Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе.

Предположим, что очень жесткое тело А весом Q, деформацией которого можно пренебречь, падая с некоторой высоты H, ударяет по другому телу B, опирающемуся на упругую систему С (рис.2). В частном случае это может быть падение груза на конец призматического стержня, другой конец которого закреплен (продольный удар), падение груза на балку, лежащую на опорах (изгибающий удар), и т. п.

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

Рис.2. Динамическая модель ударного нагружения.

В течение очень короткого промежутка времени упругая система С испытает некоторую деформацию. Обозначим через Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru перемещение тела В (местной деформацией которого пренебрежем) в направлении удара. В упомянутых частных случаях при продольном ударе за перемещение Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru соответственно нужно считать продольную деформацию стержня Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru , при изгибающем ударе — прогиб балки Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru в ударяемом сечении и т. п. В результате удара в системе С возникнут напряжения Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru ( Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru или Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru — в зависимости от вида деформации).

Полагая, что кинетическая энергия Т ударяющего тела полностью переходит в потенциальную энергию Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru деформации упругой системы, можем написать:

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru (1)

Так как к моменту окончания деформации ударяющее тело пройдет путь Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru , то его запас энергии будет измеряться произведенной им работой Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru и будет равен:

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru (2)

Вычислим теперь Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru . При статической деформации потенциальная энергия Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru численно равна половине произведения действующей силы на соответствующую деформацию:

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru (3)

Статическая деформация Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru в ударяемом сечении может быть вычислена по закону Гука, который в общем виде можно записать так:

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru или Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

Здесь с — некоторый коэффициент пропорциональности (называемый иногда жесткостью системы); он зависит от свойств материала, формы и размеров тела, вида деформации и положения ударяемого сечения. Так, при простом растяжении или сжатии Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru , и Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru ; при изгибе балки, шарнирно закрепленной по концам, сосредоточенной силой Q посредине пролета Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru и Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru ; и т.д.

Таким образом, выражение для энергии может быть переписано так:

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

В основу этой формулы положены две предпосылки: а) справедливость закона Гука и б) постепенный — от нуля до окончательного значения — рост силы Q, напряжений Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru и пропорциональных им деформаций Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru .

Опыты с определением модуля упругости по наблюдениям над упругими колебаниями стержней показывают, что и при динамическом действии нагрузок закон Гука остается в силе, и модуль упругости сохраняет свою величину. Что касается характера нарастания напряжений и деформаций, то и при ударе деформация происходит, хотя и быстро, но не мгновенно; Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru постепенно растет в течение очень короткого промежутка времени от нуля до окончательного значения; параллельно росту деформаций возрастают и напряжения Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru .

Реакция системы С на действие упавшего груза Q (назовем ее Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru ) является следствием развития деформации Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru ; она растет параллельно Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru от нуля до окончательной, максимальной величины и, если напряжения Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru не превосходят предела пропорциональности материала, связана с ней законом Гука:

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

где с — упомянутый выше коэффициент пропорциональности, сохраняющий свое значение и при ударе.

Таким образом, обе предпосылки для правильности формулы (3) принимаются и при ударе. Поэтому можно считать, что вид формулы для Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru при ударе будет тот же, что и при статическом нагружении системы С силой инерции Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru , т. е.

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

(Здесь учтено, что по предыдущему Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru .) Подставляя значения Т и Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru в уравнение (1), получаем:

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

или

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

Отсюда

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

или, удерживая перед радикалом для определения наибольшей величины деформации системы в направлении удара знак плюс, получаем:

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru (4)

Так как напряжения и усилия по закону Гука пропорциональны деформации, то

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru (5)
Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru (6)

Из этих формул видно, что величина динамических деформаций, напряжений и усилий зависит от величины статической деформации, т. е. от жесткости и продольных размеров ударяемого тела; ниже это дополнительно будет показано на отдельных примерах. Величина

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru (7)

в данном случае представляет собой динамический коэффициент.

Заменяя в этой формуле Н на Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru , где Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru — скорость ударяющего тела в начальный момент удара, получаем:

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru (8)

Кроме того, так как

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

где Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru —энергия ударяющего тела к моменту начала удара, то выражение для динамического коэффициента может быть представлено еще и в таком виде:

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru (9)

Если мы в формулах (4) и (5) положим Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru , т. е. просто сразу приложим груз Q, то Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru и Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru ; при внезапном приложении силы Q деформации и напряжения вдвое больше, чем при статическом действии той же силы.

Наоборот, если высота падения груза Н (или скорость Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru ) велика по сравнению с деформацией Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru , то в подкоренном выражении формул (4) — (8) можно пренебречь единицей по сравнению с величиной отношения Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru . Тогда для Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru и Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru получаются следующие выражения:

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru и Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru (10)

При очень большой величине отношения Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru можно пренебречь и единицей, стоящей перед корнем, т. е. написать:

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru и Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru (11)

Динамический коэффициент в этом случае определяется по формуле

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru (12)

Необходимо отметить, что в то время как пренебрежение единицей 2Н в подкоренном выражении допустимо уже при Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru (неточность приближенных формул будет не больше 5%). пренебрежение единицей, стоящей перед корнем, допустимо лишь при очень большой величине отношения Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru .

Так, например, для того чтобы приближенные формулы (11) и (12) давали погрешность не более 10%, отношение Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru должно быть больше 110.

Формулы Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru и Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru , в которых Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru выражается через Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru , могут быть использованы также для решения задачи о встречном ударе тел, двигающихся с некоторой скоростью, при определении напряжений в цилиндре двигателя внутреннего сгорания, вызванных резким повышением давления газа при вспышке горючей смеси и др. На этом основании их можно считать общими формулами для расчета на удар.

Обобщая сказанное выше, можем наметить следующий общий прием решения задач на определение напряжений при ударе. Применяя закон сохранения энергии, надо:

1) вычислить кинетическую энергию ударяющего тела Т;

2) вычислить потенциальную энергию Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru тел, воспринимающих удар, под нагрузкой их силами инерции при ударе; потенциальная энергия должна быть выражена через напряжение ( Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru , Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru ) в каком-либо сечении, через деформацию (удлинение, прогиб) или через силу инерции Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru ударяющего тела;

3) приравнять величины Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru и Т и из полученного уравнения найти или непосредственно динамическое напряжение, или деформацию, а по ней, пользуясь законом Гука, напряжение или силу Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru и соответствующие ей динамические напряжения и деформации.

Описанный общий прием расчета на удар предполагает, что вся кинетическая энергия ударяющего тела целиком переходит в потенциальную энергию деформации упругой системы. Это предположение не точно. Кинетическая энергия падающего груза частично превращается в тепловую энергию и энергию неупругой деформации основания, на которое опирается система.

Вместе с тем при высоких скоростях удара деформация за время удара не успевает распространиться на весь объем ударяемого тела и в месте удара возникают значительные местные напряжения, иногда превосходящие предел текучести материала. Так, например, при ударе свинцовым молотком по стальной балке большая часть кинетической энергии превращается в энергию местных деформаций. Подобное же явление может иметь место даже и в том случае, когда скорость удара мала, но жесткость или масса ударяемой конструкции велика.

Указанные случай соответствуют большим величинам дроби Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru . Поэтому можно сказать, что описанный выше метод расчета применим, пока дробь Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru не превышает определенной величины. Более точные исследования показывают, что ошибка не превышает 10% если Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru . Так как эта дробь может быть представлена в виде отношения Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru , то можно сказать, что изложенный метод применим, пока энергия удара превышает не более чем в 100 раз потенциальную энергию деформации, соответствующую статической нагрузке конструкции весом ударяющего груза. Учет массы ударяемого тела при ударе позволяет несколько расширить пределы применимости этого метода в тех случаях, когда масса ударяемого тела велика.

Более точная теория удара излагается в курсах теории упругости.

Лекция № 50. Оценка прочности при ударной нагрузке.

Вид формул, полученных для динамического коэффициента, показывает, какие большие качественные различия ведет за собой количественное изменение периода действия силы на тело.

Рассмотрим некоторые случаи удара при простейших деформациях. При этом для нахождения коэффициента динамичности применим основные полученные формулы для динамического коэффициента.

Для определения Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru , Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru и Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru используем зависимости:

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru и Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

В случае продольного растягивающего или сжимающего удара (Рис 1)

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

Рис.1. Модель продольного удара.

Для вычисления динамического коэффициента Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru может быть выбрано одно из следующих выражений:

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

После этого без затруднений вычисляются Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru , Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru и Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru .

Приближенная формула для вычисления напряжений в данном частном случае получает такой вид:

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru и Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

Замечаем, что как при статической, так и при динамической нагрузке напряжение в сжатом стержне зависит от величины сжимающей силы и от площади поперечного сечения стержня.

Но при статическом действии груза Q передающаяся на стержень сила равна Q и не зависит от размеров и материала стержня, при ударе же величина силы Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru , вызывающей напряжения в стержне, зависит от ускорения, передающегося от ударяемого тела на ударяющее, т. е. от величины промежутка времени, в течение которого изменяется скорость ударяющего тела. В свою очередь этот промежуток времени зависит от величины динамической продольной деформации Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru , от податливости стержня. Чем эта величина больше, т. е. чем меньше модуль Е и чем больше длина стержня l, тем больше продолжительность удара, меньше ускорение и меньше давление Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru .

Таким образом, при равномерном распределении напряжений, одинаковом во всех сечениях стержня, динамическое напряжение будет уменьшаться с увеличением площади поперечного сечения стержня и с увеличением его податливости (т. е. с увеличением длины и уменьшением модуля упругости Е); именно поэтому смягчают удар всякие рессоры и пружины, расположенные между ударяющимися деталями. Все это и отражают приведенные выше формулы. В частности, с известным приближением можно считать, что при продольном ударе величина напряжений зависит уже не от площади, а от объема стержня.

Вычислив величину динамического напряжения, мы можем теперь написать условие прочности в виде

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

где [ Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru ]—допускаемая величина нормальных напряжений при ударе, равная для пластичного материала Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru . Величину коэффициента запаса Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru можно было бы выбрать равной величине основного коэффициента запаса Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru при статическом действии нагрузок, так как динамичность нагрузки уже отражена. Однако, ввиду некоторой упрощенности изложенного метода расчета, этот коэффициент принимают несколько повышенным — до 2. Кроме того, обычно в этих случаях применяют материал более высокого качества (в отношении однородности и пластических свойств).

При изгибе величина статической деформации Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru , представляющей собой статический прогиб балки Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru с в месте удара, зависит от схемы нагружения и условий опирания балки.

Так например, для балки пролетом l, шарнирно закрепленной по концам и испытывающей посредине пролета удар от падающего с высоты Н груза Q (Рис.2, а),

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

а) двухопорная балка, б) консольная
Рис.2. Модели удара:

получаем:

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

для консоли, испытывающей удар от груза Q, падающего на свободный конец консоли (Рис 2, б):

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

Подставляя в формулу для коэффициента динамичности Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru значения Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru или Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru , находим Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru , а затем и величину динамических напряжений и деформаций. Так например, в случае балки на двух опорах при вычислении динамического напряжения Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru имеем такую формулу:

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

Условие прочности в этом случае напишется:

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

Приближенные формулы для вычисления Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru и Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru в случае удара по балке на двух опорах получают такой вид:

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

Аналогичные выражения для Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru и Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru получаются и в случае удара по консоли. Имея в виду, что

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

и

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

можем представить выражение для Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru еще и в таком виде:

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

Из последней приближенной формулы видно, что динамические напряжения при изгибе балки зависят от модуля упругости материала, объема балки, формы ее поперечного сечения (отношение Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru ), а также от схемы нагружения и условий опирания балки (в данном случае в подкоренном выражении стоит Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru ; для балок, иначе загруженных и закрепленных, числовой коэффициент у Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru будет другим). Таким образом, в балке прямоугольного сечения высотой h и шириной b, поставленной на ребро или положенной плашмя, наибольшие напряжения при ударе будут одинаковы и равны (по приближенной формуле):

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

так как в обоих случаях

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

Как известно, при одинаковой статической нагрузке наибольшие напряжения в балке, положенной плашмя, будут в отношении Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru больше, чем напряжения в балке, поставленной на ребро. Сказанное выше, разумеется, справедливо лишь до тех пор, пока явление удара происходит в пределах упругости.

Сопротивление балок ударным нагрузкам зависит и от момента сопротивления и от жесткости балки. Чем больше податливость, деформируемость балки, тем большую живую силу удара она может принять при одних и тех же допускаемых напряжениях. Наибольший прогиб балка дает в том случае, когда во всех ее сечениях наибольшие напряжения будут одинаковыми, т. е. если это будет балка разного сопротивления; такие балки при одном и том же допускаемом напряжении дают большие прогибы, чем балки постоянного сечения, и значит, могут поглощать большую энергию удара. Поэтому рессоры обычно и делают в форме балок равного сопротивления.

Рассмотрим теперь задачу определения напряжений при скручивающем ударе.

Если вращающийся вал внезапно останавливается торможением одного из его концов, а на другом его конце на него передается живая сила маховика Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru , скручивающая вал, то напряжения также могут быть определены указанным выше методом. Вал будет скручиваться двумя парами сил (силы инерции маховика и силы торможения) с моментом М.

В данном случае

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

и

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

Следовательно,

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

и

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

так как

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru и Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

Имея в виду, что живая сила маховика T0 равна

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

где Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru — момент инерции массы маховика, а Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru — угловая скорость, можем написать:

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе. - student2.ru

Замечаем, что и при скручивающем ударе наибольшие напряжения зависят от модуля упругости и от объема вала.

Наши рекомендации