Случайные события, операции над ними и их вероятностями

Вероятность - это первоначальное понятие и только в отдельных случаях оно определяется через другие понятия. Например, при классическом определении вероятность появления события определяется равенством

,

где - число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события ; - число всех возможных элементарных исходов испытания.

Предполагается, что элементарные события образуют полную группу равновозможных попарно несовместимых событий.

Итак, понятие вероятности сводим к понятиям равновозможности и несовместимости событий.

Оказывается, что справедливы следующие утверждения, позволяющие выражать вероятности одних событий через вероятности других:

а) если события и несовместимы, то

;

б) для любых двух событий и

,

где - вероятность события при условии, что произошло событие ;

в) если события и независимы, то

.

Приведем некоторые формулы, дающие возможность находить вероятность появления события при многократно повторяющихся испытаниях, в результате каждого из которых может появиться или не появиться указанное событие.

Формула Бернулли. Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно раз (безразлично в какой последовательности), равна

где

Вероятность того, что событие наступит : а) менее раз; б) более раз;

в) не менее раз; г) не более раз - находят, соответственно, по формулам:

Формулу Бернулли легко применять в тех случаях, когда мало. Если велико, то для вычисления вероятности появления события используют формулу, которую дает следующая теорема.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что в независимых испытаниях событие наступит ровно раз, приближенно равна

где

Отметим, что функция четная и что для положительных значений составляется таблица значений [3, прил.1]. Кроме этой теоремы используем интегральную теорему Лапласа.

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит не менее и не более раз, приближенно равна

.

Здесь

Отметим, что значения нечетной функции приводятся в таблице для . Для полагают .

Задача. В партии 100 деталей, из них 90 высшего качества. Найти вероятность того, что две взятые наугад детали высшего качества.

Решение. Всего возможных пар из 100 деталей , из них пар, состоящих из деталей высшего качества, . Воспользовавшись классическим определением вероятности (считаем, что каждую пару можно взять с одинаковой вероятностью), получим

.

Задача. Три шахматиста играют в шахматы с тремя вычислительными машинами. Вероятность выигрыша партии первым шахматистом равна 0,8; для второго и третьего шахматиста эти вероятности равны 0,6 и 0,7 соответственно. Найти вероятность того, что: а) только один шахматист добьется выигрыша; б) два шахматиста выигрывают; в) все три шахматиста выигрывают; г) хотя бы один шахматист выигрывает.

Решение. Рассмотрим событие , состоящее в том, что только один шахматист выиграет. Пусть - событие, состоящее в том, что выигрывает первый шахматист, - второй, - третий; - проигрыш первого, второго и третьего шахматиста соответственно. Событие может произойти несколькими способами, т.е. распадается на несколько несовместимых вариантов: выигрыш первого шахматиста и проигрыш второго и третьего ( т.е. произойдет событие ); или же выигрыш второго шахматиста и проигрыш первого и третьего ( ); или, наконец, выигрыш третьего шахматиста и проигрыш первого и второго ( событие ).

Следовательно, .

Применяя теоремы сложения и умножения вероятностей и учитывая, что

получим

Рассуждая аналогично, событие , состоящее в том, что два шахматиста выиграют, можно записать в следующем виде:

Отсюда

Событие , состоящее в том, что все три шахматиста выиграют, запишем в виде

Тогда

Событие , состоящее в том, что хотя бы один шахматист выиграет, является противоположным событию ,состоящему в том, что ни один шахматист не выиграет, поэтому

Задача. Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке детали на токарном станке равна 0,07. Определить вероятность того, что из пяти наудачу отобранных в течение смены деталей у одной размеры диаметра не соответствуют заданному допуску.

Решение. Так как вероятность не соответствует заданному допуску у каждой детали постоянна, то к этой задаче применима формула Бернулли с

Задача. Вероятность наличия хотя бы одной детали высшего качества из двух выбранных равна 0.9946. Найти вероятность наличия трех деталей высшего качества среди четырех выбранных.

Решение. Вероятность наличия хотя бы одной детали высшего качества среди выбранных равна , где - вероятность того, что выбранная деталь не будет деталью высшего качества.

Итак,

Тогда вероятность того, что выбранная деталь будет деталью высшего качества, равна Далее, применяя формулу Бернулли, получим

Задача. В каждой из двух урн содержится 3 черных и 5 белых шаров. Из первой урны наудачу извлечен шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен шар. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны, окажется белым.

Решение.Прежде чем решать эту задачу, напомним формулу полной вероятности, которая понадобится в процессе решения. Вероятность события , которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) , образующих полную группу событий, равна

где - вероятность события , при условии, что произошло событие , . Итак, в задаче обозначим: - событие, состоящее в том, что из второй урны извлечен белый шар; - событие, состоящее в том, что из первой урны во вторую переложен белый шар, - переложен черный шар.

Ясно, что Если произойдет событие , то во второй урне окажется 9 шаров, из них 6 белых, поэтому вероятность вытащить в этом случае из второй урны белый шар окажется равной Аналогично,

Применяя формулу полной вероятности, получим

Задача. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,6. Найти вероятность того, что событие наступит 70 раз в 100 испытаниях.

Решение.Так как вероятность появления события в каждом испытании постоянна, отлична от нуля и единицы, и число испытаний достаточно велико, то для решения задачи можно применить локальную теорему Лапласа

Здесь находим по таблице. Итак, искомая вероятность приближенно будет равна 0,01.

Задача. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,9. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие появится не менее 80 и не более 90 раз.

Решение. Решение этой задачи получим, применив интегральную теорему Лапласа. Имеем

Тогда

Следовательно, искомая вероятность будет приближенно равна

т.к а .