Расчет надежности элемента системы.

Надежность элемента по формальной теории оценивается по соотношению (1.7).

Если известны интенсивности отказа λ нахождение основных показателей надежности не представляет особого труда. Интенсивности отказов λ определяются статистически.

Значения интенсивности отказов некоторых комплектующих элементов при номинальных условиях их функционирования представлены в табл. 2.1 [15].

Значения интенсивностей отказа Таблица 2.1

Изделия	Число отказов за часов
Гидроцилиндры	0,03
Шариковые подшипники	0,011
Осевые вентиляторы	0,125
Дизельные двигатели	0,898
Механические фильтры	0,035
Гидравлическая арматура	2,77
Уплотнения	0,011
Электронагревательные устройства	0,355
Гибкие шланги	1,74
Механические силовые редукторы	0,146
Муфты	0,441
Электродвигатели постоянного тока	0,22
Электродвигатели переменного тока	0,499
Генераторы переменного тока	0,796
Топливные насосы	0,114
Гидравлические насосы	0,043
Электромагнитные клапаны	0,194
Топливные клапаны	0,127
Гидравлические клапаны	0,99
Пневматические клапаны	0,214
Силовые трансформаторы	0,0012
Аккумуляторные свнцово-кислотные батареи	0,006
Конденсаторы переменные	0,025
Конденсаторы плёночные постоянной ёмкости	0,45
Магнитные сердечники ЭВМ	0,00002
Диск памяти	0,148
Выпрямители кремниевые регулируемые	0,017
Реле общего назначения	0,032
Тепловые реле	2,00
Сопротивления переменные общего назначения	0,02
Проволочные переменные сопротивления	0,163
Электромагниты	0,3
Переключатели общего назначения	0,021

Отличия условий функционирования и уровня нагружения от номинальных учитываются в расчетах надежности зависимостями интенсивности отказа от рабочей температуры и характера нагружения анализируемых комплектующих элементов. В частности

зависимость интенсивности отказа конденсаторов от внешних условий и режимов работы можно представить в виде [3]

,

где ; ; m=3.5-5 для бумажных конденсаторов,

4.0-5.0-для слюдяных и 3.0-для керамических; .

При проведении расчетов надежности элементов по общей теории условие работоспособности по каждому из параметров представим в виде неравенства

η > 1 ,

где η = х_доп / х_д – коэффициент запаса по рассматриваемому параметру;

х_д , х_доп – соответственно действующее и допустимое значение параметра.

Тогда вероятность отказа по данному параметру можно представить в виде

Q = Р{η < 1}

В предположении нормального закона распределения коэффициента запаса η , получим

где m_η – математическое ожидание коэффициента запаса;

σ_η – среднеквадратическое отклонение коэффициента запаса.

функция нормированного нормального распределения ( см. табл. 2.2 )

Функция нормированного нормального распределения

Таблица 2.2

	V		V		V
0,5		0,68	0,468	0,86	1,08
0,51	0,025	0,69	0,496	0,87	1,126
0,52	0,051	0,7	0,524	0,88	1,175
0,53	0,075	0,71	0,553	0,89	1,227
0,54	0,1	0,72	0,583	0,9	1,281
0,55	0,125	0,73	0,613	0,91	1,341
0,56	0,150	0,74	0,643	0,92	1,405
0,57	0,176	0,75	0,674	0,93	1,476
0,58	0,202	0,76	0,706	0,94	1,555
0,59	0,228	0,77	0,739	0,95	1,645
0,6	0,254	0,78	0,772	0,96	1,751
0,61	0,279	0,79	0,806	0,97	1,881
0,62	0,306	0,8	0,842	0,98	2,054
0,63	0,332	0,81	0,878	0,99	2,326
0,64	0,358	0,82	0,915	0,999	3,09
0,65	0,385	0,83	0,954	0,9999	3,72
0,66	0,412	0,84	0,995	0,99999	4,265
0,67	0,440	0,85	1,036

Для оценки m_η и σ_η воспользуемся методом линеаризации. Разлагая функцию η в ряд Тейлора в окрестности математического ожидания аргументов и ограничиваясь линейными членами, получим

где ; независимые случайные величины, определяющие случайный характер функции работоспособности.

В общем случае выражение для дисперсии примет вид

,

где дисперсия j-ого аргумента; корреляционный момент i-го и j-го аргументов.

Для отношения двух независимых случайных величин получим

m_η = m_хдог / m_хд,

где m_хд , m_хдог – соответственно математические ожидания действующих и допустимых значений параметров;

σ_хд, σ_хдоп – соответственно средние квадратические отклонения действующих и допустимых значений параметров.

Индекс «m» в выражении для σ_η означает, что частные производные берутся в точке математического ожидания аргументов.

После преобразований выражение для σ_η представим в виде

где - соответственно коэффициенты вариации

действующих и допустимых значений параметров.

Подставляя выражение для σ_η в соотношение для Q, получим

Таким образом, для оценки вероятности отказа по каждому параметру необходимо знание коэффициентов вариации действующих и допустимых значений параметров и коэффициента запаса η При проведении анализа будем считать известными значения коэффициентов вариации по каждому из рассматриваемых параметров. Введение этого допущения не снижает практической ценности исследования. Действительно, коэффициенты вариации обладают свойством стабильности и поэтому их значения могут быть рассчитаны по статистическим данным, полученным ранее для аналогичных изделий.

В дальнейшем рассмотрим задачу оценки для функций различного вида. Сначала рассмотрим аддитивную функцию двух переменных. Пусть

,

где и независимые, положительно определенные случайные величины.

Для данного случая имеем

Выражения удобней представить в виде

.

Далее предполагая, что отношение , можно получить следующую оценку

Отсюда

Аналогично в предположении, что , получим .

Таким образом в общем случае можно записать .

Эта оценка может быть уточнена, если известен вклад каждого из слагаемых в суммарную функцию . Предполагая независимость , получим

где относительный вклад i-го слагаемого;

математическое ожидание и дисперсия i-го параметра ;

коэффициент вариации i-го параметра.

Тогда

.

В дальнейшем рассмотрим функцию равную произведению двух переменных : .

.Производя линеаризацию функции y в окрестности математических ожиданий случайных величин и получим

.

Тогда выражения для и примут вид

.

Отсюда найдем .

Аналогично можно показать, что оценка остается справедливой и для случая, когда y является отношением двух независимых случайных величин .

Нетрудно заметить, что полученные выше формулы путем последовательной группировки слагаемых ( или сомножителей ) легко обобщить на случай трех и более переменных. Так для функции формула для примет вид

Аналогично для функции имеем

Более того методом последовательной группировки можно находить искомые оценки коэффициента вариации для различных комбинаций исходных параметров. Так для функции вида получим

В заключение найдем оценку коэффициента вариации для функции одной переменной

. Используя метод линеаризации и производя выкладки, аналогичные предыдущим, получим

В частности для функции получим .

Для иллюстрации полученных результатов в дальнейшем оценим надежность элемента конструкции.

При расчете гладких цилиндрических оболочек обычно рассматриваются следующие действующие напряжения:

1. Меридиональные ,

2. Кольцевые ,

где внутреннее избыточное давление; R—радиус оболочки; толщина оболочки;

осевая сжимающая сила и изгибающий момент; осевая перегрузка;

плотность компонента топлива; высота столба жидкости в баке.

В дальнейшем, для примера, рассмотрим надежность конструкции оболочки бака, работающего на внутреннее избыточное давление. В этом случае коэффициент запаса будет равен , где предел прочности материала бака на растяжение;

При проведении расчета примем следующие исходные данные:

атм.; 1,5; 1,14 т/м; R=2 м; h=3м ; 320 МПа ; 3мм;

5% ; 5% ; 2% ; 3%.

Результаты расчета представлены ниже:

;

;

Соответственно для коэффициентов вариации получим

;

;

.

Таким образом вероятность неразрушения оболочки будет равна

.

При расчете на устойчивость критические нагрузки оцениваются по соотношению

.

Действующие усилия удобней представить в виде

.

Соответственно математическое ожидание будет равно

, где .

Лекция №3