И полулогарифмический масштабы

Наиболее удобные масштабы для построения амплитудно- и фазочастотных кривых определяются тем, что передаточная функция состоит из полиномов. В общем случае передаточная функция при гармоническом воздействии записывается следующим образом:

где p₁, p₂,... – полюсы; p_a, p_b,... – нули; K – коэффициент, определяющий масштаб. Модуль |H (j ω)| является произведением модулей каждого сомножителя в данном выражении. Поэтому, зная поведение каждого сомножителя, можно рассчитать частотную зависимость функции |H (jω)|.

Простейшим способом построения последовательности сомножителей является использование логарифма модуля |H (jω)|:

lg |H (jω)| = lg |K| + lg |jω – p_а| +...lg (1/|jω – p₁|) +…

Заметим, что логарифм |H (jω)| является суммой членов. Следовательно, если построить график логарифма каждого сомножителя в выражении, то логарифм общего модуля можно определить простым графическим сложением.

При построении логарифмов величин необязательно все время пользоваться таблицей логарифмов. Можно использовать логарифмическую шкалу для графиков, на которой координатная сетка нанесена в логарифмическом масштабе. Когда на график наносится точка, соответствующая данному числу, положение точки относительно соответствующей оси определяется логарифмом числа. На рис. 20 показан образец логарифмической диаграммной шкалы с логарифмическим масштабом по обеим осям координат. При использовании такой шкалы для построения зависимостей |H (jω)| от ω (где ω = 2πf) по оси абсцисс откладываются значения частоты, а по оси ординат – значения модуля |H (jω)|.

Использование логарифмического масштаба для частоты не обязательно. Но так как интересующий нас диапазон частот обычно довольно широк, применение логарифмической шкалы становится очень удобным. Более того, использование логарифмического масштаба для ω придает графикам зависимости H (jω) от частоты простой вид.

Аналогичные преимущества имеет применение логарифмической шкалы для построения фазы H (jω). Поскольку при перемножении комплексных чисел их аргументы (т. е. фазовые углы) складываются, можно написать arg H (jω) = arg (jω – p_a) +…+ arg (1/ (jω – p₁)) +…

Рис. 20. Двойная логарифмическая шкала

Следовательно, построив частотные зависимости фазы для каждого простого члена в выражении, можно построить частотную зависимость arg H (jω) графическим сложением.

На рис. 21 показан образец полулогарифмической шкалы, удобной для построения arg H (jω) в зависимости от f. Для фазы используется линейная шкала, так как при построении полной фазы применяется сложение, а не умножение.

Рис. 21. Полулогарифмическая шкала

Использование логарифмической шкалы частот для arg H (jω) позволяет легко сопоставить АЧХ и ФЧХ.

Так как arg H (jω) является нечетной функцией частоты, а |H (jω)| – ее четной функцией, то и модуль, и аргумент полностью определяются значениями при ω ≥ 0. Поэтому arg H (jω) и |H (jω)| обычно строят только для ω ≥0.

Рис. 22. Двойная логарифмическая шкала (дБ)

На рис. 22 показан образец логарифмической диаграммной шкалы с логарифмическим масштабом по обеим осям координат, удобной для построения H (jω) в децибелах. При использовании такой шкалы для построения зависимостей |H (jω)| (дБ) от ω по оси абсцисс откладываются значения частоты f в логарифмическом масштабе, а по оси ординат – значения |H (jω)|, выраженные в децибелах.

Децибелы

Прежде чем начать оперировать с простыми членами, введем еще одно определение. Многие величины, с которыми мы имеем дело, являются отношениями. В частности, коэффициенты передачи по напряжению и по току являются безразмерными отношениями амплитуд. Эти отношения могут быть как больше 1 (при «усилении»), так и меньше 1 (при «ослаблении» или «потерях»). Для измерения безразмерных отношений существуют специальные единицы – децибелы (дБ). Они имеют широкое применение, ими нужно легко оперировать.

Строго говоря, децибелы введены для определения отношения мощностей. Усиление по мощности, выраженное в децибелах, определяется как

K_P (дБ) = 10 lg (Р_Н/Р_ВХ),

где Р_Н – мощность в нагрузке; Р_ВХ – входная мощность.

Предполагается, что Р_Н больше, чем Р_ВХ. Если, напротив, Р_Н меньше, чем Р_ВХ, то величина 10 lg (P_Н/P_ВХ+) будет отрицательной. В этом случае формула K_P (дБ) = 10 lg (Р_Н/Р_ВХ) определяет потери мощности (также выраженные в децибелах, но со знаком «минус»).

Децибелы могут выражать отношения входных и выходных напряжений. Подстановка значений для Р_ВХ и Р_Н позволяет написать:

K_P (дБ) = 10 lg [(U²_Н/R_Н)/(U_ВХ²/R_ВХ)] = 20 lg (U_Н/U_ВХ ) + 10l g (R_Н/R_ВХ).

Если входное и выходное сопротивления равны, то 10l g (R_Н/R_ВХ) = 0, выражение K_P (дБ) упрощается и дает выражение для усиления по напряжению в децибелах K (дБ) = 20 lg (U_Н/U_ВХ). Например, усиление по напряжению в 10 раз соответствует + 20 дБ.

На практике обычно пренебрегают тем, что, R_ВХ и R_Н не равны и в действительности формула K (дБ) используется для выражения усиления по напряжению безотносительно к значениям R_ВХ и R_Н. При этом усиление по напряжению в децибелах не дает информации об усилении по мощности. Поэтому, если дается усиление по напряжению в децибелах, следует предположить, что оно соответствует формуле K (дБ); значение усиления по мощности необходимо определять отдельно.