Решение задач с помощью кругов Эйлера

Методический комментарий

В пункте рассматривается некоторый класс арифметических задач, для решения которых оказывается очень удобным проведение рассуждений с опорой на схемы — круги Эйлера. С помощью последовательного заполнения числовыми данными областей на схеме запутанное условие становится ясным и наглядным.

Объяснение метода решения проводится на примере разбора типичной задачи. К пониманию проводимых рассуждений, анализу схемы учащиеся хорошо подготовлены содержанием и упражнениями предыдущего пункта.

Комментарий к упражнениям

833—835 — это варианты задачи, разобранной в тексте. Их надо решать в той последовательности, в которой они даны в учебнике.

833. Полный аналог задачи в тексте (см. рис. 9). Ответ: 10.

834. Опять последовательно заполняем схему. Для ответа на первый вопрос надо найти число, которое следует записать в общую часть кругов Б и В. Сначала поставим 0 во внешней части кругов Б и В (см. рис. 10). Далее рассуждаем так: из 15 мальчиков 10 занимаются волейболом, значит, не занимаются волейболом 5 человек; вписываем число 5 в область круга Б, не принадлежащую кругу В. Значит, только баскетболом занимаются 5 человек. А так как всего баскетболом занимаются 9 мальчиков, то в свободную часть круга Б надо вписать число 4. Таким образом, и волейболом и баскетболом занимаются 4 мальчика.

Меняем условие. Один из мальчиков не занимается спортом — вписываем во внешнюю часть кругов Б и В число 1 (см. рис. 11). Значит, в соответствии с новым условием спортом занимаются 14 мальчиков. Далее рассуждаем как при ответе на первый вопрос.

835. Сначала узнаем, что хотя бы один из этих предметов имеет
100 – 8 = 92 (семьи). Далее получаем аналог задачи 834.

836. По существу, это не задача. Смысл этого упражнения — обучение анализу схемы, иллюстрирующей соотношение между тремя подмножествами некоторого множества. Подобные схемы ученики должны будут самостоятельно чертить и заполнять при решении задач 837 и 838.

Комбинаторные задачи

Методический комментарий

Как и в 5 классе, комбинаторные задачи решаются здесь перебором возможных вариантов. Перебор может осуществляться путём непосредственного выписывания всех возможных комбинаций в соответствии с выбранной логикой перебора или с помощью другого известного детям приёма — построения дерева возможных вариантов. Но есть и существенное продвижение по сравнению с 5 классом: для задач, рассмотренных в теоретической части пункта, обсуждаются их математические модели (они описываются на языке теории множеств). Иными словами, раскрывается математическая структура задачи; ученики абстрагируются от конкретного сюжета и получают возможность осознать суть общего приёма решения.

Упражнения группы А — это всё аналоги задач, разобранных в тексте. Подчеркнём, что объяснение нужно начать с решения задачи из текста, ответа на вопросы к этой задачи и только потом переходить к выполнению соответствующих упражнений. Так, упражнения 843—845 дублируют
задачу 1, упражнения 846—849 — вариации на тему задачи 2, упражнение 850 — аналог задачи 3. Вполне возможно, что при выполнении упражнений ученики смогут дать ответ на вопрос сразу, не выполняя перебора, а опираясь на результат, полученный в ходе разбора задачи из текста. Но настаивать на этом не следует. Это возможно только в том случае, если ученик сам увидит, что он имеет дело с уже знакомой задачей (просто сюжет другой) и что ответ ему известен. Что касается задач группы Б, то они все разные, в них содержатся другие идеи.

Ещё одно замечание. Во втором примере в тексте учебника с помощью перебора решается задача, относящаяся к известному классу комбинаторных задач, подразумевающих составление всевозможных пар из некоторого множества элементов. В этот класс входят задачи на такие сюжеты, как однокруговые турниры, рукопожатия, отрезки, попарно соединяющие точки и т. д. Для них есть другой способ решения, который также позволяет получить ответ путём рассуждений, без использования формул. Например, в задаче о рукопожатиях можно было бы рассуждать так. Каждый из приятелей пожал руку семи друзьям. Так как приятелей было 8, то, умножив 7 на 8, получим 56 рукопожатий. Но нам всё равно, кто кому пожимает руку — Иванов Петрову или Петров Иванову, это одно и то же рукопожатие. Поэтому произведение 56 надо разделить на 2. Получим уже известный ответ: всего было 28 рукопожатий. Учитель может показать такой способ рассуждений, но, на наш взгляд, в 6 классе предпочтительнее непосредственный перебор. А с этим новым приёмом дети смогут познакомиться в 7 классе, когда будут изучать комбинаторное правило умножения.

Комментарий к упражнениям

852. а) Рассмотреть, сколько имеется вариантов выбора из четырёх друзей того, кто не пойдёт на матч, и осознать, что это и есть ответ на вопрос.

б) Достаточно подсчитать, сколькими способами можно выбрать двух спортсменов из четырёх кандидатов. Ответ на оба вопрос один и тот же.

853. Достаточно рассмотреть все возможные варианты того, какие монеты можно положить в один карман (при этом надо не забыть, что можно в этот карман ничего не класть).

855. Выпишем все возможные двухбуквенные слова, составленные из букв Р, А, Н, Ф. Для этого возьмём одну букву (зафиксируем её) и припишем к ней поочерёдно остальные. Получим:

РА РН РФ

АР АН АФ

НР НА НФ

ФР ФА ФН

Ответ: 12 словарей.

856. Выпишем сначала все коды, содержащие одну единицу, затем — две единицы, далее — три единицы. Получим:

0001 0010 0100 1000 — 4 варианта

0011 0101 0110 1001 1010 1100 — 6 вариантов

0111 1011 1101 1110 — 4 варианта

Ответ: в худшем случае придётся сделать 14 попыток.

Глава 11. Рациональные числа (16 уроков)

Примерное поурочное планирование учебного материала

Пункт учебника	Число уроков	Рабочая тетрадь	Дидактические материалы	Характеристика основных видов деятельности учащихся
11.1. Какие числа называют рациональными		120—124 (с. 48)	—	Применять в речи и понимать терминологию, связанную с рациональными числами; распознавать натуральные, целые, дробные, положительные, отрицательные числа; характеризовать множество рациональных чисел. Применять символьные обозначения для записи утверждений о рациональных числах, о соотношениях между подмножествами множества рациональных чисел. Применять символьное обозначение противоположного числа, объяснять смысл записей типа (–а), упрощать соответствующие записи. Изображать рациональные числа точками координатной прямой
11.2. Сравнение рациональных чисел. Модуль числа		—	О-40, П-31	Моделировать с помощью координатной прямой отношения «больше» и «меньше» для рациональных чисел. Применятьи понимать геометрический смысл понятия модуля числа, определять модуль рационального числа, использоватьсимвольное обозначение модуля для записи и чтения утверждений. Сравнивать и упорядочивать рациональные числа
11.3. Действия с рациональными числами		—	О-41, О-42, «Проверь себя», П-32, П-33	Формулировать правила сложения двух чисел одного знака, двух чисел разных знаков, правило вычитания из одного числа другого; применять эти правила для вычисления сумм, разностей. Выполнять числовые подстановки в суммы и разности, записанные с помощью букв, находить соответствующие их значения. Проводить несложные исследования, связанные со свойствами суммы нескольких рациональных чисел (например, замена знака каждого слагаемого). Формулировать правила нахождения произведения и частного двух чисел одного знака, двух чисел разных знаков, применять эти правила при умножении и делении рациональных чисел. Находить квадраты и кубы рациональных чисел. Вычислять значения числовых выражений, содержащих разные действия. Выполнять числовые подстановки в простейшие буквенные выражения, находить соответствующие их значения
11.4. Что такое координаты		—	—	Приводитьпримеры различных систем координат в окружающем мире, определять и записывать координаты объектов в различных системах координат (шахматная доска; широта и долгота, азимут и т. д.)
11.5. Прямоугольные координаты на плоскости		125—131 (с. 49—55)	—	Объяснять и иллюстрировать понятие прямоугольной системы координат на плоскости, применять в речи и понимать соответствующие термины и символику. Строить на координатной плоскости точки и фигуры по заданным координатам, определять координаты точек. Проводить несложные исследования, связанные с расположением точек на координатной плоскости
Обзор и контроль

Основные цели: выработать навыки действий с положительными и отрицательными числами, сформировать представление о координатах, познакомить с прямоугольной системой координат на плоскости.

Обзор главы. Основное внимание при изучении рациональных чисел уделяется обобщению и развитию знаний, полученных учащимися в ходе изучения целых чисел. При этом уровень сложности вычислительных заданий ограничен: он не выходит за рамки необходимого для последующего применения. Учащиеся должны научиться сравнивать рациональные числа, аргументируя свой ответ любым подходящим образом, изображать числа точками на координатной прямой, выполнять арифметические действия над положительными и отрицательными числами.

Здесь же продолжается линия решения текстовых задач.

Учащиеся учатся составлять уравнение по условию задачи и находить из него нужную величину (или число объектов).

Для более отчётливого понимания собственно идеи координат в учебнике рассматриваются примеры различных систем координат. Важно, чтобы ученики поняли сущность координат как способа записи и определения положения того или иного объекта. Основным результатом обучения при изучении данного пункта является приобретение умения определять координаты точки в прямоугольной системе координат на плоскости, а также отмечать точку по заданным координатам.

Материалы для контроля.

Пособие «Контрольные работы». Зачёт 6. Рациональные числа.

Пособие «Тематические тесты». Тест 12. Рациональные числа. Тест 13. Прямоугольные координатные плоскости.