Некоторые важные замечания к формуле разложения

Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru

  1. При наличии в цепи синусоидальной ЭДС Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru для перехода от комплекса к функции времени от правой части формулы разложения берется мнимая часть, т.е. выражение при j. Если при этом в цепи также имеют место другие источники, например, постоянной Е и экспоненциальной Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru ЭДС, и начальные условия для токов в ветвях с индуктивными элементами и напряжений на конденсаторах ненулевые, то они должны быть все введены в формулу предварительно умноженными на j, поскольку только в этом случае они будут учтены при взятии мнимой части от формулы разложения, т.е.

Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru .

  1. Принужденной составляющей от действия источника синусоидальной ЭДС в формуле разложения соответствует слагаемое, определяемое корнем Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru . Для сложных схем такое ее вычисление может оказаться достаточно трудоемким, в связи с чем принужденную составляющую в этих случаях целесообразно определять отдельно символическим методом, а свободную – операторным.
  2. Комплексно-сопряженным корням уравнения Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru в формуле разложения соответствуют комплексно-сопряженные слагаемые, которые в сумме дают удвоенный вещественный член, т.е. для к-й пары комплексно-сопряженных корней имеет место

Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru .

Последовательность расчета переходных процессов
операторным методом

1. Определение независимых начальных условий путем расчета докоммутационного режима работы цепи.

2. Составление операторной схемы замещения цепи (для простых цепей с нулевыми начальными условиями этот этап может быть опущен).

3. Запись уравнений по законам Кирхгофа или другим методам расчета линейных цепей в операторной форме с учетом начальных условий.

4. Решение полученных уравнений относительно изображений искомых величин.

5. Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru Определение оригиналов (с помощью формулы разложения или таблиц соответствия оригиналов и изображений) по найденным изображениям.

В качестве примера использования операторного метода определим ток через катушку индуктивности в цепи на рис. 1.

С учетом нулевого начального условия операторное изображение этого тока

Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru .

Для нахождения оригинала Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru воспользуемся формулой разложения при нулевом корне

Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru , (1)

где Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru , Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru .

Корень уравнения Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru

Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru .

Тогда

Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru

и

Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru .

Подставляя найденные значения слагаемых формулы разложения в (1), получим

Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru .

Воспользовавшись предельными соотношениями, определим Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru и Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru :

Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru

Формулы включения

Формулу разложения можно использовать для расчета переходных процессов при нулевых и ненулевых начальных условиях. Если начальные условия нулевые, то при подключении цепи к источнику постоянного, экспоненциального или синусоидального напряжения для расчета переходных процессов удобно использовать формулы включения, вытекающие из формулы разложения.



  1. Формула включения на экспоненциальное напряжение Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru
Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru , (2)

2. где Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru - входное операторное сопротивление двухполюсника при определении тока в ветви с ключом (при расчете тока в произвольной ветви это операторное сопротивление, определяющее ток в ней по закону Ома); Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru - к-й корень уравнения Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru .

  1. Формула включения на постоянное напряжение Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru (вытекает из (2) при Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru )

Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru .

  1. Формула включения на синусоидальное напряжение Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru (формально вытекает из (2) при Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru и Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru )

Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru

.

Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru В качестве примера использования формулы включения рассчитаем ток в цепи на рис. 2, если в момент времени t=0 она подсоединяется к источнику с напряжением Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru ; Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru ; Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru .

В соответствии с заданной формой напряжения источника для решения следует воспользоваться формулой (2). В ней Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru . Тогда корень уравнения Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru . Производная Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru и Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru .

В результате

Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru .

Сведение расчета переходного процесса к расчету
с нулевыми начальными условиями

Используя принцип наложения, расчет цепи с ненулевыми начальными условиями можно свести к расчету схемы с нулевыми начальными условиями. Последнюю цепь, содержащую пассивные элементы, можно затем с помощью преобразований последовательно-параллельных соединений и треугольника в звезду и наоборот свести к виду, позволяющему определить искомый ток по закону Ома с использованием формул включения.

Методику сведения цепи к нулевым начальным условиям иллюстрирует рис. 3, на котором исходная схема на рис. 3,а заменяется эквивалентной ей схемой на рис. 3,б, где Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru . Последняя в соответствии с принципом наложения раскладывается на две схемы; при этом в схеме на рис. 3,в составляющая Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru общего тока Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru равна нулю. Таким образом, полный ток Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru равен составляющей тока Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru в цепи на рис. 3,г, где исходный активный двухполюсник АД заменен пассивным ПД, т.е. схема сведена к нулевым начальным условиям.

Следует отметить, что если определяется ток в ветви с ключом, то достаточно рассчитать схему на рис. 3,г. При расчете тока в какой-либо другой ветви АД в соответствии с вышесказанным он будет складываться из тока в этой ветви до коммутации и тока в ней, определяемого подключением ЭДС Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru к пассивному двухполюснику.

Аналогично можно показать, что отключение ветви, не содержащей индуктивных элементов, при расчете можно имитировать включением в нее источника тока, величина которого равна току в ветви до коммутации, и действующему навстречу ему.

Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru

Переходная проводимость

При рассмотрении метода наложения было показано, что ток в любой ветви схемы может быть представлен в виде

Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru ,

где Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru - собственная (к=m) или взаимная Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru проводимость.

Это соотношение, трансформированное в уравнение

Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru , (3)

будет иметь силу и в переходном режиме, т.е. когда замыкание ключа в m-й ветви подключает к цепи находящийся в этой ветви источник постоянного напряжения Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru . При этом Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru является функцией времени и называется переходной проводимостью.

В соответствии с (3) переходная проводимость численно равна току в ветви при подключении цепи к постоянному напряжению Некоторые важные замечания к формуле разложения - student2.ru .

Наши рекомендации