Определение напряжений при внецентренном растяжении (сжатии)

Для определения внутренних усилий, в поперечных сечениях бруса при внецентренном растяжении (сжатии) заменим заданную систему сил на статически эквивалентную систему других сил. На основании принципа Сен-Венана такая замена не вызовет изменений в условиях нагружения и деформации частей бруса, достаточно удаленных от места приложения сил.

Сначала перенесем точку приложения силы на ось и приложим в этой точке силу, равную силе , но противоположно направленную (рис.3.2). Чтобы оставить силу на оси , к ее действию необходимо добавить действие пары сил, отмеченных двумя чертами, или момент . Далее перенесем силу в центр тяжести сечения и в этой точке приложим силу, равную силе , но противоположно направленную (рис.3.2). Чтобы оставить силу в центре тяжести, к ее действию необходимо добавить еще одну пару сил, отмеченных крестиками, или момент .

Рис. 3.2

Таким образом, действие силы , приложенной к сечению внецентренно, эквивалентно совместному действию центрально приложенной силы и двух внешних сосредоточенных моментов и .

Пользуясь методом сечений, нетрудно установить, что во всех попе­речных сечениях внецентренно растянутого (сжатого) бруса действуют следующие внутренние силовые факторы: продольная сила и два изги­бающих момента и (рис.3.3).

Рис. 3.3

Напряжения в поперечных сечениях бруса определим, используя прин­цип независимости действия сил. От всех внутренних силовых факторов в поперечных сечениях возникают нормальные напряжения. Знаки напряжений устанавливают по характеру деформаций: плюс - растяжение, минус - сжатие. Расставим знаки напряжений от каждого из внутренних силовых факторов в точках , , , пересечения осей и с контуром поперечного сечения (рис.3.3). От продольной силы во всех точках сечения оди­наковы и положительны; от момента в точке напряжения - плюс, в точке - минус, в точках и , т.к. ось является в этом случае нейтральной линией; от момента в точке напряжения - плюс, в точке - минус, в точках и , т.к. ось в этом случае является нейтральной линией.

Полное напряжение в точке с координатами и , будет равно:

(3.1)

Самой нагруженной точкой в сечении произвольной формы является точка, наиболее удаленная от нейтральной линии. В связи с этим, большое значение приобретают вопросы, связанные с определением положения нейтральной линии.

Определение положения нейтральной линии

Положение нейтральной линии можно определить с помощью формулы (3.1), приравняв нормальные напряжения нулю

,

здесь и - координаты точки, лежащей на нейтральной линии.

Последнее выражение можно преобразовать, используя формулы для радиусов инерции: и . Тогда

,

или

. (3.2)

Из уравнения (3.2) видно, что нейтральная линия при внецентренном растяжении (сжатии) - это прямая, не проходящая через начало координат (центр тяжести поперечного сечения).

Проведем эту прямую через две точки, лежащие на координатных осях (рис. 3.4). Пусть точка 1 лежит на оси , тогда ее координатами будет и , а точка 2 – на оси , тогда ее координатами будет и (на основании уравнения (3.2)).

Если координаты точки приложения силы (полюса) положительны, то координаты точек 1 и 2 отрицательны, и наоборот. Таким образом, полюс и нейтральная линия располагаются по разные стороны от начала координат.

Определения положения нейтральной линии позволяет выявить опасные точки сечения, т.е. точки, в которых нормальные напряжения принимают наибольшие значения. Для этого следует построить касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной линии. Точки касания и будут являться опасными (рис. 3.4).

Рис. 3.4

Условия прочности для опасных точек составляют в зависимости от свойств того материала, из которого изготовлен брус. Так как хрупкий материал обладает различными свойствами в условиях растяжения и сжатия – плохо сопротивляется растяжению и хорошо сжатию, условия прочности составляют для двух точек: где действуют максимальные растягивающие (т. ) и максимальные сжимающие (т. ) напряжения (рис. 3.4)

(3.3)

Для пластичного материала, который одинаково сопротивляется и растяжению и сжатию, составляют одно условие прочности для точки поперечного сечения, где имеют место максимальные по абсолютной величине нормальные напряжения. В нашем случае такой точкой является точка, в которой действуют напряжения одного знака

. (3.4)

Понятие о ядре сечения

При построении нейтральной линии (рис. 3.4) определялись координаты точек 1 и 2, через которые она и проводилась

т. 1: ; ,

(3.5)

т. 2: ; .

Координаты точек, лежащих на нейтральной линии, зависят от положения точки приложения силы (полюса) с координатами . Если координаты полюса уменьшаются, т.е. полюс приближается к центру тяжести сечения, то увеличиваются, т.е. нейтральная линия может выйти за пределы сечения или касаться контура сечения. В этом случае в сечении будут иметь место напряжения одного знака.

Область приложения продольных сил, которые в этом случае вызывают в поперечном сечении напряжения одного знака, называется ядром сечения.

Вопрос определения ядра сечения является наиболее актуальным для элементов конструкций из хрупкого материала, работающих на внецентренное сжатие, с целью получения в поперечном сечении только сжимающих напряжений, т.к. хрупкий материал плохо сопротивляется деформации растяжения. Для этого необходимо задаться рядом положений нейтральной линии, проводя ее через граничные точки контура, и вычислить координаты соответствующих точек приложения силы, по формулам, вытекающим из (3.5).

Геометрическое место рассчитанных таким образом точек и определит контур ядра сечения. На рис. 3.6 показаны примеры ядра сечения для распространенных форм.

Рис. 3.5

Рассмотрим пример расчетов на внецентренное растяжение-сжатие.

Пример 3.1. Стальная полоса шириной =10 см и толщиной =1 см, центрально растянутая силами =70 кН, имеет прорезь шириной =3 см (рис. 3.6). Определить наибольшие нормальные напряжения в сечении , не учитывая концентрации напряжений. Какой ширины могла бы быть прорезь при той же величине растягивающего усилия, если бы она была расположена посередине ширины полосы?

Рис. 3.6

Решение. При несимметричной прорези центр тяжести ослабленного сечения смещается от линии действия силы вправо и возникает внецентренное растяжение. Для определения положения центра тяжести () ослабленное сечение представим как большой прямоугольник размерами (фигура I) из которого удален малый прямоугольник с размерами (фигура II). За исходную ось примем ось .

.

В этом случае в поперечном сечении возникает два внутренних силовых фактора: продольная сила и изгибающий момент .

С целью определения опасной точки расставим знаки напряжений по боковым сторонам поперечного сечения (рис. 3.6). От продольной силы во всех точках сечения имеют место положительные (растягивающие) напряжения. От изгибающего момента слева от оси имеют место растягивающие напряжения (знак плюс), справа – сжимающие (знак минус).

Таким образом, максимальные нормальные напряжения возникают в т.

,

где - площадь ослабленного сечения, равная =7 см²;

- момент инерции ослабленного сечения относительно главной центральной оси

- расстояние от нейтральной линии () до наиболее удаленной точки (т. )

.

В результате максимальные нормальные напряжения будут равны

.

При симметричной прорези шириной возникает только растяжение

,

тогда

.