Амплитудная модуляция гармонического колебания

Амплитудная модуляция – процесс изменения амплитуды несущего колебания, соответствующего изменению непрерывного информационного сигнала [2].

При амплитудной модуляции мгновенная амплитуда несущего колебания:

U(t) = U_m + a∙s_c(t), (8.2)

где U_m – амплитуда несущей; a – коэффициент пропорциональности, выбираемый так, чтобы амплитуда U(t) всегда была положительной. Частота и фаза несущего гармонического колебания при AM остаются неизменными.

Для математического описания AM сигнала в (8.2) вместо коэффициента a , зависящего от конкретной схемы модулятора, вводится индекс модуляции:

(8.3)

т.е. отношение разности между максимальным и минимальным значениями амплитуд AM сигнала к сумме этих значений. Для симметричного модулирующего сигнала s_c(t) AM сигнал также симметричный, то есть A_max = A_min = 2∆A. Тогда индекс модуляции равен отношению максимального приращения амплитуды, к амплитуде несущей.

m_АМ = ∆U/ U_m. (8.4)

Физически индекс модуляции характеризует собой глубину амплитудной модуляции и может изменяться в пределах 0 ≤ m_АМ ≤ 1.

Таким образом, для любого AM сигнала справедливо:

S_AM(s_c, t) = U_m [1 + m_АМ∙s_c] cos(ω₀t + φ₀). (8.5)

Амплитудная модуляция гармоническим колебанием. В простейшем случае модулирующий сигнал является гармоническим колебанием с частотой Ω << ω₀. При этом выражение

S_AM(s_c, t) = U_m [1 + m_АМ∙cosΩt] cos(ω₀t + φ₀), (8.6)

соответствует однотональному AM сигналу, представленному на рис. 8.2в.

Рис. 8.2. Временные и спектральные диаграммы процесса формирования АМ гармонического колебания

Однотональный AM сигнал можно представить в виде суммы трех гармонических составляющих с частотами: ω₀ – несущей; ω₀ + Ω – верхней боковой и ω₀ - Ω – нижней боковой:

S_AM(s_c, t) = U_m ∙cos(ω₀t + φ₀) + (U_m ∙m_АМ /2)cos[(ω₀ + Ω)t + φ₀] +

+ (U_m ∙m_АМ /2)cos[(ω₀ - Ω)t + φ₀] (8.7)

Спектральная диаграмма однотонального AM сигнала, построенная по (8.7), симметрична относительно несущей частоты ω₀ (рис. 8.2в). Амплитуды боковых колебаний с частотами ω₀ - Ω и ω₀ + Ω одинаковы и даже при m_АМ = 1 не превышают половины амплитуды несущего колебания U_m.

Гармонические модулирующие сигналы и соответственно однотональный AM сигнал на практике встречаются редко. В большинстве случаев модулирующие первичные сигналы s_c(t) являются сложными функциями времени (рис. 8.3а). Любой сложный сигнал s_c(t) можно представить в виде конечной или бесконечной суммы гармонических составляющих, воспользовавшись рядом или интегралом Фурье. Каждая гармоническая составляющая сигнала s_c(t) с частотой Ω_i приведет к появлению в AM сигнале двух боковых составляющих с частотами ω₀ ± Ω_i.

Множеству гармонических составляющих в модулирующем сигнале с частотами Ω_i, i = 1, 2, …, N будет соответствовать множество боковых составляющих с частотами ω₀ ± Ω_i, i = 1, 2, …, N. Для наглядности такое преобразование спектра при AM показано на рис. 8.3б. Спектр сложномодулированного AM сигнала, помимо несущего колебания с частотой ω₀, содержит группы верхних и нижних боковых колебаний, образующих соответственно верхнюю боковую полосу и нижнюю боковую полосу AM сигнала.

Рис. 8.3. Временные и спектральные диаграммы АМ сигнала

При этом верхняя боковая полоса частот является масштабной копией спектра информационного сигнала, сдвинутого в область высоких частот на величину ω₀. Нижняя боковая полоса частот также повторяет спектральную диаграмму сигнала s_c(t), но частоты в ней располагаются в зеркальном порядке относительно несущей частоты ω₀.

Ширина спектра AM сигнала ∆ω_AM равна удвоенному значению наиболее высокой частоты Ω_max спектра модулирующего низкочастотного сигнала, т. е. ∆ω_AM = 2Ω_max.

Наличие двух боковых полос обусловливает расширение занимаемой полосы частот примерно в два раза, по сравнению со спектром информационного сигнала. Мощность, приходящаяся на колебание несущей частоты, постоянна. Мощность, заключенная в боковых полосах, зависит от индекса модуляции и увеличивается с увеличением глубины модуляции. Однако даже в крайнем случае, когда m_АМ = 1, только 1/3 всей мощности колебания приходится на две боковые полосы.

Полная средняя мощность АМ сигнала на сопротивлении R равна:

(8.8.)

Если амплитуда несущей в спектре АМ сигнала равна U_m, глубина модуляции равна m_АМ, то амплитуды боковых частот равны:

m_АМU_m/2. (8.9.)