Переход от изображений к оригиналам
Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:
1. Посредством обратного преобразования Лапласа
,
которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:
.
На практике этот способ применяется редко.
2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями
В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.
Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать
.
Тогда в соответствии с данными табл. 1
,
что соответствует известному результату.
3. С использованием формулы разложения
Пусть изображение искомой переменной определяется отношением двух полиномов
,
где .
Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей
, | (3) |
где - к-й корень уравнения .
Для определения коэффициентов умножим левую и правую части соотношения (3) на ( ):
.
При
.
Рассматривая полученную неопределенность типа по правилу Лапиталя, запишем
.
Таким образом,
.
Поскольку отношение есть постоянный коэффициент, то учитывая, что , окончательно получаем
. | (4) |
Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения равен нулю, т.е. , то уравнение (4) сводится к виду
.
В заключение раздела отметим, что для нахождения начального и конечного значений оригинала можно использовать предельные соотношения
которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.
Литература
- Основытеории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
- Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
- Теоретическиеосновы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.
Контрольные вопросы
- В чем заключается сущность расчета переходных процессов операторным методом?
- Что такое операторная схема замещения?
- Как при расчете операторным методом учитываются ненулевые независимые начальные условия?
- Какими способами на практике осуществляется переход от изображения к оригиналу?
- Для чего используются предельные соотношения?
- Как связаны изображение и оригинал в формуле разложения? Какие имеются варианты ее написания?
- С использованием теоремы об активном двухполюснике записать операторное изображение для тока через катушку индуктивности в цепи на рис. 6.
Ответ: .
- С использованием предельных соотношений и решения предыдущей задачи найти начальное и конечное значения тока в ветви с индуктивным элементом.
Ответ: .
где , . Корень уравнения . Тогда и . Подставляя найденные значения слагаемых формулы разложения в (1), получим . Воспользовавшись предельными соотношениями, определим и : Формулы включения Формулу разложения можно использовать для расчета переходных процессов при нулевых и ненулевых начальных условиях. Если начальные условия нулевые, то при подключении цепи к источнику постоянного, экспоненциального или синусоидального напряжения для расчета переходных процессов удобно использовать формулы включения, вытекающие из формулы разложения.
.
. В качестве примера использования формулы включения рассчитаем ток в цепи на рис. 2, если в момент времени t=0 она подсоединяется к источнику с напряжением ; ; . В соответствии с заданной формой напряжения источника для решения следует воспользоваться формулой (2). В ней . Тогда корень уравнения . Производная и . В результате . Сведение расчета переходного процесса к расчету Используя принцип наложения, расчет цепи с ненулевыми начальными условиями можно свести к расчету схемы с нулевыми начальными условиями. Последнюю цепь, содержащую пассивные элементы, можно затем с помощью преобразований последовательно-параллельных соединений и треугольника в звезду и наоборот свести к виду, позволяющему определить искомый ток по закону Ома с использованием формул включения. Методику сведения цепи к нулевым начальным условиям иллюстрирует рис. 3, на котором исходная схема на рис. 3,а заменяется эквивалентной ей схемой на рис. 3,б, где . Последняя в соответствии с принципом наложения раскладывается на две схемы; при этом в схеме на рис. 3,в составляющая общего тока равна нулю. Таким образом, полный ток равен составляющей тока в цепи на рис. 3,г, где исходный активный двухполюсник АД заменен пассивным ПД, т.е. схема сведена к нулевым начальным условиям. Следует отметить, что если определяется ток в ветви с ключом, то достаточно рассчитать схему на рис. 3,г. При расчете тока в какой-либо другой ветви АД в соответствии с вышесказанным он будет складываться из тока в этой ветви до коммутации и тока в ней, определяемого подключением ЭДС к пассивному двухполюснику. Аналогично можно показать, что отключение ветви, не содержащей индуктивных элементов, при расчете можно имитировать включением в нее источника тока, величина которого равна току в ветви до коммутации, и действующему навстречу ему. Переходная проводимость При рассмотрении метода наложения было показано, что ток в любой ветви схемы может быть представлен в виде , где - собственная (к=m) или взаимная проводимость. Это соотношение, трансформированное в уравнение
будет иметь силу и в переходном режиме, т.е. когда замыкание ключа в m-й ветви подключает к цепи находящийся в этой ветви источник постоянного напряжения . При этом является функцией времени и называется переходной проводимостью. В соответствии с (3) переходная проводимость численно равна току в ветви при подключении цепи к постоянному напряжению . Наши рекомендации
|