Системы автоматического регулирования

При описании процесса автоматического управления реальный объект представляют обычно в виде двух систем: управляющей и управляемой (объекта управления).

Структура САУ:

где эндогенные переменные:

- векторы вх воздействий;

- векторы возмущающих воздействий;

- векторы сигналов ошибки;

- векторы управляющих воздействий.

Экзогенные переменные:

- вектор состояния системы ;

- вектор выходных переменных (обычно ).

Для одномерной системы ошибка управления системы , где - заданный закон изменения управляемой величины системы; - действительный закон изменения.

Если предписанный закон изменения управляемой величины соответствует закону изменения входного воздействия, т.е. (при условии линейной зависимости и ).

Система управления называется идеальной, если во все моменты времени. На практике это не возможно. Таким образом, ошибка - неизбежная составляющая объекта автоматического управления, основанного на принципе отрицательной обратной связи. Т.к. для приведения в соответствие выходной переменной её заданному значению используется информация об отклонениями между ними.

Задачей системы авт. управления является изменение переменной согласно заданному закону с определенной точностью (с допустимой ошиб­кой). При проектировании и эксплуатации систем авт. управления необходимо выбрать такие параметры системы , которые обеспечили бы требуемую точность управления, а также устойчивость системы в переходном процессе.

Если система устойчива, то представляют практический интерес поведение системы во времени, максимальное отклонение регулируемой переменной в переходном процессе, время переходного процесса, граничные условия.

Свойства систем автоматического упра­вления различных классов можно смоделировать с помощью дифференциаль­ных уравнений и их коэффициентов. Порядок дифференциального уравнения и значения его коэффициен­тов полностью определяются статическими и динамическими пара­метрами системы .

Пример:

Рассмотрим одноканальную систему автоматического управления S_A, которая описывается -схемой общего вида:

, (1)

где ;

Пусть система S_A, работает в некотором режиме малых отклонений от и , т.е. и .

Тогда уравнение (1) можно линеаризовать, разложив функцию в ряд Тейлора и ограничиться его линейными членами относительно приращений и , т.е.:

(2)

Т.к. уравнение (2) приблизительно описывает рассматриваемый процесс, то производные вычисляются при некоторых фиксированных значениях входящих в него переменных, т.е. мы получаем системы с постоянными коэффициентами.

Уравнения получаются линейными относительно и и их производных.

Методы решения и исследования линейной системы значительно проще, чем общего вида. Таким образом:

(3)

В уравнении (3) для простоты предполагается, что точка приложения возмущающих воздействий совпадает с входом системы (т.е. совпадает с начальной точкой). Решить это уравнение можно, например, операторным методом, значения ДУ алгебраическим (метод конечных разностей).

Таким образом, использование Д-схем позволяет формализовывать процесс функционирования непрерывно-детерминированных систем S и оценить их основные характеристики, применяя аналитический или имитационный подход.

12. ДИСКРЕТНО-ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ (F-МОДЕЛИ)

Автомат можно представить как некоторое устройство, на которое подаются входные сигналы и снимаются выходные и которое может иметь некоторые внутренние состояния. Конечным автоматом называется автомат, у которого множество внутренних состояний и входных сигналов (а следовательно, и множество выходных сигналов) являются конеч­ными множествами.

Абстрактно конечный автомат можно представить как математическую схему (F-схему), характеризующуюся шестью элементами:

1) конечным множеством X входных сиг­налов (входным алфавитом);

2) конечным множеством Y выходных сигналов (выходным алфавитом);

3) конечным множеством Z внут­ренних состояний (внутренним алфавитом или алфавитом состоя­ний);

4) начальным состоянием ;

5) функцией переходов ;

6) функцией выходов .

Автомат, задаваемый F-схемой: — функционирует в дискретном времени, такты, каждому из которых соответ­ствуют постоянные значения входного и выходного сигналов и вну­тренние состояния.

Обозначим состояние, а также входной и выходной сигналы, соответствующие такту через , , . При этом, по условию , , , .

Абстрактный конечный автомат имеет один входной и один выходной каналы. В каждый момент дискретного времени F-автомат находится в определенном состоянии состояний автомата, причем в начальный момент времени он всегда находится в начальном состоянии . В момент , будучи в состоянии z(t), автомат способен воспринять на входном канале сигнал и выдать на выходном канале сигнал , переходя в состояние .

Если , , … - это входное, то , , … - выходное слово.

Таким образом, работа конечного автомата происходит по следующей схеме: в каждом такте на вход автомата, находящегося в состоянии z(t), подается некоторый сигнал x(t), на который он реагирует переходом в такте в новое состояние с выдачей некоторого выходного сигнала.

Получаем:

Для F-автомата первого рода (автомат Мили):

для F-автомата второго рода

Автомат второго рода, для которого , , т.е. функция выходов не зависит от входной переменной , называется автоматом Мура.

По числу состояний различают:

1) конечные автоматы с памятью

2) автоматы без памяти

По характеру отсчета дискретного времени конечные автоматы делятся на:

1) синхронные.

2) асинхронные - считывает входной сигнал непрерывно,

Чтобы задать конечный F-автомат, необходимо описать все элементы множества:

. При чем необходимо выделить в момент Существует несколько способов задания работы F-автомата, но наиболее часто используют табличный способ.

Табличный способ:

Строки соответствуют входным сигналам автомата, столбцы – его состояниям. Обычно первый слева столбец соответствует начальному состоянию z₀ . На пересечении i-ой строки и k-го столбца таблицы переходов помещается соответствующее значение функции переходов, а в таблице выходов – соответствующее значение функции выходов.

Для F-автоматов Мура обе таблицы можно совместить, получая отмеченную таблицу переходов, в которой над каждым состоянием автомата, обозначающим столбец таблицы, стоит соответствующий этому состоянию выходной сигнал .

Таблица 1

		...
ПЕРЕХОДЫ
			...
			...
...	...	...	...
			...
ВЫХОДЫ
			...

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНЕЧНОГО АВТОМАТА, ЗАДАННОГО НАПРАВЛЕННЫМ ГРАФОМ

Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата и соединяющих вершины дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Для автомата Мура аналогичная разметка графа такова: если входной сигнал x_k,действуя на некоторое состояние автомата, вызывает переход в состояние z_j то дугу, направленную в z_j и помеченную x_k,дополнительно отмечают выходным сигналом у = y (z_j, x_k).

Таблица 2

xi	zk
z0	z1	z2
Переходы
x1	z2	z0	z0
x2	z0	z2	z1
Выходы
x1	y1	y1	y2
x2	y1	y2	y1

Таблица 3

xi	y
y1	y1	y3	y2	y3
z0	z1	z2	z3	z4
x1	z1	z4	z4	z2	z2
x2	z3	z1	z1	z0	z0

На рис. 3, а, б приведены заданные ранее таблицами F-автоматы Мили F1 и Мура F2 соответственно.

Рис. 3. Графы автоматов Мили (а) и Мура (6)

При решении задач моделирования систем часто более удобной формой является матричное задание конечного автомата. При этом матрица соединений автомата есть квадратная матрица С= ||с_ij||, строки которой соответствуют исходным состояниям, а столбцы — состояниям перехода. Элемент c_ij = x_k / y_s,стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, в случае автомата Мили соответствует вход­ному сигналу x_k,вызывающему переход из состояния z_i в состояние z_j,и выходному сигналу y_s,вы даваемому при этом переходе. Для автомата Мили F1 матрица соединений имеет вид

.

Если переход из состояния z_i в состояние z_j происходит под действием нескольких сигналов, элемент матрицы c_ij представляет собой множество пар «вход-выход» для этого перехода, соединен­ных знаком дизъюнкции.

Для F-автомата Мура элемент c_ij равен множеству входных сигналов на переходе (z_i, z_j), а выход описывается вектором выходов

i-я компонента которого — выходной сигнал, отмечающий состоя­ние z_i.