Системы автоматического регулирования
При описании процесса автоматического управления реальный объект представляют обычно в виде двух систем: управляющей и управляемой (объекта управления).
Структура САУ:
где эндогенные переменные:
- векторы вх воздействий;
- векторы возмущающих воздействий;
- векторы сигналов ошибки;
- векторы управляющих воздействий.
Экзогенные переменные:
- вектор состояния системы
;
- вектор выходных переменных (обычно
).
Для одномерной системы ошибка управления системы , где
- заданный закон изменения управляемой величины системы;
- действительный закон изменения.
Если предписанный закон изменения управляемой величины соответствует закону изменения входного воздействия, т.е. (при условии линейной зависимости
и
).
Система управления называется идеальной, если во все моменты времени. На практике это не возможно. Таким образом, ошибка
- неизбежная составляющая объекта автоматического управления, основанного на принципе отрицательной обратной связи. Т.к. для приведения в соответствие выходной переменной
её заданному значению используется информация об отклонениями между ними.
Задачей системы авт. управления является изменение переменной согласно заданному закону с определенной точностью (с допустимой ошибкой). При проектировании и эксплуатации систем авт. управления необходимо выбрать такие параметры системы
, которые обеспечили бы требуемую точность управления, а также устойчивость системы в переходном процессе.
Если система устойчива, то представляют практический интерес поведение системы во времени, максимальное отклонение регулируемой переменной в переходном процессе, время переходного процесса, граничные условия.
Свойства систем автоматического управления различных классов можно смоделировать с помощью дифференциальных уравнений и их коэффициентов. Порядок дифференциального уравнения и значения его коэффициентов полностью определяются статическими и динамическими параметрами системы .
Пример:
Рассмотрим одноканальную систему автоматического управления SA, которая описывается -схемой общего вида:
, (1)
где ;
Пусть система SA, работает в некотором режиме малых отклонений от и
, т.е.
и
.
Тогда уравнение (1) можно линеаризовать, разложив функцию в ряд Тейлора и ограничиться его линейными членами относительно приращений
и
, т.е.:
(2)
Т.к. уравнение (2) приблизительно описывает рассматриваемый процесс, то производные вычисляются при некоторых фиксированных значениях входящих в него переменных, т.е. мы получаем системы с постоянными коэффициентами.
Уравнения получаются линейными относительно и
и их производных.
Методы решения и исследования линейной системы значительно проще, чем общего вида. Таким образом:
(3)
В уравнении (3) для простоты предполагается, что точка приложения возмущающих воздействий совпадает с входом системы (т.е. совпадает с начальной точкой). Решить это уравнение можно, например, операторным методом, значения ДУ алгебраическим (метод конечных разностей).
Таким образом, использование Д-схем позволяет формализовывать процесс функционирования непрерывно-детерминированных систем S и оценить их основные характеристики, применяя аналитический или имитационный подход.
12. ДИСКРЕТНО-ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ (F-МОДЕЛИ)
Автомат можно представить как некоторое устройство, на которое подаются входные сигналы и снимаются выходные и которое может иметь некоторые внутренние состояния. Конечным автоматом называется автомат, у которого множество внутренних состояний и входных сигналов (а следовательно, и множество выходных сигналов) являются конечными множествами.
Абстрактно конечный автомат можно представить как математическую схему (F-схему), характеризующуюся шестью элементами:
1) конечным множеством X входных сигналов (входным алфавитом);
2) конечным множеством Y выходных сигналов (выходным алфавитом);
3) конечным множеством Z внутренних состояний (внутренним алфавитом или алфавитом состояний);
4) начальным состоянием ;
5) функцией переходов ;
6) функцией выходов .
Автомат, задаваемый F-схемой: — функционирует в дискретном времени, такты, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного и выходного сигналов и внутренние состояния.
Обозначим состояние, а также входной и выходной сигналы, соответствующие такту через
,
,
. При этом, по условию
,
,
,
.
Абстрактный конечный автомат имеет один входной и один выходной каналы. В каждый момент дискретного времени F-автомат находится в определенном состоянии
состояний автомата, причем в начальный момент времени
он всегда находится в начальном состоянии
. В момент
, будучи в состоянии z(t), автомат способен воспринять на входном канале сигнал
и выдать на выходном канале сигнал
, переходя в состояние
.
Если ,
,
… - это входное, то
,
,
… - выходное слово.
Таким образом, работа конечного автомата происходит по следующей схеме: в каждом такте на вход автомата, находящегося в состоянии z(t), подается некоторый сигнал x(t), на который он реагирует переходом в
такте в новое состояние
с выдачей некоторого выходного сигнала.
Получаем:
Для F-автомата первого рода (автомат Мили):
для F-автомата второго рода
Автомат второго рода, для которого ,
, т.е. функция выходов не зависит от входной переменной
, называется автоматом Мура.
По числу состояний различают:
1) конечные автоматы с памятью
2) автоматы без памяти
По характеру отсчета дискретного времени конечные автоматы делятся на:
1) синхронные.
2) асинхронные - считывает входной сигнал непрерывно,
Чтобы задать конечный F-автомат, необходимо описать все элементы множества:
. При чем необходимо выделить
в момент
Существует несколько способов задания работы F-автомата, но наиболее часто используют табличный способ.
Табличный способ:
Строки соответствуют входным сигналам автомата, столбцы – его состояниям. Обычно первый слева столбец соответствует начальному состоянию z0 . На пересечении i-ой строки и k-го столбца таблицы переходов помещается соответствующее значение функции переходов, а в таблице выходов – соответствующее значение
функции выходов.
Для F-автоматов Мура обе таблицы можно совместить, получая отмеченную таблицу переходов, в которой над каждым состоянием автомата, обозначающим столбец таблицы, стоит соответствующий этому состоянию выходной сигнал
.
Таблица 1
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ... ![]() | |
ПЕРЕХОДЫ | |||
![]() | ![]() | ![]() | ... ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ... ![]() |
... | ... | ... | ... |
![]() | ![]() | ![]() | ... ![]() |
ВЫХОДЫ | |||
![]() | ![]() | ![]() | ... ![]() |
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНЕЧНОГО АВТОМАТА, ЗАДАННОГО НАПРАВЛЕННЫМ ГРАФОМ
Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата и соединяющих вершины дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Для автомата Мура аналогичная разметка графа такова: если входной сигнал xk,действуя на некоторое состояние автомата, вызывает переход в состояние zj то дугу, направленную в zj и помеченную xk,дополнительно отмечают выходным сигналом у = y (zj, xk).
Таблица 2
xi | zk | ||
z0 | z1 | z2 | |
Переходы | |||
x1 | z2 | z0 | z0 |
x2 | z0 | z2 | z1 |
Выходы | |||
x1 | y1 | y1 | y2 |
x2 | y1 | y2 | y1 |
Таблица 3
xi | y | ||||
y1 | y1 | y3 | y2 | y3 | |
z0 | z1 | z2 | z3 | z4 | |
x1 | z1 | z4 | z4 | z2 | z2 |
x2 | z3 | z1 | z1 | z0 | z0 |
На рис. 3, а, б приведены заданные ранее таблицами F-автоматы Мили F1 и Мура F2 соответственно.
Рис. 3. Графы автоматов Мили (а) и Мура (6)
При решении задач моделирования систем часто более удобной формой является матричное задание конечного автомата. При этом матрица соединений автомата есть квадратная матрица С= ||сij||, строки которой соответствуют исходным состояниям, а столбцы — состояниям перехода. Элемент cij = xk / ys,стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, в случае автомата Мили соответствует входному сигналу xk,вызывающему переход из состояния zi в состояние zj,и выходному сигналу ys,вы даваемому при этом переходе. Для автомата Мили F1 матрица соединений имеет вид
.
Если переход из состояния zi в состояние zj происходит под действием нескольких сигналов, элемент матрицы cij представляет собой множество пар «вход-выход» для этого перехода, соединенных знаком дизъюнкции.
Для F-автомата Мура элемент cij равен множеству входных сигналов на переходе (zi, zj), а выход описывается вектором выходов
i-я компонента которого — выходной сигнал, отмечающий состояние zi.