. Это важнейшее свойство отношений было использовано в реляционной модели для разработки языка манипулирования данными, связанного с исходной алгеброй. Американский математик Э. Ф. Кодд в 1970 году впервые сформулировал основные понятия и ограничения реляционной модели, ограничив набор операций в ней семью основными и одной дополнительной операцией. Предложения Кодда были настолько эффективны для систем баз данных, что за эту модель он был удостоен престижной премии Тьюринга в области теоретических основ вычислительной техники.

Основной структурой данных в модели является отношение, именно поэтому модель получила название реляционной (от английского relation — отношение).

N-арным отношением R называют подмножество декартова произведения D,xD₂x ... xD_n множеств D,, D₂, ..., D_n (n > 1), необязательно различных. Исходные множества D₁, D₂, ..., D_n называют в модели доменами.

R D₁xD₂x...xD_m

где D₁xD₂x ...xD_n— полное декартово произведение.

Полное декартово произведение — это набор всевозможных сочетаний из п элементов каждое, где каждый элемент берется из своего домена. Например, имеем три домена: D₁ содержит три фамилии, D₂ — набор из двух учебных дисциплин и D₃ — набор из трех оценок. Допустим, содержимое доменов следующее:

• D₁ = {Иванов, Крылов, Степанов};
• D₂ = (Теория автоматов, Базы данных};
• D₃ = {3, 4, 5}

Тогда полное декартово произведение содержит набор из 18 троек, где первый элемент — это одна из фамилий, второй — это название одной из учебных дисциплин, а третий — одна из оценок.

<Иванов.Теория автоматов.3>: <Иванов.Теория автоматов.4>; <Иванов.Теория автоматов,5> <Крылов.Теория автоматов.3>: <Крылов,Теория автоматов,4>: <Крылов,Теория автоматов.5>: <Степанов.Теория автоматов.3>; <Степанов.Теория автоматов.4>: <Степанов,Теория автоматов.5>: <Иванов,Базы данных.3>: <Иванов.Базы данных.4>: <Иванов,Базы данных.5>: <Крылов,Базы данных,3>; <Крылов,Базы данных,4>; <Крылов.Базы данных.5>; <Степанов.Базы данных.3>: <Степанов,Базы данных.4>: <Степанов,Базы данных,5>:

Отношение R моделирует реальную ситуацию и оно может содержать, допустим, только 5 строк, которые соответствуют результатам сессии (Крылов экзамен по «Базам данных» еще не сдавал):

<Иванов.Теория автоматов.4>: <Крылов,Теория автоматов,5>: <Степанов,Теория автоматов,5>; <Иванов.Базы данных.3>; <Степанов.Базы данных.4>;

Отношение имеет простую графическую интерпретацию, оно может быть представлено в виде таблицы, столбцы которой соответствуют вхождениям доменов в отношение, а строки — наборам из п значений, взятых из исходных доменов, которые расположены в строго определенном порядке в соответствии с заголовком. Такие наборы из п значений часто называют п-ками.

R
Фамилия	Дисциплина	Оценка
Иванов	Теория автоматов
Иванов	Базы данных
Крылов	Теория автоматов
Степанов	Теория автоматов
Степанов	Базы данных

Данная таблица обладает рядом специфических свойств:

1. В таблице нет двух одинаковых строк.
2. Таблица имеет столбцы, соответствующие атрибутам отношения.
3. Каждый атрибут в отношении имеет уникальное имя.
4. Порядок строк в таблице произвольный.

Вхождение домена в отношение принято называть атрибутом. Строки отношения называются кортежами.

Количество атрибутов в отношении называется степенью, или рангом, отношения.

Следует заметить, что в отношении не может быть одинаковых кортежей, это следует из математической модели: отношение — это подмножество декартова произведения, а в декартовом произведении все n-ки различны,

В соответствии со свойствами отношений два отношения, отличающиеся только порядком строк или порядком столбцов, будут интерпретироваться в рамках реляционной модели как одинаковые, то есть отношение R и отношение R₁, изображенное далее, одинаковы с точки зрения реляционной модели данных.

R1
Дисциплина	Фамилия	Оценка
Теория автоматов	Крылов
Теория автоматов	Степанов
Теория автоматов	Иванов
Базы данных	Иванов
Базы данных	Степанов

Любое отношение является динамической моделью некоторого реального объекта внешнего мира. Поэтому вводится понятие экземпляра отношения, которое отражает состояние данного объекта в текущий момент времени, и понятие схемы отношения, которая определяет структуру отношения.

Схемой отношения R называется перечень имен атрибутов данного отношения с указанием домена, к которому они относятся:

S_R = (А₁, А₂, А_n) А_i D_i

Если атрибуты принимают значения из одного и того же домена, то они называются Q-сравпимыми, где Q— множество допустимых операций сравнения, заданных для данного домена. Например, если домен содержит числовые данные , то для него допустимы все операции сравнения, тогда Q = {=, <>,>=,<-,<,>}. Однако и для доменов, содержащих символьные данные, могут быть заданы не только операции сравнения по равенству и неравенству значений. Если для данного домена задано лексикографическое упорядочение, то он имеет также полный спектр операций сравнения.

Схемы двух отношений называются эквивалентными, если они имеют одинаковую степень и возможно такое упорядочение имен атрибутов в схемах, что на одинаковых местах будут находиться сравнимые атрибуты, то есть атрибуты, принимающие значения из одного домена.

S_R1 = (A₁, A₂, ..., A_n) — схема отношения R₁.

S_R2 ⁼ (B_i1, B_i2,..., B_in) — схема отношения R₂после упорядочения имен атрибутов.

Тогда

s_R1~s_R2<=>1. n=m, или 2. А_j,Bij D_j

Как уже говорилось ранее, реляционная модель представляет базу данных в виде множества взаимосвязанных отношений. В отличие от теоретико-графовых моделей в реляционной модели связи между отношениями поддерживаются неявным образом. Какие же связи между отношениями поддерживаются в реляционной модели? В этой модели, так же как и в остальных, поддерживаются иерархические связи между отношениями. В каждой связи одно отношение может выступать как основное, а другое отношение выступает в роли подчиненного. Это означает, что один кортеж основного отношения может быть связан с несколькими кортежами подчиненного отношения. Для поддержки этих связей оба отношения должны содержать наборы атрибутов, по которым они связаны. В основном отношении это первичный ключ отношения (PRIMARY KEY), который однозначно определяет кортеж основного отношения. В подчиненном отношении для моделирования связи должен присутствовать набор атрибутов, соответствующий первичному ключу основного отношения. Однако здесь этот набор атрибутов уже является вторичным ключом, то есть он определяет множество кортежей подчиненного отношения, которые связаны с единственным кортежем основного отношения. Данный набор атрибутов в подчиненном отношении принято называть внешним ключом (FOREIGN KEY).

Например, рассмотрим ситуацию, когда надо описать карьеру некоторого индивидуума. Каждый человек в своей трудовой деятельности сменяет несколько мест работы в разных организациях, где он работает в разных должностях. Тогда мы должны создать два отношения: одно для моделирования всех работающих людей, а другое для моделирования записей в их трудовых книжках, если для нас важно не только отследить переход работника из одной организации в другую, но и прохождение его по служебной лестнице в рамках одной организации (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Связь между основным и подчиненным отношениями

PRIMARY KEY отношения Сотрудник атрибут Паспорт является FOREIGHN KEY для отношения «карьера».

Операции над отношениями.

Реляционная алгебра

Напомним, что алгеброй называется множество объектов с заданной на нем совокупностью операции, замкнутых относительно этого множества, называемого основным множеством.

Основным множеством в реляционном алгебре является множество отношений. Всего Э. Ф. Коддом было предложено 8 операций. В общем это множество избыточное, так как одни операции могут быть представлены через другие, однако множество операций выбрано из соображений максимального удобства при реализации произвольных запросов к БД. Все множество операций можно разделить на две группы: теоретико-множественные операции и специальные операции. В первую группу входят 4 операции. Три первые теоретико-множественные операции являются бинарными, то есть в них участвуют два отношения и они требуют эквивалентных схем исходных отношений.

Теоретико-множественные операции реляционной алгебры

Объединением двух отношении называется отношение, содержащее множество кортежей, принадлежащих либо первому, либо второму исходным отношениям, либо обоим отношениям одновременно.

Пусть заданы два отношения R₁ = { r₁ } , R₂ = { r₂ }. где r₁ и r₂ — соответственно кортежи отношений R₁ и R₂, то объединение

R₁ R₂ = { г | г R₁ r R₂ }. Здесь r — кортеж нового отношения, — операция логического сложения «ИЛИ».

Пример применения операции объединения приведен па рис. 4.1. Исходными отношениями являются отношения R₁ и R₂, которые содержат перечни деталей. изготавливаемых соответственно на первом и втором участках цеха. Отношение R₃ содержит общин перечень деталей, изготавливаемых в цеху, то есть характеризует общую номенклатуру цеха.

R1
Шифр детали	Название детали
	Гаика Ml
	Гайка М2
	Гаика M3
	Болт Ml
	Болт МЗ
	Шайба Ml
	Шайба МЗ

R2
Шифр детали	Название детали
	Гайка М1
	Гайка М3
	Гайка М4
	Гайка М2
	Гайка М3

R3
Шифр детали	Название детали
	Гайка Ml
	Гайка М2
	Гайка МЗ
	Болт Ml
	Болт МЗ
	Шайба Ml
	Шайба МЗ
	Гайка М4
	Болт М2

Пересечением отношений называется отношение, которое содержит множество кортежей, принадлежащих одновременно и первому и второму отношениям. R₁ и R₂:

R₃ = R₁ R₂={ г | r R₁ ^ г R₂ }, здесь ^ — операция логического умножения (логическое «И»).

В отношении R₄ содержатся перечень деталей, которые выпускаются одновременно на двух участках цеха.

R4
Шифр детали	Название детали
	Гайка Ml
	Гайка МЗ
	Болт МЗ

Разностью отношений R₁ и R₂ называется отношение, содержащее множество кортежей, принадлежащих R₁ и не принадлежащих R₂:

R₅ = RI \ R₂ = { г | r R₁ ^ r R₂ }

Отношение R₅ содержит перечень деталей, изготавливаемых только на участке 1, отношение R_G содержит перечень деталей, изготавливаемых только на участке 2.

R₆ = R₂ \ R₁ = { r | r R₂ ^ r R₁ }

R5
Шифр детали	Название детали
	Гайка М2
	Болт Ml
	Шайба Ml
	Шайба МЗ

R6
Шифр детали	Название детали
	Гайка М4
	Болт М2

R3
Шифр детали	Название детали
	Гайка Ml
	Гайка М2
	Гайка МЗ
	Болт Ml
	Болт МЗ
	Шайба Ml
	Шайба МЗ
	Гайка М4
	Болт М2

Пересечением отношений называется отношение, которое содержит множество кортежей, принадлежащих одновременно и первому и второму отношениям. R₁ и R₂:

R₃ = R₁ R₂ ={ r | r R₁ ^ r R₂ }

здесь ^— операция логического умножения (логическое «И»).

В отношении R₄ содержатся перечень деталей, которые выпускаются одновременно на двух участках цеха.

R4
Шифр детали	Название детали
	Гайка M1
	Гайка МЗ
	Болт МЗ

Разностью отношений R, и R₂ называется отношение, содержащее множество кортежей, принадлежащих R₁ и не принадлежащих R₂:

R₅ = R₁ \ R₂ = { r | r R₁ ^ г R₂ }

Отношение R₅ содержит перечень деталей, изготавливаемых только на участке 1, отношение R₆ содержит перечень деталей, изготавливаемых только на участке 2.

R₆ = R₂ \ R₁ = { r | r R₂ ^ r R₁ }

R5
Шифр детали	Название детали
	Гайка М2
	Бол г M1
	Шайба M1
	Шайба МЗ

R6
Шифр детали	Название детали
	Гайка М4
	Болт М2

Следует отметить, что первые две операции, объединение и пересечение, являются коммутативными операциями, то есть результат операции не зависит от порядка аргументов в операции. Операция же разности является принципиально несимметричной операцией, то есть результат операции будет различным для разного порядка аргументов, что и видно из сравнения отношений R₅ и R₆.

В отличие от навигационных средств манипулирования данными в теоретико-графовых моделях операции реляционной алгебры позволяют получить сразу иной качественный результат, который является семантически гораздо более ценным и понятным пользователям. Например, сравнение результатов объединения и разности номенклатуры двух участков позволит оценить специфику производства: насколько оно уникально на каждом участке, и, в зависимости от необходимости, принять соответствующее решение по изменению номенклатуры.

Для демонстрации возможностей трех первых операций реляционной алгебры рассмотрим еще один пример — уже из другой предметной области. Исходными являются три отношения R₁ R₂ и R₃. Все они имеют эквивалентные схемы.

• R₁= (ФИО, Паспорт, Школа);
• R₂= (ФИО, Паспорт, Школа);
• R₃= (ФИО, Паспорт, Школа).

Рассмотрим ситуацию поступления в высшие учебные заведения, которая была характерна для периода, когда были разрешены так называемые репетиционные вступительные экзамены, которые сдавались раньше основных вступительных экзаменов в вуз. Отношение R₁ содержит список абитуриентов, сдававших репетиционные экзамены. Отношение, R₂ содержит список абитуриентов, сдававших экзамены на общих условиях. И наконец, отношение R₃ содержит список абитуриентов, принятых в институт. Будем считать, что при неудачной сдаче репетиционных экзаменов абитуриент мог делать вторую попытку и сдавать экзамены в общем потоке, поэтому некоторые абитуриенты могут присутствовать как в первом, так и во втором отношении.

Ответим на следующие вопросы:

1. Список абитуриентов, которые поступали два раза и не поступили в вуз. R = R₁ R₂ \ R₃
2. Список абитуриентов, которые поступили в вуз с первого раза, то есть они сдавали экзамены только один раз и сдали их так хорошо, что сразу были зачислены в вуз. R = (R₁ \ R₂ R₃ ) (R₂ \ R₁ R₃)
3. Список абитуриентов, которые поступили в вуз только со второго раза.

Прежде всего это те абитуриенты, которые присутствуют в отношениях R₁ и R₂, потому что они поступали два раза, и присутствуют в отношении R₃, потому что они поступили. R = R₁ R₂ R₃

1. Список абитуриентов, которые поступали только один раз и не поступили.

Это прежде всего те абитуриенты; которые присутствуют в R₁и не присутствуют в R₂, и те, кто присутствуют в R₂ и не присутствуют в R₁. И разумеется, никто из них не присутствует в R₃. R = (R₁ \ R₂) (R₂ \ R₁) \ R₃

В отсутствие скобок порядок выполнения операций реляционной алгебры естественный, поэтому сначала будут выполнены операции в скобках, а затем будет выполнена последняя операция вычитания отношения R₃.

Операции объединения, пересечения и разности применимы только к отношениям с эквивалентными схемами.

Кроме перечисленных трех теоретико-множественных операций в рамках реляционной алгебры определена еще одна теоретико-множественная операция — расширенное декартово произведение. Эта операция не накладывает никаких дополнительных условий на схемы исходных отношений, поэтому операция расширенного декартова произведения, обозначаемая R₁ ® R₂, допустима для любых двух отношений. Но прежде чем определить саму операцию, введем дополнительно понятие конкатенации, или сцепления, кортежей.

Сцеплением, пли конкатенацией, кортежей с = <c₁, с₂, ..., с_n> и q = <q₁, q₂, ..., q_m> называется кортеж, полученный добавлением значений второго в конец первого. Сцепление кортежей с и q обозначается как (с , q).

(с, q) = <с₁ с₂, ... , с_n, q₁, q₂, .... q_m>

Здесь n — число элементов в первом кортеже с, m — число элементов во втором кортеже q.

Все предыдущие операции не меняли степени или арности отношений — это следует из определения эк