Внутренние силовые факторы при кручении.

Построение эпюр крутящих моментов

Иметь представление о деформациях при кручении, о внутрен­них силовых факторах при кручении.

Уметь строить эпюры крутящих моментов.

Деформации при кручении

Кручение круглого бруса происходит при нагружении его па­рами сил с моментами в плоскостях, перпендикулярных продольной оси. При этом образующие бруса искривляются и разворачиваются на угол γ называемый углом сдвига (угол поворота образующей). Поперечные сечения разворачиваются на угол φ, называемый углом закручивания (угол поворота сечения, рис. 26.1).

Длина бруса и размеры поперечного сечения при кручении не изменяются.

Тема 2.5. Кручение. Внутренние силовые факторы при кручении 217

Связь между угловыми деформациями определяется соотноше­нием

l— длина бруса; R — радиус сечения.

Длина бруса значительно больше радиуса сечения, следователь­но, φ » γ.

Угловые деформации при кручении рассчитываются в радиа­нах.

Гипотезы при кручении

1. Выполняется гипотеза плоских сечений: поперечное сечение бруса, плоское и перпендикулярное продольной оси, после деформа­ции остается плоским и перпендикулярным продольной оси.

2. Радиус, проведенный из центра поперечного сечения бруса, после деформации остается прямой линией (не искривляется).

3. Расстояние между поперечными сечениями после деформации не меняется. Ось бруса не искривляется, диаметры поперечных се­чений не меняются.

Внутренние силовые факторы при кручении

Кручением называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент.

Внешними нагрузками также являются две противоположно на­правленные пары сил.

Рассмотрим внутренние силовые факторы при кручении круг­лого бруса (рис. 26.1).

Для этого рассечем брус плоскостью I и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис. 26.1а). Сечение рассматриваем со стороны отброшенной части.

Внешний момент пары сил разворачивает участок бруса про­тив часовой стрелки, внутренние силы упругости сопротивляются повороту. В каждой точке сечения возникает поперечная сила dQ (рис. 26.16). Каждая точка сечения имеет симметричную, где возни­кает поперечная сила, направленная в обратную сторону. Эти силы образуют пару с моментом dm = pdQ; p — расстояние от точки

218 Лекция 26

до центра сечения. Сумма поперечных сил в сечении равна нулю: . ΣdQ = 0.

С помощью интегрирования получим суммарный момент сил упругости, называемый крутящим моментом:

Практически крутящий момент определяется из условия равно­весия отсеченной части бруса.

Крутящий момент в сечении равен сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть (рис. 26.1в):

Эпюры крутящих моментов

Крутящие моменты могут меняться вдоль оси бруса. После определения величин моментов по сечениям строим график-эпюру крутящих моментов вдоль оси бруса.

Крутящий момент считаем положительным, если моменты внешних пар сил направлены по часовой стрелке, в этом случае мо­мент внутренних сил упругости направлен против часовой стрелки (рис. 26.2).

Порядок построения эпюры моментов аналоги­чен построению эпюр про­дольных сил. Ось эпюры параллельна оси бруса, значения моментов откла­дывают от оси вверх или вниз, масштаб построе­ния выдерживать обязательно.

Примеры решения задач

Пример 1.На распределительном валу (рис. 26.3) установлены четыре шкива, на вал через шкив 1 подается мощность 12 кВт, кото­рая через шкивы 2, 3, 4 передается потребителю; мощности распре­деляются следующим образом: Р2 = 8 кВт , Рз = 3 кВт , Р4 = 1кВт ,

Тема 2.5. Кручение. Внутренние силовые факторы при кручении 219

вал вращается с постоянной скоростью ώ = 25 рад/с. Построить эпюру крутящих моментов на валу.

Решение

1. Определяем моменты пар сил на шкивах. Вращающий момент определяем из формулы мощности при вра­щательном движении

Момент на шкиве1 движущий, а моменты на шкивах 2, 3, 4 — моменты сопротивления механизмов, поэтому они имеют противо­положное направление. Брус скручивается между движущим момен­том и моментами сопротивления. При равновесии момент движущий равен сумме моментов сопротивления:

220 Лекция 26

2. Определяем крутящие моменты в поперечных сечениях бруса
с помощью метода сечений.

Сечение I (рис. 26.4а):

- m4 + М_К1 = 0; М_К1 = m4; М_К1 = 40Н • м — крутящий момент отрицательный.

Сечение II (рис. 26.4b):

- m4 – т₃ + М_К2 = 0; М_К2 = m4 + m3; М_К2 = 40 + 120 = 160Н•м — крутящий момент отрицательный.

Сечение III (рис. 26.4в):

- m4 – т₃ + т1 — М_кз = 0; -М_кз = m4 + т₃ - т1;

-М_кз = 40 + 120 - 480; М_Кз = 320 Н • м — крутящий момент поло­жительный.

Сечение IV:

M_K4 = - m4 – т₃ + т1 – т₂= 0.

3. Строим эпюру крутящих моментов. Заметим, что скачок на
эпюре всегда численно равен приложенному вращающему моменту.

Выбираем соответствующий масштаб.

Откладываем значения моментов, штрихуем эпюру поперек, об­водим по контуру, записываем значения моментов (см. эпюру под схемой вала (рис. 26.3)). Максимальный крутящий момент на участ­ке IIIМкз =320Н•м.

Пример 2.Выбрать рациональное расположение колес на валу (рис. 26.5). т1= 280 Н • м; т₂ = 140 Н • м; т₃ = 80 Н • м.

Примечание. Меняя местами колеса (шкивы) на валу, можно изменять величины крутящих моментов. Рациональным рас­положением является такое, при котором крутящие моменты принимают минимальные из возможных значения.

m0 = т₁ + т2 + т₃ = 280 + 140 + 80 = 500 Н • M.

Тема 2.5. Кручение. Внутренние силовые факторы при кручении 221

Рассмотрим нагрузки на валу при различном расположении колес.

Из представленных вариантов наиболее рационально располо­жение шкивов в третьем случае, здесь значения крутящих момен­тов минимальны. Вывод: при установке шкивов желательно, чтобы мощность подавалась в середине вала и по возможности равномерно распределялась направо и налево.

Контрольные вопросы и задания

1. Какие деформации возникают при кручении?

2. Какие гипотезы выполняются при деформации кручения?

3. Изменяются ли длина и диаметр вала после скручивания?

222 Лекция 26

4. Какие внутренние силовые факторы возникают при кручении?

5. Что такое рациональное расположение колес на валу?

6. Для заданного вала (рис. 26.6) выбрать соответствующую
эпюру крутящих моментов (а, б, в). m1 = 40Н•м; т2 = 180Н•м;
m₀ = 280Н•м.

7. В каком порядке рациональнее расположить шкивы на валу
для уменьшения нагрузки на вал (рис. 26.7)?

Тема 2.5. Кручение 223

ЛЕКЦИЯ 27

Тема 2.5. Кручение.

Напряжения и деформации

При кручении

Иметь представление о напряжении и деформациях при круче­нии, о моменте сопротивления при кручении.

Знать формулы для расчета напряжений в точке поперечного сечения, закон Гука при кручении.

Напряжения при кручении

Проводим на поверхности бру­са сетку из продольных и попе­речных линий и рассмотрим рису­нок, образовавшийся на поверхно­сти после деформации (рис. 27.1а). Поперечные окружности, оставаясь плоскими, поворачиваются на угол φ, продольные линии искривляют­ся, прямоугольники превращают­ся в параллелограммы. Рассмотрим элемент бруса 1234 после деформа­ции.

При выводе формул используем закон Гука при сдвиге и гипотезу

224 Лекция 27

плоских сечений и неискривления радиусов поперечных сечений.

При кручении возникает напряженное состояние, называемое «чистый сдвиг» (рис. 27.16).

При сдвиге на боковой поверхности элемента 1234 возникают касательные напряжения, равные по величине (рис. 27.1в), элемент деформируется (рис. 27.1г).

Материал подчиняется закону Гука. Касательное напряжение пропорционально углу сдвига.

Закон Гука при сдвиге τ = Gγ,

G — модуль упругости при сдвиге, Н/мм²; γ -- угол сдвига, рад.