Давление в точке покоящейся жидкости и его свойства.

Выделим вокруг точки А, находящейся внутри покоящейся жидкости, элементарный объем жидкости и рассечем его на две части произвольной плоскостью, проведенной через точку А (рис. 2.1, а). Отбросим одну из частей этого объема и для того, чтобы оставшаяся часть находилась в равновесии, заменим действие отброшенной части на площадку распределенными по ней элементарными поверхностными силами.

Предположим, что равнодействующая этих элементарных сил действует в направлении, показанном на рис. 2.1, б. Разложим на две составляющие: — лежащую в плоскости сечения и ΔР— нормальную к этой плоскости.

Очевидно, что в покоящихся ньютоновских жидкостях касательная составляющая , так как в противном случае она вызвала бы сдвиг частиц вдоль плоскости раздела. Составляющая направленная по внутренней нормали к плоскости раздела, является сжимающей и ее действие встречает со стороны жидкости равное и противоположно направленное противодействие благодаря чему равновесие жидкости не нарушается/

Значение среднего напряжения сжатия или среднего давления жидкости на элементарную площадку будет равно отношению

_к , т. е.

Уменьшая площадку вокруг точки A так, чтобы ее величина стремилась к нулю, получим давление в точке покоящейся жидкости, или гидростатическое давление,

Таким образом, элементарная сила давления, действующая на бесконечно малую площадку , может быть подсчитана как

Размерность

Единицей давления в системе СИ является паскаль (Па = Н/м²). Широко использовались также единицы давления из других систем и внесистемные единицы: килограмм-сила на квадратный сантиметр, миллиметр ртутного столба, миллиметр водяного столба и др. В настоящее время в соответствии с СТ СЭВ 1052—78 эти единицы не применяются. Учиты­вая, однако, что большинство измерительных приборов градуировано в старых единицах, а также, что в справочной литера­туре, каталогах, технических характеристиках и др. используются эти единицы, в приложении 3 приведено соотношение различных единиц давления.

Давление в точке покоящейся жидкости обладает двумя основными свойствами.

Первое свойство. Давление в точке покоящейся жидкости всегда нормально к поверхности (площадке), воспринимающей это давление. Это свойство не требует доказательства, так как оно очевидно из сказанного выше о силе

Второе свойство. Давление в точке покоящейся жидкости во всех направлениях одинаково по значению, т. е. является скаляром.

Для доказательства этого свойства возьмем в жидкости, находящейся в равновесии, точку А и выделим вокруг нее бесконечно малый объем жидкости dV в виде треугольной призмы с ребрами dx,dz,dy(рис. 2.2), причем угол наклона a ребра dn к ребру dz взят произвольным.

Отбросим мысленно всю окружающую призму жидкость, а для сохранения равновесия приложим к каждой грани соответствующие элементарные силы гидростатического давления

и т. д., которые, как было указано выше, действуют нормально к граням и будут направлены внутрь рассматриваемого объема. Кроме этих поверхностных силна жидкость, находящуюся внутри призмы, действуют еще массовые силы, результирующая которых приложена в центре тяжести объема и в общем случае равна

где j результирующее ускорение массовых сил, проекции которого на координатные оси:

j_x=x, j_y=y, j_z=z

Пользуясь принципом затвердения, согласно которому равновесие жидкого тела не нарушится, если предположить его затвердевшим, применим к выделенному объему законы механики твердого тела — спроектируем действующие на него силы на ко­ординатные оси и приравняем суммы проекций на соответствующие оси нулю.

На ось Ох или

но поскольку то или после сокращения на dydz откуда так как последним членом ввиду его малости можно пренебречь.

На ось Оz: dP_Z - dP_nsinα - dM_z = 0

или p_z dy dx - p_n dy dn sinα - 1/2ρ Z dx dy dz ,

но поскольку dnsinα = dx то p_z dy dx- p_n dydx-1/2ρZdxdydz = 0,

или после сокращения на dydx

откуда так как последним членом ввиду его малости можно пренебречь.

Поскольку порознь равны , то они равны и между собой, а так как угол был выбран произвольно, то и во всех остальных направлениях значение гидростатического давления будет одинаково