Дифференциальные зависимости при прямом

Поперечном изгибе

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов су­щественно упрощается при использовании дифференциальных зави­симостей между изгибающим моментом, поперечной силой и интен­сивностью равномерно распределенной нагрузки (теорема Журавского):

Поперечная сила равна производной от изгибающего момента по длине балки:

Интенсивность равномерно распределенной нагрузки равна производной от поперечной силы по длине балки:

Из выше указанного следует:

если М_и = const, то Q = 0; если Q = const; то q = 0.

Тема 2.6. Изгиб. Классификация видов изгиба 245

Контрольные вопросы

1. Какую плоскость называют силовой?

2. Какой изгиб называют прямым? Что такое косой изгиб?

3. Какие силовые факторы возникают в сечении балки при чи­стом изгибе?

4. Какие силовые факторы возникают в сечении при поперечном
изгибе?

5. Определите поперечную силу и изгибающий момент в сечении
1-1 (рис. 29.7). Расстояние сечения от свободного конца балки 5 м.

6. Определите реакцию в опоре В.

7. Определите величину поперечной силы и изгибающего момен­та в сечении С, использовав схему балки (рис. 29.8).

8. Определите участок чистого изгиба (рис. 29.9).

246 Лекция 30

ЛЕКЦИЯ 30

Тема 2.6. Изгиб.

Построение эпюр поперечных сил

И изгибающих моментов.

Основные правила построения эпюр

Знать порядок построения и контроля эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Уметь строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов можно строить, предварительно разделив балку на участки нагружения и составляя уравнения, выражающие изменения Q и М_х по участкам.

Напомним, что границы участков нагружения — это сечения, в которых приложены внешние нагрузки.

Примеры решения задач

Пример 1.На балку действуют сосредоточенные силы и мо­мент (рис. 30.1). Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Тема 2.6. Изгиб 247

Решение

Последовательно по участкам нагружения рассматриваем вну­тренние силовые факторы в сечениях. Силовые факторы определяем из условий равновесия отсеченной части. Для каждого участка за­писываем уравнения внутренних силовых факторов.

Используем известные правила:

— поперечная сила численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил на ось Оу;

— изгибающий момент численно равен алгебраической сумме
моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть, относительно нейтральной оси, совпадающей с осью Ох;

— принятые знаки поперечных сил и изгибающих моментов
(рис. 30.2):

Составим уравнения равновесия.

1. Рассмотрим участок 1 (рис. 30.3а).

Изгибающий момент меняется по линейному закону, график -прямая линия.

248 Лекция 30

Поперечную силу и изгибающий момент можно определять сра­зу из зависимостей Q_y = ΣFy; М_х = Σmх, не составляя уравнения равновесия участка.

Знак каждого из слагаемых этих уравнений определяем от­дельно (участок 3).

3. Рассмотрим участок 3 (рис. 30.3в).

Qз = -10 + 20 = 10 кН — поло­жительна.

Σm_Хз =0; М_хз = -Fz₃ + F₂(z₃ - 3) + m.

7м ≤ z₃ ≤ 10м: при z₃ = 7 м

MxB^справа = - 10·7+20·4+15 = 25 кН · М;

при z₃ = 10 м. М_хс = -10·10+20·10+15 = 55кН·м.

Обращаем внимание, что для точки В получено два значения изгибающих моментов: из уравнения для участка 2 левее точки В и из уравнения для участка 3 — правее точки В.

Это объясняется тем, что именно в этой точке приложен внеш­ний момент и поэтому внутренний момент сил упругости меняется.

В точках приложения внешнего момента на эпюре моментов по­явится скачок, равный величине приложенного момента.

Поперечная сила в точке В для второго и третьего участков одинакова. Следовательно, приложение внешнего момента не от­ражается на эпюре поперечных сил. График поперечной силы на участке 3 — прямая линия.

График изменения изгибающих моментов на третьем участке также прямая линия.

Тема 2.6. Изгиб 249

4. Построение эпюр. Порядок построения эпюр остается преж­ним: масштабы эпюр выбираются отдельно, исходя из значений мак­симальных сил и моментов.

Графики обводятся толстой основной линией и заштриховыва­ются поперек. На графиках указываются значения поперечных сил, изгибающих моментов и единицы измерения.

Правила построения эпюр (рис. 30.1 и 30.4):

1. Для участка, где отсутствует распределенная нагрузка, попе­речная сила постоянна, а изгибающий момент меняется по линейно­му закону.

2. В частном случае, когда поперечная сила на участке равна ну­лю, изгибающий момент постоянен (чистый изгиб), график — пря­мая линия, параллельная продольной оси (на рис. 30.1 отсутствует).

3. В том месте, где к балке приложена внешняя сосредоточенная сила, на эпюре Q возникает скачок на величину приложенной силы, а на эпюре моментов — излом.

4. В сечении, где к балке приложена пара сил (сосредоточенный момент), на эпюре М_и возникает скачок на величину момента этой пары. Поперечная сила при этом не изменяется.

5. В сечении на конце балки поперечная сила равна приложенной в этом сечении сосредоточенной силе или реакции в заделке.

6. На свободном конце балки или шарнирно опертом конце мо­мент равен нулю, за исключением случаев, когда в этом сечении приложена пара сил (внешний момент).

Пример 2.На двухопорную балку действуют сосредоточенные силы и моменты (рис. 30.4). Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Для двухопорной балки построение эпюр начинают с определе­ния опорных реакций балки. Для их определения используем систему уравнений равновесия, составляем два уравнения моментов относи­тельно шарнирных опор. Затем проводим проверку правильности решения по уравнению

n

Σ Fky = 0 (см. лекцию 6).

Решение

1. Определение реакций в опорах. Уравнения равновесия:

Σm_A = 0; -F1 · 6 + m- R_B · 10 + F₂ · 12 = 0; -35 · 6 + 80 - R_B · 10 + 70 · 12 = 0;

250 Лекция 30

Реакция в опоре направлена в обратную сторону.

Проверка: ΣFy = 0;

-R_A + F1 + R_B - F₂ = 0; -36 + 35 + 71 - 70 = 0.

Реакции определены верно.

2. Для упрощения расчетов при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов можно провести расчет по характерным точкам без составления уравнений.

Для этого используют известные связи между поперечной силой и изгибающим моментом и правила построения эпюр.-

Участок 1 (от точки А до точки С).

Тема 2.6. Изгиб 251

В точке А приложена реакция Ra, направленная вниз. Попереч­ная сила на участке постоянна: Q1 = Ra = - З6кН.

Момент в точке А равен нулю.

Точка С (слева). Приложена внешняя сила F1 = З5кН, напра­вленная вверх, — здесь возникнет скачок вверх на величину З5кН. Момент в точке С (слева) может быть рассчитан по известной зави­симости МС^слева =-R_A · 6; МС^слева =-36·6 =-216 кН· м.

Участок 2 (от точки С справа до точки В).

Поперечная сила в точке С (справа) равна Qc = -Ra + F1; Q_c = -36 + 35 = -1кН.

В точке С приложена внешняя пара сил с моментом 80кН·м, следовательно, здесь проявляется скачок на величину приложенного момента: Мc^справа = МС^слева+ m; Мc^справа = -216 + 80 = 136кН·м.

Поперечная сила на втором участке постоянна: Q2 = Qc^справа.

Момент в точке В определяется по зависимости

МB = -R_A • 10 + F1 • 4 + m; M_B = -36 • 10 + 35 • 4 + 80 = -140 кН•м.

Справа и слева от точки В момент имеет одинаковые значения.

Участок 3 (от точки В (справа) до точки D).

В точке В приложена внешняя сила Rb. Здесь появляется скачок на величину 71 кН, Q_B = -1 + 71 = 70 кН.

Дальше по участку поперечная сила не изменяется. Момент в точке D равен нулю, т.к. здесь не приложена внешняя пара сил: M_D = 0.

Рассмотрение поперечных сил и изгибающих моментов можно было провести и справа налево.

По полученным значениям сил и моментов строим эпюры (эпю­ры под схемой вала, рис. 30.4).

Контрольные вопросы и задания

1. Определите величины поперечных сил в сечении 1 и в сечении 2 (рис. 30.5).

2. Напишите формулу для расчета изгибающего момента в сечении 3 (рис. 30.6).

252 Лекция 30

3. Из представленных эпюр выберете эпюру поперечной силы для изображенной балки (рис. 30.7).

Пояснения.

A. Обратить внимание на знак силы в сечении 1 (знак +).

Б. Обратить внимание на величину скачков в местах приложе­ния внешних сил.

B. Приложение момента пары сил не должно отражаться на
эпюре Q.

4. По рис. 30.8 выбрать эпюру изгибающего момента для изображенной на рис. 30.7 балки.

Пояснения.

A. На конце бруса приложен момент пары, следовательно, в этом
месте изгибающий момент должен быть равен этому же значению.

Б. Обратить внимание на знак момента в сечении 1.

B. В точке А приложена также и сила , поэтому линия , очертившая

Тема 2.6. Изгиб 253

эпюру, должна быть наклонной.

5. Ответьте на вопросы тестового задания.

Тема 2.6. Изгиб.