Основное уравнение динамики вращающегося тела

Пусть твердое тело под действием внешних сил вращается во­круг оси Oz с угловой скоростью ω(рис. 17.3).

Рассматривая твердое тело как механическую систему, разо­бьем ее на множество материальных точек с массами Δmk.Каждая точка движется по окружности радиуса rk с касательным ускорени­ем a^t_k = εrk и нормальным ускорением aⁿ_k = ω²rk, где ε — угловое ускорение.

Используем для каждой точки принцип Даламбера и приложим силы инерции:

Система сил, действующих на точку, по принципу Даламбера, находится в равновесии.

Поэтому алгебраическая сумма моментов относительно оси вра­щения должна быть равна нулю:

момент внешних сил.

Моменты нормальных сил инерции F"_инk равны нулю, т. к. силы пересекают ось z. Силы, направленные по касательной к окружно­сти, равны

Тема 1.15. Общие теоремы динамики 125

где ε — общая величина, угловое ускорение тела.

Подставив значение силы в формулу для определения моментов, получим

них сил относительно оси; ε — угловое ускорение тела.

Момент инерции тела в этом выражении определяет меру инертности тела при вращении.

По выражению для момента инерции можно определить, что единица измерения этой величины в системе СИ [Jz]= [mr²] =кг∙м².

Видно, что значение момента инерции зависит от распределения массы относительно оси вращения: при одинаковой массе момент инерции больше, если основная часть массы расположена дальше от оси вращения. Для увеличения момента инерции используют колеса со спицами и отверстиями.

Моменты инерции некоторых тел

126 Лекция 17

Примеры решения задач

Пример 1.Автомобиль двигался со скоростью 54 км/ч. В ре­зультате резкого торможения автомобиль остановился. Определите время торможения, если коэффициент трения между поверхностью дороги и колесами автомобиля 0,36.

Решение

Принимаем автомобиль за материальную точку (рис. 17.8).

1. Считаем, что торможение произошло только за счет трения.
Используем теорему об изменении количества движения. Начальная скорость

54∙1000

vo = ——— = 15 м/с. По теореме изменения количества движения mv — mvo = F_Tt.

Конечная скорость v = 0 (остановка).

2. Тормозная сила F_T = —fR.

R = G = тq,

здесь R — сила прижатия; f— коэффициент трения; G — сила тяжести; т — масса автомобиля; q — ускорение свободного падения; q = 9,81м/с².

Тема 1.15. Общие теоремы динамики 127

3. После подстановок получаем формулу для определения вре­мени торможения.

Пример 2.После отключения двигателя колесо радиусом 0,5 м и массой 700 кг имело угловую частоту вра­щения 300 об/мин. Определите момент трения в подшипниках, если вал колеса остановился через 1,5 мин. Вращение принять равнопере­менным, колесо считать сплошным цилиндром (рис. 17.9).

Решение

1. Запишем уравнение динамики при вращении:

где M∑ — суммарный момент внешних сил; J — момент инерции; ε — угловое ускорение; М_дв — движущий момент; М_тр — момент трения (сил сопротивления).

2. Определим угловое ускорение по формуле для угловой скорости при равно-переменном движении:

128 Лекция 17

Тогда

3. Определим момент инерции колеса, считая его сплошным цилиндром:

4. Определяем величину тормозного момента — момента трения
в подшипниках: М_дв = 0; —М_тр = Jε;

-М_тр = 87,5(-0,35); М_тр = 30,625 Н∙м.

Пример 3. Шкив приводится во вращение ременной передачей (рис. 17.10). Натяжение ведущей ветви ремня S1 = 120 Н, ведомой — S2 = 50 Н. Масса шкива 200 кг, диаметр 80 мм, момент сопроти­вления в подшипниках 1,2 Н∙м. Определить угловое ускорение вала, пренебрегая его массой. Шкив считать тонкостенным цилиндром.

Решение

1. Используем основное уравнение ди­намики M∑ = Jε.

2.Определяем суммарный момент внешних cил

3. Рассчитываем момент инерции шкива, влиянием вала пренебрегаем:

4. Определяем угловое ускорение шкива

Тема 1.15. Общие теоремы динамики 129

Контрольные вопросы и задания

1. Тело массой 10 кг поднято на высоту 6 м. Определите потенциальную энергию тела и работу, которую совершит тело при падении с этой высоты.

2. Материальная точка массой 16 кг, движущаяся со скоростью 10 м/с, остановилась через 40 с. Определите величину тормозной силы.

3. Тело массой 9,2 кг двигалось из состояния покоя 3с с ускорением 4 м/с² под действием силы F. Определите запас кинетической энергии, накопленный телом.

4. Сплошной однородный цилиндр вращается вокруг продольной оси (рис. 17.11). От каких параметров зависит момент инерции

5. Определите вращающий момент на шкиве (рис. 17.12); d = 60 мм.

6. По результату решения предыдущей задачи (вопрос 5) определите момент инерции шкива, если, двигаясь из состояния покоя, он приобрел угловую скорость 50 рад/с за 10 с.

Примечание. При ответах на контрольные во­просы ускорение свободного па­дения можно принимать равным 10 м/с².

5 - 8060 Олофинская

130 Практическое занятие 1