Глава 3 кинематика и динамика идеальной жидкости
Тема 3.1 Кинематика и динамика идеальной жидкости
Виды движения жидкости. Основные понятия кинематики жидкости: линия тока, элементарная струйка и ее свойства, живое сечение, расход объемный и массовый. Поток жидкости. Средняя скорость. Уравнение постоянство расхода. Дифференциальные уравнения движения Эйлера. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости. Геометрическое и энергетическое толкование уравнения Бернулли. Гидравлическое сопротивление.
Тема 3.2. Вихревое движение жидкости.
Вихревая линия, вихревая трубка, их свойства. Угловая скорость вращения частицы жидкости. Теорема Гельмгольца о вихревом движении. Уравнение безвихревого (потенциального) движения жидкости.
Указания к темам 3.1. и 3.2.
Способы описания движения
Движущаяся жидкость представляет сплошную среду совокупности частиц, которые перемещаются с различными параметрами, изменяющимися в зависимости от координат и времени.
Частица сплошной среды — это весьма малый элемент объема среды (элементарный объем), который можно считать точечным. В кинематике жидкости возможны два способа описания движения — Лагранжа и Эйлера.
По способу Лагранжа движение жидкости задается путем указания зависимости координат определенной (намеченной) частицы жидкости от времени. Движущаяся частица жидкости описывает в пространстве траекторию, вдоль которой изменяется скорость.
На рис. 3.1, а показана траектория движения частицы А в неподвижной системе координат, где за определенное время координаты частицы изменялись с х0, z0 на xlt z1 за время t1 ; х2, z2 за время tz и т. д. Таким образом, при описании движения переменными являются скорость, ускорение и координаты частицы. Практически для большинства инженерных задач нет необходимости в знании параметров движения отдельных частиц, поэтому способ Лагранжа применяется только в особых случаях: например, Для описания переноса жидкостью мельчайших твердых частиц (ила).
Способ Эйлера заключается в том, что движение определяется полем скоростей жидкости в пространстве в каждый момент времени, т. е. описывается движение различных частиц, проходящих через намеченные точки пространства, заполненного жидкостью. При этом переменными являются скорости частиц, а координаты точки пространства, через которые проходят частицы, остаются постоянными (известными). На рис. 3.1, б показаны зафиксированные точки 1, 2, 3 в пространстве, через которые в разное время t1 , t2 проходят частицы co скоростями u1(t1), u2(t1), u3(t1), u1(t2),u2(t2),u3(t2).
Последнее обстоятельство значительно облегчает проведение теоретических и экспериментальных исследований, так как координаты зафиксированных точек в пространстве известны и постоянны.
При решении большинства инженерных задач необходимо знать, с какими скоростями различные частицы жидкости проходят через определенные элементы конструкций или инженерных сооружений или подходят к ним. Поэтому способ описания движения Эйлера принят основным.
По Эйлеру задано поле скоростей жидкости в пространстве в каждый момент времени в проекциях скорости и на оси неподвижной прямоугольной декартовой системы координат:
Проекции ускорений элементарных объемов среды в этой системе координат по правилу дифференцирования сложной функции будут:
Зная, что являются проекциями скорости и в
момент времени t, и подставляя их в уравнения проекций ускорений, получим:
Рассмотрим кинематический смысл каждого слагаемого в правой части системы уравнений (3,2).
Последние слагаемые du/dt представляют проекции локального ускорения, которое обусловливается изменением поля скоростей со временем при фиксированных координатах, т. е. местным локальным изменением.
Первые три слагаемые в правой части (3.2) дают проекции конвективного ускорения, которое образуется за счет изменения координат частицы, соответствующих ее передвижению (конвекции).
Конвективное ускорение возможно только при движении жидкости и газов.
ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ