Экстремум функции двух переменных
Говорят, что функция 
имеет максимум в точке 
, т.е. при 
, если 
для всех точек 
, достаточно близких к точке 
и отличных от неё.
Говорят, что функция имеет минимум в точке , т.е. при , если 
для всех точек , достаточно близких к точке и отличных от неё.
Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.
Теорема (необходимое условие экстремума функции двух переменных). Если функция достигает экстремума при , то каждая частная производная первого порядка от 
или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.
Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть в некоторой области, содержащей точку функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, точка является критической точкой функции 
, т.е.
,
тогда при :
1) имеет максимум, если дискриминант 
и 
, где 
;
2) имеет минимум, если дискриминант и 
;
3) не имеет ни минимума, ни максимума, если дискриминант 
;
4) если 
, то экстремум может быть, а может и не быть (требуется дополнительное исследование).
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x, y, y ′ ) = 0, в котором x — независимая переменная, y(x) — неизвестная функция. Диф- ференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной, называется уравнение dy dx = f(x, y). Правую часть уравнения будем считать определенной на некотором открытом множестве D плоскости (x, y). Иногда уравнение записывают в виде M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 (0.3) и называют уравнением первого порядка, записанным в дифференциалах
Дифференциальные уравнения с разделенными переменными
Дифференциальные уравнения с разделенными переменными имеют вид f(y)dy=g(x)dx. К ним сводятся многие дифференциальные уравнения первого порядка. В общем случае решение такого уравнения — это интегрирование обеих частей:
Уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение первого порядка y′=f(x,y) называется уравнением сразделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y: f(x,y)=p(x)h(y), где p(x) и h(y) − непрерывные функции.
Уравнение Бернулли является одним из наиболее известных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Оно записывается в видеy′+a(x)y=b(x)ym,где a(x) и b(x) − непрерывные функции.
Если m=0, то уравнение Бернулли становится линейным дифференциальным уравнением. В случае когда m=1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.
В общем случае, когда m≠0,1, уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению с помощью подстановки z=y1−m.Новое дифференциальное уравнение для функции z(x) имеет видz′+(1−m)a(x)z=(1−m)b(x)
Дифференциальное уравнение xdy+ydx=0 является уравнением в полных дифференциалах, так как d(xy)= xdy+ydx . Поэтому xy = C есть общее решение этого уравнения. 2. Аналогично для уравнения 2xydx+x2dy=0 выражение x2y=C есть общее решение, так как левая часть этого уравненияявляется дифференциалом функции u(x,y)=x2y .
| Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка |
| В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в видеF(x,y,y′,y′′)=0,где F − заданная функция указанных аргументов. Если дифференциальное уравнение можно разрешить относительно второй производной y′′, то его можно представить в следующем явном виде:y′′=f(x,y,y′).В частных случаях функция f в правой части может содержать лишь одну или две переменных. Такие неполные уравнения включают в себя 5 различных типов:y′′=f(x),y′′=f(y),y′′=f(y′),y′′=f(x,y′),y′′=f(y,y′).С помощью определенных подстановок эти уравнения можно преобразовать в уравнения первого порядка. В случае произвольных дифференциальных уравнений второго порядка, их порядок можно понизить, если эти уравнения обладают определенной симметрией. Ниже мы обсудим 2 типа таких уравнений (случаи 6 и 7): · Функция F(x,y,y′,y′′) является однородной функцией аргументов y,y′,y′′; · Функция F(x,y,y′,y′′) является точной производной функции первого порядка Φ(x,y,y′). |
Типы дифференциальных уравнений Перечислены основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ), допускающие решение. Для каждого типа указана ссылка на страницу, содержащую метод решения и подробные примеры. См. также: Дифференциальные уравнения – основные определения, классификация и свойства их решений Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка Далее в тексте  - функции своих аргументов. Штрих ' означает производную по аргументу.  - постоянные. Дифференциальные уравнения первого порядка Особенности дифференциальных уравнений первого порядка При решении уравнений первого порядка функцию y и переменную x следует считать равноправными. То есть решение может быть в виде y(x) так и в виде x(y). Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Уравнения с разделяющимися переменными   Подробнее >>> Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными  Подробнее >>> Однородные уравнения  Подробнее >>> Уравнения, приводящиеся к однородным  Подробнее >>> Обобщенные однородные уравнения  Подробнее >>> Линейные дифференциальные уравнения
 Подробнее >>> Уравнения Риккати  Подробнее >>> Уравнения Якоби    Подробнее >>> Уравнения в полных дифференциалах  при условии  |
/