Модели с лаговыми зависимыми переменными. Проблемы оценки их параметров. Схема Койка.

Авторегрессионные модели — это модели, уравнения которых в качестве лаговых объясняющих переменных включают значения зависимых переменных.

Пример модели авторегрессии: y_t=β₀+β₁x_t+δ₁y_t–1+ε_t,

где β₁ – это коэффициент, который характеризует краткосрочное изменение переменной у под влиянием изменения переменной х на единицу своего измерения;

δ₁– это коэффициент, который характеризует изменение переменной у в текущий момент времени t под влиянием своего изменения в предыдущий момент времени (t–1).

Промежуточным мультипликатором называется произведение коэффициентов модели авторегрессии (β₁*δ₁).

Промежуточный мультипликатор отражает общее абсолютное изменение результативной переменной у в момент времени (t+1).

Долгосрочным мультипликатором называется показатель, рассчитываемый как

Долгосрочный мультипликатор отражает общее абсолютное изменение результативной переменной у в долгосрочном периоде.

Если для модели авторегрессии выполняется условие |δ|<1, то при наличии бесконечного лага будет справедливым равенство: .

В нормальной линейной модели регрессии все факторные переменные не зависят от случайной ошибки модели. Данное условие для моделей авторегрессии нарушается, потому что переменная y_t–1 частично зависит от случайной ошибки модели ε_t. Следовательно, при оценке неизвестных коэффициентов традиционным методом наименьших квадратов ы получим смещённую оценку коэффициента при переменной y_t–1.

При определении оценок неизвестных коэффициентов модели авторегрессии используется метод инструментальных переменных (IV – Instrumental variables).

Суть метода инструментальных переменных заключается в том, что переменная y_t–1, для которой нарушается предпосылка применения метода наименьших квадратов, заменяется на новую переменную z, удовлетворяющую двум требованиям:

1. данная переменная должна тесно коррелировать с переменной y_t–1: cov(y_t–1,z)≠0;
2. данная переменная не должна коррелировать со случайной ошибкой модели ε_t: cov(z,ε)=0.

Предположим, что на основании собранных данных была построена модель авторегрессии вида:

y_t=β₀+β₁x_t+δ₁y_t–1+ε_t.

Рассчитаем оценки неизвестных коэффициентов данной модели с помощью метода инструментальных переменных.

В данной модели авторегрессии переменная y_t коррелирует с переменной x_t, следовательно, переменная y_t–1 зависит от переменной x_t–1. Охарактеризуем данную корреляционную зависимость с помощью парной модели регрессии вида:

y_t–1=k₀+k₁x_t–1+u_t,

где k₀ ,k₁ – неизвестные коэффициенты модели регрессии;

u_t – случайная ошибка модели регрессии.

Обозначим выражение k₀+k₁x_t–1 через переменную z_t–1. Тогда модель регрессии для переменной y_t–1 примет вид:

y_t–1= z_t–1+u_t.

Новая переменная z_t–1 удовлетворяет свойствам, предъявляемым к инструментальным переменным:

1. она тесно коррелирует с переменной y_t–1: cov(z_t–1,y_t–1)≠0;
2. она коррелирует со случайной ошибкой исходной модели авторегрессии ε_t: cov(ε_t, z_t–1).

Таким образом, исходная модель авторегрессии может быть представлена следующим образом:

y_t=β₀+β₁x_t+δ₁(k₀+k₁x_t–1+u_t)+ε_t= β₀+β₁x_t+δ₁ z_t–1+ν_t,

где ν_t= δ₁ u_t+ ε_t.

На следующем этапе оценки неизвестных коэффициентов преобразованной модели рассчитываются с помощью традиционного метода наименьших квадратов. Эти оценки будут являться оценками неизвестных коэффициентов исходной модели авторегрессии.

Метод Койка. Этот метод применяется в модели с бесконечным лагом: (26)

Для идентификации модели (26) предполагается, что параметры с увеличением лага убывают в геометрической прогрессии, т. е. с постоянным темпом :

(27)

Запишем выражение (27) для момента (t-1): (28)

Умножим (28) на λ и вычтем из (27):

Или (29)

Это модель авторегрессии. Определив её параметры, находим λ, а, b0 исходной модели, а затем и параметры . Данная модель позволяет определить долгосрочный мультипликатор и средний лаг .

Несмотря на то, что метод Койка очень удобен в вычислительном отношении (оценки параметров β₀, β₁ и λ можно рассчитать с помощью традиционного метода наименьших квадратов), оценки, полученные с его помощью, будут смещёнными и несостоятельными, т. к. нарушается первое условие нормальной линейной модели регрессии.

15. Двухшаговый мнк и особенности его применения в моделях с лаговыми зависимыми переменными. Инструментальные переменные, их содержание и особенности формирования.

Двухшаговый метод наименьших квадратов (TSLS) — метод оценки параметров эконометрических моделей, в частности систем одновременных уравнений, состоящий из двух этапов (шагов), на каждом из которых применяется метод наименьших квадратов.

Двухшаговый МНК тесно связан с методом инструментальных переменных. Иногда его и называют обобщенным или просто методом инструментальных переменных. При оценке одиночных уравнений используются дополнительные (инструментальные) переменные, в модели непосредственно не участвующие. Их использование связано с тем, что часть факторов модели могут не удовлетворять требованию экзогенности. При оценке систем одновременных уравнений обычно инструментами являются экзогенные переменные системы.

Экзогенные (независимые) – значения которых задаются «извне», автономно, в определенной степени они являются управляемыми (планируемыми) (X). Экзогенные переменные модели характеризуются тем, что они являются независимыми и определяются вне системы;

Лаговые – экзогенные или эндогенные переменные эконометрической модели, датированные предыдущими моментами времени и находящиеся в уравнении с текущими переменными. Например:
y_t –текущая эндогенная переменная, y_t-1 – лаговая эндогенная переменная (отстоящая от текущей на 1 период назад), y_t-2 – тоже лаговая эндогенная переменная (отстоящая от текущей на 2 периода).

Сущность метода:Пусть X — множество факторов эконометрической модели, часть которых могут быть эндогенными, часть экзогенными. Пусть также дано множество экзогенных для модели переменных Z (часть из них может участвовать в модели, а часть нет). Количество инструментов должно быть не меньше количества исходных факторов модели.

Процедура двухшагового МНК заключается в следующем:

Шаг 1. Обычным МНК оценивается регрессия факторов X на инструменты X — ZB + U. Оценки параметров этой модели, очевидно, равны:B_0LS =(Z^TZ)~¹Z^TX.

В результате получаем следующие оценки исходных переменных: X=ZB=Z(Z^TZ)~¹Z^TX = P_ZX,P_z = Z(Z^TZ)~¹Z^T

Шаг 2. На втором этапе оценивается (также обычным МНК) исходная модель с заменой факторов модели на их оценки, полученные на первом шаге: b_TSLS = (X^T X)-¹ X^T у =(X^TPTP_ZX)-¹X^TPT у

Учитывая, что Pj = P_z , P^Pz — Pz окончательно получаем формулу оценок двухшагового МНК: bTSLS = {X^TP_zX)-¹X^TP_zy , P_z = Z{Z^TZ)~¹Z^T

Если ковариационная матрица случайных ошибок модели пропорциональна единичной, то есть <т²Р то ковариационная матрица этих оценок равна _;ls = a²{X^TP_zX)-¹

Формула ковариационной матрицы аналогична обычному TSLS с учетом формулы для P_z.

Связь с методом инструментальных переменных

Двухшаговый МНК называют также обобщенным методом инструментальных переменных или просто методом инструментальных переменных. Если количество инструментов z совпадает с количеством исходных переменных (случай точной идентификации), то матрицы Z^TX, Х^Т Z являются квадратными. Следовательно

b_TSLS = (X^TZ(Z^TZ)-¹Z^TX)-¹X^TZ(Z^TZ)~¹Z^Ty= (Z^TX)-¹(Z^TZ)(X^TZ)-¹(X^TZ)(Z^TZ)~¹(Z^Ty) = (Z^TX)~¹Z^Ty

То есть получаем классическую формулу метода инструментальных переменных Ь/у = (^^TX)~¹Z^Ty.

Необходимо также отметить и связь с методом инструментальных переменных в обратном направлении, а именно двухшаговый МНК является частным случаем метода ИП, когда в качестве инструментов используются МНК-оценки факторов на некоторые переменные Z:

Ь/у = {ХХ)-¹Х y=(X^TP_zX)-¹X^TP_zy

что совпадает с формулой двухшагового МНК.

Двухшаговый МНК в системах одновременных уравнений

В системах одновременных уравнений двухшаговый МНК применяется для оценки параметров структурных уравнений, поскольку в последних в качестве факторов участвуют эндогенные переменные модели и применение обычного МНК приводит к смещенным и несостоятельным оценкам.

Здесь в качестве инструментов Z обычно выступают экзогенные переменные самой модели. Соответственно процедура оценки заключается в том, что на первом шаге обычным МНК оценивается регрессия эндогенных переменных на все экзогенные переменные системы, а затем эти оценки используют на втором шаге вместо эндогенных переменных правой части структурного уравнения, к которому применяется обычный МНК.

Такой подход позволяет получить состоятельные оценки параметров структурной формы.