Линейная дискретная фильтрация

G. Оптимальная линейная дискретная фильтрация

I. Постановка задачи оптимальной линейной фильтрации. Методы оптимальной линейной фильтрации.

Постановка задачи оптимальной линейной фильтрации

Пусть наблюдается некоторый дискретный сигнал Линейная дискретная фильтрация - student2.ru , который линейным образом связан с полезным сигналом Линейная дискретная фильтрация - student2.ru уравнением наблюдения:

Линейная дискретная фильтрация - student2.ru , (1.1)

где Линейная дискретная фильтрация - student2.ru - дискретный белый шум наблюдения.

Полезный дискретный сигнал в общем случае является случайным и задается некоторым разностным уравнением, одним из распространенных примеров которого является следующее:

Линейная дискретная фильтрация - student2.ru , (1.2)

где Линейная дискретная фильтрация - student2.ru - дискретный белый шум, формирующий полезный сигнал.

Дискретный фильтр оптимальной линейной фильтрации должен сформировать оценку полезного сигнала Линейная дискретная фильтрация - student2.ru , которая характеризуется минимальной ошибкой.

Методы оптимальной линейной фильтрации

Существуют следующие основные методы оптимальной линейной фильтрации:

- метод наименьших квадратов;

- метод реккурентной оптимальной линейной фильтрации.

В качестве критерия оптимальности обоих методов выбирается критерий минимума суммы квадратов наблюдаемых значений Линейная дискретная фильтрация - student2.ru от оцениваемых значений Линейная дискретная фильтрация - student2.ru :

Линейная дискретная фильтрация - student2.ru . (1.3)

Если шум наблюдения являются гауссовским белым шумом, то оценка по критерию минимума совпадает с оценкой по методу максимума правдоподобия.

Отличие метода наименьших квадратов от реккурентной оптимальной фильтрации заключается в том, что формирование оптимальной оценки полезного сигнала Линейная дискретная фильтрация - student2.ru осуществляется в нереальном масштабе времени после проведения всех измерений. Это приводит к следующим недостаткам метода МНК:

- большая емкость памяти устройств обработки;

- задержка выдачи оценки полезного сигнала.

От недостатков метода МНК свободны реккурентные алгоритмы оптимальной фильтрации, при которых вновь поступающий входной сигнал немедленно используется для уточнения ранее полученной оценки полезного сигнала:

Линейная дискретная фильтрация - student2.ru . (1.4)

Согласно алгоритму (1.4) обработка входного сигнала происходит последовательно в реальном масштабе времени. Теория реккурентной оптимальной линейной дискретной фильтрации случайных гауссовских сигналов была разработана американскими учеными Р.Е. Калманом и Р.С. Бьюси в 1960 – 1961 гг. Иногда термин реккурентной оптимальной линейной дискретной фильтрации случайных деесовских сигналов заменяют оптимальной линейной фильтрацией Калмана.

В ряде простейших случаев реккурентный алгоритм оптимальной линейной фильтрации может быть получен путем математических преобразований алгоритмов, полученных методом МНК. В большинстве случаев необходимо использовать оригинальные уравнения реккурентной оптимальной фильтрации, частным случаев которых является фильтр Калмана.



Наши рекомендации