Частные и полное приращения функции
Для примера рассмотрим функцию двух переменных , определенную в некоторой окрестности точки .
Пусть настолько малы, что
, .
О п р е д е л е н и е 8.Частным приращением по х функции в точке называется выражение:
О п р е д е л е н и е 9.Частным приращением по у функции в точке называется выражение:
О п р е д е л е н и е 10.Полным приращением функции в точке называется выражение:
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ
О п р е д е л е н и е 11.Частной производной по х функции в точке называется конечный предел отношения частного приращения к приращению при стремлении к нулю, если этот предел существует.
Используют обозначения: или
Следовательно, имеем:
О п р е д е л е н и е 12.Частной производной по у функции в точке называется конечный предел отношения частного приращения к приращению при стремлении к нулю, если этот предел существует.
Используют обозначения: или
Следовательно, имеем:
З а м е ч а н и е 2.Из определения частных производных вытекает метод их вычисления: чтобы найти нужно продифференцировать выражение по по считая величину (величину постоянной.
З а м е ч а н и е 3. Понятия частных приращений, полного приращения, частных производных для функции любого числа переменных вводятся аналогично.
З а м е ч а н и е 4.Процедура вычисления частных производных функции нескольких переменных сводится к вычислению обыкновенной производной этой функции по одной из переменных при условии, что остальные переменные выступают в роли параметров.
Отсюда следует, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами, действующими для функции одной переменной. Однако требуется каждый раз помнить, по какой переменной вычисляется производная, а какие переменные при этом мысленно фиксируются.
П р и м е р 6. Для функции найти частные приращения и полное приращение в точке
Р е ш е н и е. Воспользовавшись определением, вычисляем в точке приращения функции :
Поэтому в точке находим:
О т в е т:
П р и м е р 7. Найти частные производные функции
(2)
и вычислить их значения в точке .
Р е ш е н и е. Считая в формуле (2) переменную постоянной, находим:
При нахождении считаем в формуле (2) переменную постоянной. Тогда находим:
Значения частных производных в точке вычислим, подставив в найденные выше формулы и
О т в е т:
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ
О п р е д е л е н и е 13.Функция называется дифференцируемой в точке , если в этой точке ее полное приращение представимо в виде:
(3)
где при и не зависят от
Т е о р е м а 1(о связи дифференцируемости и непрерывности). Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.
Т е о р е м а 2(о связи дифференцируемости с существованием частных производных). Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке она имеет частные производные по и которые равны, соответственно, А и В :
Т е о р е м а 3(достаточное условие дифференцируемости). Если функция имеет в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные по и то функция дифференцируема в точке и в формуле (3) имеем:
З а м е ч а н и е 5.В случае функции большего (чем два) числа переменных понятие дифференцируемой функции вводится аналогично. При этом естественным образом обобщаются свойства, отмеченные в теоремах 1-3.
О п р е д е л е н и е 14.Функция называется дифференцируемой в области , если она дифференцируема в любой его точке.
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Т е о р е м а 4.Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке а функция дифференцируема в соответствующей точке Тогда сложная функция , как функция переменных и дифференцируема в точке и ее частные производные в этой точке вычисляются по формулам:
(4)
З а м е ч а н и е 6. Для случая функций большего (чем два) числа переменных формулы (4) обобщаются естественным образом. Например, если
где то имеют место аналогичные равенства:
П р и м е р 8. Вычислить если где
Р е ш е н и е. Находим:
Тогда по формулам вычисления частных производных сложной функции получаем:
О т в е т:
7. ПОЛНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ
Т е о р е м а 5. Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке Тогда сложная функция , как функция одной переменной , дифференцируема в точке и ее так называемая полная производная в этой точке вычисляется по формуле:
.
С л е д с т в и е. Пусть функция дифференцируема в некоторой точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , где . Тогда сложная функция , как функция переменной , дифференцируема в точке и ее полная производная в этой точке вычисляется по формуле:
Пример 9. Найти полную производную , если и ,.
Решение. В данном случае
, , , .
Поэтому, воспользовавшись формулой вычисления полной производной, находим:
Ответ:
П р и м е р 10. Найти (частную производную) и (полную производную), если где
Р е ш е н и е. Вычисляем:
Поэтому находим полную производную:
О т в е т:
8. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
О п р е д е л е н и е 15.Полным дифференциалом функции в точке называется выражение вида:
(5)
где и независимые переменные.
З а м е ч а н и е 7(свойство инвариантности формы полного дифференциала). Формула (5) справедлива и в случае, когда зависимые переменные.
Например, пусть , где независимые переменные. В этом случае полный дифференциал функции в точке , где вычисляется по формуле (5) , причем
где
З а м е ч а н и е 8.Правила дифференцирования функции одной переменной сохраняют силу и для функции любого числа переменных. Например, от скольких бы аргументов не зависели функции и справедливы равенства:
З а м е ч а н и е 9.В точке с точностью до бесконечно малых слагаемых высшего порядка относительно можно приближенно считать: то есть
П р и м е р 11. Найти полный дифференциал функции
Р е ш е н и е. Предварительно находим: Тогда, воспользовавшись формулой (5), вычисляем
О т в е т:
Пример 12. Найти полный дифференциал функции
Решение. В данном случае , . Поэтому по формуле (5) находим: .
Ответ: .
П р и м е р 13. Вычислить приближенно число
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию Пусть Тогда Вычисляем:
Следовательно, по свойству дифференциала верно приближенное равенство:
О т в е т: