Расчеты на прочность при сложном сопротивлении
Расчеты на прочность при сложном сопротивлении
Методические указания к выполнению курсовых работ по курсу «Сопротивление материалов»
Составители: С. П. Евстратова
Д.В. Васильев
В.В. Логвиненко
Москва
Светлана Павловна Евстратова, к.т.н. доцент
Дмитрий Владимирович Васильев, к.т.н. доцент
Валерий Васильевич Логвиненко, к.т.н. доцент
Расчеты на прочность при сложном сопротивлении
Методические указания к выполнению лабораторной работы по курсу «Сопротивление материалов»
Оригинал-макет подготовлен:
Ероховым Николаем Сергеевичем
Редактор М.А.Соколова
Подписано в печать 29.05.01.
Обьем 2,75 п.л.
Тираж 75 экз. Заказ 265
109240, Москва, Берниковская наб., 14.
ИТЦ МАТИ-РГТУ
Введение
Под сложным сопротивлением подразумевают различные комбинации простейших деформаций бруса - растяжения или сжатия, сдвига, кручения и изгиба. При этом, на основании принципа независимости действия сил (ПНДС), напряжения и деформации в стержне при сложном сопротивлении определяют суммированием напряжений или деформаций, вызванных каждым внутренним силовым фактором в отдельности. Напомним, что этот принцип применим в тех случаях, когда имеют место только упругие деформации, а материал подчиняется закону Гука.
Рассмотрение вопросов, связанных с расчетом на прочность и жесткость элементов, работающих в условиях сложного сопротивления, начнем с частных случаев.
Косой изгиб
Изгиб, при котором внешние нагрузки действуют в плоскости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей инерции, называется косым изгибом (рис.2.1). Главной плоскостью инерции называется такая плоскость, которая включает в себя ось балки () и одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения ( или ). Плоскость, в которой располагаются внешние нагрузки, называется силовой плоскостью.
Определение напряжений при косом изгибе
Рассмотрим консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой как показано на рис.2.2.
Рис. 2.1
Находим проекции силы на главные центральные оси инерции и (рис.2.2):
и .
Каждая из проекций располагается в одной из главных центральных плоскостей инерции и, таким образом, косой изгиб является сочетанием двух плоских поперечных изгибов и часто называется двойным.
Рис. 2.2
В произвольном сечении на расстоянии от точки приложения силы имеют место четыре внутренних силовых фактора:
поперечные силы: ,
;
и изгибающие моменты: ,
.
Определим напряжения, возникающие в произвольной точке рассматриваемого сечения (рис.2.2):
от изгибающего момента
,
от изгибающего момента
,
здесь и - координаты точки, в которой рассчитывают напряжения.
Знак напряжения зависит от характера деформации (растяжение-плюс, сжатие-минус). В нашем случае оба напряжения являются растягивающими и имеют знак плюс.
На основании ПНДС полное нормальное напряжение в точке равно их алгебраической сумме:
. (2.1)
При проведении расчетов на прочность условие прочности составляется для опасной точки поперечного сечения, т.е. для точки, в которой нормальные напряжения достигают максимальных значений. Самой нагруженной точкой в сечении произвольной формы является точка, наиболее удаленная от нейтральной линии, разделяющей растянутую и сжатую зоны сечения.
В связи с этим, большое значение приобретают вопросы, связанные с определением положения нейтральной линии.
Внецентренное растяжение (сжатие)
Вид деформации, при котором точка приложения продольной силы не совпадает с центром тяжести сечения, называется внецентренным растяжением или сжатием (рис.3.1). Здесь , - координаты точки приложения силы в системе главных центральных осей инерции и .
Рис. 3.1
Понятие о ядре сечения
При построении нейтральной линии (рис. 3.4) определялись координаты точек 1 и 2, через которые она и проводилась
т. 1: ; ,
(3.5)
т. 2: ; .
Координаты точек, лежащих на нейтральной линии, зависят от положения точки приложения силы (полюса) с координатами . Если координаты полюса уменьшаются, т.е. полюс приближается к центру тяжести сечения, то увеличиваются, т.е. нейтральная линия может выйти за пределы сечения или касаться контура сечения. В этом случае в сечении будут иметь место напряжения одного знака.
Область приложения продольных сил, которые в этом случае вызывают в поперечном сечении напряжения одного знака, называется ядром сечения.
Вопрос определения ядра сечения является наиболее актуальным для элементов конструкций из хрупкого материала, работающих на внецентренное сжатие, с целью получения в поперечном сечении только сжимающих напряжений, т.к. хрупкий материал плохо сопротивляется деформации растяжения. Для этого необходимо задаться рядом положений нейтральной линии, проводя ее через граничные точки контура, и вычислить координаты соответствующих точек приложения силы, по формулам, вытекающим из (3.5).
Геометрическое место рассчитанных таким образом точек и определит контур ядра сечения. На рис. 3.6 показаны примеры ядра сечения для распространенных форм.
Рис. 3.5
Рассмотрим пример расчетов на внецентренное растяжение-сжатие.
Пример 3.1. Стальная полоса шириной =10 см и толщиной =1 см, центрально растянутая силами =70 кН, имеет прорезь шириной =3 см (рис. 3.6). Определить наибольшие нормальные напряжения в сечении , не учитывая концентрации напряжений. Какой ширины могла бы быть прорезь при той же величине растягивающего усилия, если бы она была расположена посередине ширины полосы?
Рис. 3.6
Решение. При несимметричной прорези центр тяжести ослабленного сечения смещается от линии действия силы вправо и возникает внецентренное растяжение. Для определения положения центра тяжести () ослабленное сечение представим как большой прямоугольник размерами (фигура I) из которого удален малый прямоугольник с размерами (фигура II). За исходную ось примем ось .
.
В этом случае в поперечном сечении возникает два внутренних силовых фактора: продольная сила и изгибающий момент .
С целью определения опасной точки расставим знаки напряжений по боковым сторонам поперечного сечения (рис. 3.6). От продольной силы во всех точках сечения имеют место положительные (растягивающие) напряжения. От изгибающего момента слева от оси имеют место растягивающие напряжения (знак плюс), справа – сжимающие (знак минус).
Таким образом, максимальные нормальные напряжения возникают в т.
,
где - площадь ослабленного сечения, равная =7 см2;
- момент инерции ослабленного сечения относительно главной центральной оси
- расстояние от нейтральной линии () до наиболее удаленной точки (т. )
.
В результате максимальные нормальные напряжения будут равны
.
При симметричной прорези шириной возникает только растяжение
,
тогда
.
Таблица исходных значений
| , м | , м | , м | , см | , МПа | ||
| 0.23 | 0.28 | 0.33 | 1.3 | 2.5 |
Решение.
1. Построение эпюр внутренних силовых факторов
Для определения величины и характера распределения внутренних силовых факторов по длине каждого участка ломаного бруса построим эпюры продольных сил , изгибающих и крутящих моментов . Поперечными силами в расчетах, как правило, пренебрегают, так как их влияние незначительно. Для ломаного бруса, показанного на рис. 5.1, эпюры внутренних силовых факторов приведены на рис. 5.2.
Рис. 5.2
2. Определение допускаемой нагрузки и .
2.1 Определение опасного сечения элемента бруса длиной .
Анализ эпюр показывает, что наиболее опасным является сечение в заделке. В этом сечении действуют: максимальный изгибающий момент , изгибающий момент , постоянный по длине участка, крутящий момент , а также продольная сжимающая сила .
2.2 Определение опасных точек в опасном сечении элемента
Прямоугольное сечение элемента бруса длиной ориентируем так, чтобы плоскость наибольшей жесткости совпадала с плоскостью действия максимального изгибающего момента . Положение плоскости наибольшей жесткости определяется жесткостью поперечного сечения относительно главных центральных осей и , в частности, величиной максимального момента сопротивления. В данном случае (рис. 5.3)
, , , т.к. .
Максимальный изгибающий момент также действует относительно оси (). Следовательно, сечение должно быть расположено так, как показано на рис. 5.3.
Для определения положения опасных точек в опасном сечении построим эпюры распределения нормальных (от ) и касательных (от ) напряжений (рис. 5.3).
Рис. 5.3
Эпюры нормальных и касательных напряжений показывают, что наиболее опасными являются следующие три точки этого сечения:
ü точка , где суммируются нормальные напряжения от , касательные напряжения равны нулю,
ü точка , где суммируются нормальные напряжения от , а касательные напряжения от принимают максимальные значения,
ü точка , где суммируются нормальные напряжения от , а касательные напряжения равны .
2.3. Определение величин изгибающих и крутящих моментов в опасном сечении и моментов сопротивления.
Выразим через величину . Так как по условию задачи =1.3, то получаем .
Моменты в опасном сечении имеют следующие значения:
При заданном соотношении и см моменты сопротивления принимают следующие значения:
где при .
2.4 Определение допускаемой нагрузки
Расчет в точке . В точке имеют место только нормальные напряжения, поэтому на основании принципа независимости действия сил
,
..
Расчет в точке . Для точки имеем
,
.
Так как в точке имеют место нормальные и касательные напряжения, используем условие прочности по третьей гипотезе
.
.
Расчет в точке . Для точки имеем
,
.
где , , .
По III гипотезе прочности имеем
.
Из полученных результатов видно, что сосредоточенная сила должна быть меньше или равна 3.3 кН, т.е. точка оказалась самой опасной из трех.
3. Определение диаметров круглых сечений элементов ломаного бруса при , .
3.1. Определение диаметра круглого сечения элемента бруса длиной .
Опасным является сечение в конце участка, если двигаться от свободного конца бруса, где действует один силовой фактор – изгибающий момент . Условие прочности будет иметь вид
.
.
.
3.2. Определение диаметра круглого сечения элемента бруса длиной .
Анализ эпюр (рис. 5.2) на втором участке показывает, что опасным является сечение в конце участка, если двигаться со свободного конца бруса, где изгибающие моменты и принимают максимальные значения, а крутящий момент , т.е. имеет место изгиб с кручением бруса круглого поперечного сечения (см. раздел 4.1). На рис. 5.4 два изгибающих момента приведены к одному суммарному и показаны опасные точки сечения и .
Рис. 5.4
Величины моментов
,
,
.
Условие прочности для круглого сечения согласно III теории прочности имеет вид
.
где .
,
.
.
|