Часть 2. Построение эпюр внутренних силовых факторов на двухопорной раме

А на двухопорной раме строить эпюры надо так же, как на двухопорной балке? Да, порядок используется такой же: сначала обязательно определяются реактивные усилия в опорах, а потом уже приступают к построению эпюр.

1.4.6. Пример решения задачи

Задача

Построить эпюры внутренних силовых факторов на данной двухопорной раме.

РЕШЕНИЕ

Т.к. рама закреплена на двух шарнирных опорах, то до начала построения эпюр необходимо определить реакции в опорах. Обозначим опоры буквами: шарнирно неподвижную «С», шарнирно подвижную «В». Для определения реакции в опоре «В» составим уравнение суммы моментов относительно точки опоры «С»: . Используем правило знаков моментов, принятое в Теоретической механике (раздел «Статика»): момент против часовой стрелки принимаем положительным и наоборот. В результате получим: . Подставив численное значение всех входящих величин, выразим из уравнения R_B=40кН. В шарнирно неподвижной опоре «С» возникают горизонтальная и вертикальная составляющие реакции. Для определения горизонтальной составляющей реакции R_Cx запишем сумму проекций сил на горизонтальную ось х: или . Откуда R_Cx=20кН. Для определения вертикальной составляющей реакции в опоре «С» составим уравнение суммы моментов относительно точки опоры «В»: . Расписывая левую часть уравнения, получим: , откуда R_Cy=10кН. Для проверки правильности определенных реакций составим уравнение суммы проекций сил на вертикальную ось: или .

Т.е. реакции определены верно. Теперь можно приступать к построению эпюр. Для этого разделим раму на участки: OK, BK, KL, LD, CD и приготовим базу для первой эпюры, повторив конфигурацию рамы без опорных элементов. Начинать строить эпюру каждого внутреннего силового фактора можно с любого крайнего участка, поскольку все внешние силы, включая реактивные, для данной рамы известны.

Построение эпюры продольной силы N

1. Правая стойка CD. Выберем направление построения эпюры от точки «С» к точке «D». В начале участка в точке «С» находится сосредоточенная сила R_Cy, которая дает проекцию на продольную ось стойки и создаст скачок на эпюре величиной 10кН. Знак скачка «–», т.к. R_Cy создает деформацию сжатия. Выбираем (произвольно) отрицательное направление от вертикальной базы участка слева и откладываем ординату -10кН. Участок по длине ничем не загружен, т.е. должна быть прямая, параллельная базе. Ординатой -10кН проводим прямую линию до конца участка до точки «D».

2. Верхний ригель DL. Выберем начало в точке «D». Делая сечение в начале участка, оставляем часть рамы DC, на которой проекцию на продольную ось ригеля может дать только сила R_Cx=20кН, производящая сжимающее воздействие на ригель. Поэтому в точке «D» на эпюре откладываем скачок вниз на -20кН. По длине участок DL ничем не загружен, поэтому проводим прямую линию, параллельную базе, ординатой -20 кН до конца участка до точки «L».

3. Нижняя часть левой стойки ВК. Выберем начало в точке «B», в которой находится сосредоточенная сила R_B=40кН, дающая проекцию на продольную ось стойки и производящая растягивающее воздействие. Поэтому на эпюре делаем скачок на величину 40кН, приняв положительное направление слева от базы элемента. По длине участок ВК загружен равномерно распределенной нагрузкой, которая не дает проекцию на продольную ось стойки и не влияет на продольную силу, поэтому на эпюре будет прямая, параллельная базе, с ординатой 40кН.

4. Боковой ригель OK. Принимаем начало участка в точке «O», в которой находится сосредоточенная сила F=30кН. Она проецируется на продольную ось ригеля в ноль, поэтому в точке «O» продольная сила равна 0. Т.к. участок OK по длине ничем не загружен, то на протяжении всей длины также продольная сила будет равна 0.

5. Верхняя часть левой стойки KL. Примем начало участка в точке «К». В этой точке уже получено значение продольной силы с участка ВК, равное 40кН. Сила F=30кН, находящаяся на боковом ригеле дает проекцию в точке «К» на продольную ось стойки, оказывающая сжимающее воздействие на участок KL. Поэтому на эпюре в точке «К» произведем изменение (скачок) на величину 30кН в отрицательную сторону от ординаты 40кН. Получим 10кН. По длине участок ничем не загружен, поэтому далее проводим прямую линию, параллельную базе, ординатой 10кН до конца участка, т.е. до точки «L».

Построение эпюры поперечной силы Q

1. Правая стойка CD. Выберем направление построения эпюры от точки «С» к точке «D». В начале участка в точке «С» находится сосредоточенная сила R_Cx=20кН, которая дает проекцию на ось поперечного сечения стойки и создаст скачок на эпюре Q величиной 20кН. Знак скачка «+», т.к. R_Cx поворачивается при движении по участку от точки «С» вверх по часовой стрелке. По длине участок ничем не загружен, поэтому на эпюре будет прямая, параллельная базе, ординатой 20кН до конца участка до точки «D».

2. Верхний ригель DL. Выберем начало в точке «D». Делая сечение в начале участка, оставляем часть рамы DC, на которой проекцию на вертикальную ось любого поперечного сечения ригеля может дать только сила R_Cy=10кН. На момент, находящийся в точке «D», поперечная сила не реагирует. Поэтому в точке «D» откладываем скачок на величину -10кН. Почему скачок с минусом ? Потому что поворот силы R_Cy при движении от точки «D» к точке «L» происходит против часовой стрелки. По длине участок DL ничем не загружен, поэтому проводим прямую линию, параллельную базе, ординатой -10 кН до конца участка до точки «L».

3. Нижняя часть левой стойки BK. Выберем начало в точке «B», в которой нет сосредоточенных сил, дающих проекцию на ось поперечного сечения стойки. Поэтому на эпюре Q в точке «B» будет ноль. По длине участок ВК загружен равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q=20кН/м, дающей проекцию на ось поперечного сечения стойки и от которой на эпюре Q будет наклонная прямая с угловым коэффициентом, равным -q. Знак углового коэффициента определяем, поворачивая стрелки интенсивности, двигаясь от точки «В» вверх. Поворот происходит против часовой стрелки, что соответствует знаку «–». Для построения наклонной прямой определим значение поперечной силы в конце участка, т.е. в точке «K». Для этого умножим интенсивность -q на длину участка, равную одному метру. Получим -20кН. Приняв отрицательную область значений поперечной силы справа от базы стойки, откладываем эту величину в точке «K».

4. Боковой ригель OK. Принимаем начало участка в точке «O», в которой находится сосредоточенная сила F=30кН. Она дает проекцию на ось любого поперечного сечения ригеля. Поэтому на эпюре Q в точке «O» откладываем скачок на величину +30 кН, т.к. сила F поворачивается по часовой стрелке при движении от точки «О» к точке «K». По длине участок OK ничем не загружен, поэтому на протяжении всей длины будет прямая, параллельная базе, с ординатой 30кН.

5. Верхняя часть левой стойки KL. Примем начало участка в точке «K». В этой точке уже получено значение продольной силы с участка BK, равное ‑20кН. Сила F=30кН, находящаяся на боковом ригеле не дает проекцию на ось поперечного сечения участка KL, поэтому не оказывает влияния на поперечную силу. По длине участок KL ничем не загружен, а, следовательно, должна быть прямая, параллельная базе, с ординатой -20кН.

Построение эпюры изгибающего момента М

1. Правая стойка CD. Выберем направление построения эпюры от точки «С» к точке «D». В начале участка в точке «С» отсутствует сосредоточенный момент, поэтому эпюру момента начинаем с нуля. Поскольку по длине участок ничем не загружен, на эпюре момента должна быть наклонная прямая с угловым коэффициентом, равным поперечной силе этого участка, т.е. равным 20кН. Для ее построения определим значение момента в конце участка в точке «D» по части рамы CD: M_D= R_Cx×0,5м=10кНм. Ординату 10кНм откладываем в точке «D» на сжатые волокна, находящиеся слева от базы стойки по направлению действия момента от силы R_Cx. Соединяя 10кНм с нулем в точке «С» получим наклонную прямую.

2. Верхний ригель DL. Выберем направление построения эпюры от точки «D» к точке «L». В начале участка в точке «D», являющейся узловой, соединяющей два элемента: стойку CD и ригель DL, прежде всего, перенесем момент 10кНм, полученный в точке «D» стойки на ригель по направлению действия этого момента, т.е. на нижние волокна относительно базы ригеля. Затем увеличим значение перенесенного момента на величину внешнего сосредоточенного момента М=20кНм, т.к. его направление совпадает с направлением перенесенного момента со стойки. Таким образом, в точке «D» ригеля получим внутренний момент, равный 30кНм, на нижних сжатых волокнах. По длине ригель ничем не загружен, поэтому на эпюре момента должна быть наклонная прямая. Для ее построения определим значение момента в конце участка в точке «L». Для этого, делая сечение в точке «L» и оставляя часть рамы LDC, составим алгебраическую сумму моментов от внешних нагрузок, находящихся на этой части рамы. Для этого используем табличную форму вычисления внутреннего момента:

Соединяя ординаты 15 и 30кНм, получим наклонную прямую на эпюре.

3. Нижняя часть левой стойки BK. Выберем направление построения эпюры от точки «В» к точке «K». В начале участка в точке «В» отсутствует сосредоточенный внешний момент, поэтому начинаем эпюру с нуля. По длине участок загружен равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q=20кН/м. Это означает, что на эпюре момента должна быть квадратичная парабола. Вероятность наличия экстремума определяем по эпюре поперечной силы этого участка. Т.к. наклонная прямая на эпюре Q не пересекает базу, то парабола будет без экстремума, и мы ее построим по двум точкам. Для этого определим значение внутреннего момента в конце участка в точке «K» по части рамы BK, на которой момент может создать только равномерно распределенная нагрузка по закону . Подставим вместо z длину участка, равную 1 метру, и q=20кН/м, получим М_К=10кНм. Откладываем эту ординату в точке «К» на сжатые волокна справа от базы стойки по направлению действия момента от равномерно распределенной нагрузки. Соединяем отложенную ординату с нулем в точке «В» параболой, направляя выпуклость навстречу действию нагрузки.

4. Левый ригель OK. Выбираем направление построения эпюры от точки «О» к точке «K». В начале участка в точке «О» отсутствует сосредоточенный внешний момент, поэтому начинаем эпюру с нуля. Участок по длине ничем не загружен. Это означает, что на эпюре должна быть наклонная прямая. Для ее построения определим значение внутреннего момента в конце участка в точке «K» по части рамы OK. Момент создает внешняя сосредоточенная сила F=30кН с плечом 0,5 метра, равный 30×0,5=15кНм. Откладываем ординату 15кНм в точке «K» на сжатые верхние волокна относительно базы ригеля по направлению действия момента от силы F. Соединяя 15кНм с нулем в точке «О», получим наклонную прямую.

5. Верхняя часть стойки KL. Выбираем направление построения эпюры от точки «K» к точке «L». Т.к. точка «K» – узловая точка, в которой соединены три стержня: BK, OK и KL, то моменты, полученные в этой точке на участках BK и OK должны передаваться на верхнюю часть стойки KL. Чтобы передать действие этих моментов, надо их алгебраически сложить. Момент с бокового ригеля OK 15кНм действует навстречу моменту 10кНм с нижней части стойки BK. Поэтому результат 5кНм получим, вычтя из большего момента меньший, который отложим в точке «K» на верхней части стойки KL со стороны действия большего момента, т.е. слева от базы стойки. По длине участок KL ничем не загружен, поэтому на эпюре будет наклонная прямая. Для ее построения определим величину внутреннего момента в конце участка в точке «L» по части рамы BKL. Используем табличную форму:

Откладываем в точке «L» полученное значение момента на сжатые правые волокна относительно базы стойки и соединяем с ординатой 5кНм в точке «K» наклонной прямой. Эпюра построена.

Эпюры построены

1.4.7. Задача для самостоятельного решения

Для данной расчетной схемы рамы построить эпюры внутренних силовых факторов, используя основные закономерности и определяя значения внутренних силовых факторов в характерных сечениях.

1.4.8. Потренируемся?

· Пройти тестовый тренинг (Приложение 2, тесты к ПЗ №3, стр. 207)

· Решить задачу 1.4 из РПР№1 (Приложение 4, стр. 266)

1.5. Практическое занятие №4
Построение эпюр внутренних силовых факторов на пространственных стержневых конструкциях