Множества и их свойства. Функции.

В математике все понятия делятся на первичные и определяемые через первичные или уже известные. Основным первичным понятием математики, ее фундаментом является понятие множество. Слова «совокупность», «семейство», «система», «набор», «объединение» являются синонимами слова «множество». Под множеством понимается некоторая совокупность объектов, которые объединены в одну группу по некоторым признакам. Примеры множеств: множество учащихся в аудитории; совокупность тех из них, кто получает по математике только отличные оценки; семейство звезд Большой Медведицы; множество страниц книги; множество всех целых положительных чисел и т. д. Из приведенных примеров следует, что множество может содержать конечное или бесконечное число объектов произвольной природы. Первичными понятиями являются также точка, прямая и плоскость. Для всех остальных понятий будут даны определения.

Объекты, образующие множества называются элементами или точками множества. Множества будем обозначать: А, В,…, X, Y…, а соответствующие элементы: а,b …,x, y… Если а есть элемент множества А, то пишут . Если a не является элементом множества А, то пишут .

Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов и пишут .

Элементы множества записываются в скобках, например: .Если множество А состоит из элементов , то записывают , или . Например, - множество целых положительных чисел, которые называются натуральными числами.

Имеет место понятие пустого множества, т.е. множества, не содержащего ни одного элемента, и его обозначают Ø.

Определение 1. Множество А называется подмножеством множества В, если все элементы множества А являются элементами множества В. Обозначается: .

.

Пустое множество содержится в любом множестве, т.е. Ø А. Из определения также следует, что .

Рассмотрим операции над множествами. Пусть А и В два множества.

Определение 2.Объединением (суммой) множеств А и В называется такое множество S, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному множеству А или В. Обозначение: .

Объединение конечного числа множеств есть: , т.е. x принадлежит хотя бы одному из множеств. Можно говорить об объединении бесконечного числа множеств.

.

Определение 3.Пересечением (произведением) двух множеств А и В называется такое множество P, которое состоит из элементов множества А и элементов множества В.

.

Пересечение конечного числа множеств есть .

Определение 4.Разностью двух множеств А и В называется множество D, которое состоит из элементов множества А, но не принадлежащих множеству В.

Если , то множество называется дополнением множества В до множества А.

Определение 5.Симметрической разностью двух множеств А и В называется множество С= . Обозначается: С=А ∆ В.

Свойства операций над множествами:

1.

2.Если

3. Если

4. Ø

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Доказательство этих свойств весьма просто. Например, для доказательства равенства двух множеств надо доказать, что элемент принадлежащий левой части равенства принадлежит и правой.

Пусть заданы два множества и . Два элемента, записанные в виде , где и будем называть упорядоченной парой элементов или просто парой.

Определение 6.Декартовым произведением множеств Х и Y называется множество всех упорядоченных пар , где , и обозначается , т.е.

.

Определение 7.Подмножество F декартового произведения называется отображением множества Х в множество Y, если выполняется следующее условие: существует единственная пара . Обозначения:

Из определения следует, что не всякое подмножество является отображением Х в Y. Например, если , а , то - отображение, но - не отображение. То есть, первые элементы в F должны быть все различные. Синонимами термина «отображение» являются следующие: функция, преобразование, соответствие, морфизм. Они отличаются буквенной символикой и сферами (разделами математики) употребления. В математическом анализе обычно используют термин «функция». Часто дают и другое определение функции, не используя термин «отображение».

Определение 8.Функцией F заданной на множестве Х и принимающей значение на множестве Y называется правило, по которому элементу ставится в соответствие строго один элемент . При этом пишут: . Обозначение функции: F, Ф, f, g, и др.

Множество Х называется областью определения , а множество y: называется множеством значений функции. Каждый элемент называется аргументом или независимой переменной, а элемент или - значением функции или зависимой переменной.

Иногда говорят, что элемент у является образом элемента x при отображении F, а элемент х называют прообразом (одним из возможных) элемента у при отображении F.

Множество всех элементов называется образом множества X при отображении F, т.е. .

Пусть существует также отображение , как множество упорядоченных пар . Такое отображение называется обратной функцией и это обозначают следующим образом: .

Очевидны следующие тождества:

Если существуют отображения и одновременно, то отображение называется взаимно-однозначным.

Определение 9.Пусть . Тогда отображение , определенное равенством называется суперпозицией или сложной функцией.

Теперь дадим определение очень важного в математическом анализе понятия.

Определение 10.Функция определения на множестве натуральных чисел и принимающая значения из некоторого множества А называется последовательностью.

Пусть . Соответствующее значение последовательности будем обозначать . Последовательность будем обозначать или , где – члены последовательности. Таким образом, значения этой функции можно занумеровать.

Определение 11.Множества А и В называются эквивалентными, если существует взаимно-однозначное отображение этих множеств.

Обозначение: ~B.

Пример. Пусть - множество натуральных чисел. Обозначим множество целых чисел . Ясно . Однако покажем, что эти множества эквивалентны. Установим следующее взаимно-однозначное соответствие между N иZ. Нечетному числу поставим в соответствие положительное число . Четному числу поставим в соответствие отрицательное .

Полученная функция отображает множество N на множество взаимно-однозначно, т.е. N~Z. Здесь и т.д.

Определение 12.Пусть . Множество А называется конечным, если существует такой номер n, что А ~ . В противном случае множество А называется бесконечным.

Определение 13.Бесконечное множество А называется счетным, если А~N, в противном случае бесконечное множество называется несчетным.

Говорят, что множество А не более чем счетное, если оно либо конечно, либо счетное. Элементы такого множества можно занумеровать: .