Пересечение проецирующих геометрических образов

ЛЕКЦИИ 5, 6

В курсе начертательной геометрии, в числе прочих, рассматриваются два типа отношений между геометрическими фигурами: позиционные и метрические. Позиционными задачами принято называть такие, в которых требуется определить положение фигуры относительно плоскостей проекций и взаимное положение (принадлежность, параллельность, пересечение или непересечение) двух и более фигур.

Детали машин и механизмов часто имеют форму, которую можно представить, как пересечение различных поверхностей – цилиндрических, конических, сферических, призматических и т.д. Это могут быть корпусные детали, кожухи, изделия с отверстиями, трубопроводы и пр. Поэтому в начертательной геометрии большое внимание уделяется задачам на построение точек и линий пересечения геометрических образов. Задачи именно этой группы и являются объектом рассмотрения настоящего методического указания.

В зависимости от расположения геометрических образов (Г.О.) задачи делятся на группы:

1. пересекающиеся Г.О. занимают проецирующее положение;

2. один из пересекающихся Г.О. проецирующий, а другой занимает общее положение;

3. оба Г.О. занимают общее положение.

При пересечении двух Г.О. есть общий элемент. Это множество точек, которые принадлежат и одному и другому геометрическому образу. Этим общим элементом могут быть:

1. точка (например, прямая линия пересекается с плоскостью);

2. прямая линия (например, пересекаются две плоскости);

3. линия (например, пересекаются плоскость и поверхность, две поверхности).

Решение задач сводится к построению общего элемента двух или более фигур. Для успешного усвоения данного материала, необходимо изучить тему «Принадлежность точки прямой линии, плоскости, поверхности», которая является первой частью раздела «Взаимное положение двух фигур».

Общей особенностью в решении задач по темам «Пересечение проецирующих Г.О.» и «Пересечение проецирующих Г.О. и Г.О. общего положения» является то, что одна проекция общего элемента есть на чертеже, ее необходимо определить и построить ее недостающую проекцию. В решении задач по теме «Пересечение Г.О. общего положения» применяются посредники. В качестве посредника могут быть использованы плоскости или сферы, в зависимости от вида пересекающихся Г.О. и их расположения.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРОЕЦИРУЮЩИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ

Особенностью этих задач является то, что общий элемент двух пересекающихся геометрических образов уже задан на чертеже.

Последовательность решения задач

1. Определить какое положение на чертеже занимают данные геометрические образы.

2. Найти общий элемент, который совпадает со следом-проекцией проецирующего геометрического образа (Г.О.).

3. Обозначить проекцию общего элемента.

4. Построить недостающую проекцию общего элемента.

5. Определить видимость геометрических образов

Задача 1: Построить точки пересечения прямой d с четырехгранной призмой (Рис.1).

Дано: Решение:

Рис. 1

Последовательность построения

1. Прямая d занимает фронтально-проецирующее положение и поэтому проецируется на фронтальную плоскость в точку.

2. Фронтальные проекции точек пересечения прямой с призмой (M₂, N₂), совпадают с фронтальной проекцией прямой d₂.

3. Строятся горизонтальные проекции точек пересечения (M₁, N₁).

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

В зависимости от расположения и формы поверхностей задачи делятся на группы:

1. Одна поверхность – проецирующая (задача 5).

2. Обе поверхности имеют общую ось симметрии и их оси параллельны (метод секущих плоскостей - задача 9).

3. Обе поверхности – это поверхности вращения и их оси пересекаются (метод секущих сфер – задача 10).

Метод секущих плоскостей

Для решения задач пользуются вспомогательными секущими плоскостями – посредниками. Эти плоскости могут занимать общее или частное положение.

Задача 9: Построить линию пересечения конуса и сферы (рис. 10).

Рис.10

Последовательность построения (рис.11):

1. Построить фронтальные проекции опорных точек 1₂ и 5₂.

2. Провести фронтально-проецирующую секущую плоскость β₂на произвольной высоте.

3. Плоскость β₂отсекает у конуса и у сферы окружности, построить горизонтальные проекции этих окружностей.

4. Найти две точки пересечения горизонтальных проекций этих окружностей - 2₁, 2_1.

5. Построить фронтальную проекцию найденных точек - 2₂.

6. Аналогичным образом строятся точки 3, 4.

7. Плавной линией соединить полученные точки.

8. Чертеж обвести с учетом видимости линий.

пересечение проецирующих геометрических образов - student2.ru

Рис.11

Метод секущих сфер

Этот метод применяется, если обе поверхности – это поверхности вращения и их оси пересекаются. В качестве посредника применяются сферы. Если центр сферы находится на оси поверхности вращения, то она пересекается с этой поверхностью по окружности. При условии принадлежности центра сферы оси поверхности вращения и перпендикулярности плоскости сферы этой оси, окружности проецируются в виде отрезков прямой.

Задача 10: Построить линию пересечения конуса и наклонного цилиндра (рис.12).

пересечение проецирующих геометрических образов - student2.ru Дано:

Рис. 12

Для решения данной задачи применяется метод секущих сфер, т.к. пересекающиеся поверхности – это поверхности вращения и их оси пересекаются.

Решение:

Рис. 13

Последовательность построения (рис.13)

1. Обозначить фронтальные проекции опорных точек 1₂, 2₂.

2. Построить горизонтальные проекции опорных точек 1₁, 2₁.

3. Провести плоскость γ₂ – перпендикулярно П₂на произвольной высоте.

4. Там, где плоскость γ₂пересекла боковую образующую конуса обозначить фронтальную проекцию точки А₂.

5. Провести окружность из центра в точке О₂ радиусом О₂ А₂.

6. Окружность пересекает боковые образующие цилиндра в точках В₂, С₂. Соединить эти точки между собой.

7. Вписанная в поверхности сфера пересекла конус и цилиндр по окружностям. Там, где эти окружности пересеклись, отметить фронтальную проекцию точки 3₂ (В₂ С₂ ∩γ₂ = 3₂).

8. Построить горизонтальную проекцию точки 3₁.

9. Аналогично строятся точки 4, 5.

10. Проекция точки 6₂ лежит на пересечении линии 1₂ 3₂ 4₂ 5₂ 2₂ с осевой линией цилиндра.

11. Построить горизонтальную проекцию точки 6₁.