Методика решения составных арифметических задач

Составной или сложной арифметической зада­чей называется задача, которая решается двумя и большим числом арифметических действий. Ре­шение составной задачи по сравнению с простой более затрудни­тельно для школьников с нарушением интеллекта. Если при реше­нии простой задачи ученик должен был установить зависимость между числовыми данными и, руководствуясь вопросом задачи, выбрать нужное действие, то в составной задаче (хотя бы в два действия) ученик должен либо получить недостающее третье дан­ное, либо из трех числовых данных выбрать два и, учитывая отношения между ними, выбрать нужное действие. Получив про­межуточный ответ, он должен, установив зависимость между ним и имеющимся в условии третьим числовым данным, а также руко­водствуясь главным вопросом задачи, выбрать нужное действие. Следовательно, чтобы решить сложную задачу, ученик должен провести цепь логических рассуждений и сделать умозаключения.

Психологические исследования по изучению особенностей ре­шения составных арифметических задач показывают, что умствен­но отсталые школьники не узнают знакомых простых задач в контексте новой составной задачи, не актуализирует имеющихся знаний по решению уже известной, бывшей в опыте ученика, простой задачи. Это приводит к тому, что учащиеся составную

>

задачу решают по "аналогии с простой одним арифметическим действием.

Подготовительная работа к решению составных задач должна представлять собой систему упражнений, приемов, целенаправлен­но ведущих учащихся к овладению решением составных задач.

К решению составных задач учитель может переходить тогда, когда убедится, что учащиеся овладели приемами решения про­стых задач, которые войдут в составную задачу, сами могут соста­вить простую задачу определенного вида.

При решении составных задач учащиеся должны или к данным ставить вопросы, или к вопросу подбирать данные. Поэтому в подготовительный период, т. е. на протяжении всего первого года и в начале второго года обучения, следует предлагать учащимся задания: 1) к готовому условию подобрать вопрос; 2) по вопросу составить задачу, подобрав недостающие числовые данные. Эти умения пригодятся учащимся при решении составных задач.

Полезны решения таких пар задач, в которых вторая задача яв­ляется продолжением первой, т. е. ответ первой простой задачи яв­ляется данным второй простой задачи. Например: «В вазе лежало 5 красных и 7 желтых яблок. Сколько всего яблок в вазе?»; «В вазе лежало 12 яблок, 8 яблок съели. Сколько яблок осталось в вазе?»

Учащиеся решают каждую задачу отдельно. Решение задач сопоставляется. Учитель просит объяснить, почему первая задача решается сложением, а вторая — вычитанием. Обращается вни­мание учащихся на первое числовое данное второй задачи. Эта подготовительная работа необходима для того, чтобы сами уча­щиеся впоследствии научились составлять такие пары задач.

Вначале учитель предлагает: 1) только подобрать вопрос ко второй простой задаче, а затем составить вторую задачу из пары, первая задача предлагается готовой; 2) составить вторую задачу с числом, которое получилось при решении первой задачи, напри­мер: «Маша получила новогодний подарок. В нем было 6 шоколад­ных конфет и 5 карамелек. Сколько всего конфет было в подар­ке?» Решив задачу, ученики дают ответ: «Всего 11 конфет». «Те­перь придумайте задачу о конфетах на вычитание, чтобы в ней было число 11», — говорит учитель. Такой вид упражнений помо­жет учащимся выделять впоследствии из составной задачи про­стые.

Полезным приемом является составление условия задачи на основе наблюдений операций над предметными совокупностями и

подбор к этому условию вопроса. Например, учитель просит уча­щихся внимательно посмотреть, что он делает (кладет в корзину сначала 5 больших орехов, а потом еще 3 маленьких), и расска­зать. Ученики рассказывают: «В корзину вы положили сначала 5 больших орехов, а потом 3 маленьких ореха». (Числовые данные можно записать на доске.) «Какой вопрос можно поставить к условию задачи? (Сколько всего орехов положили в корзину?)

Повторите задачу».

Далее сами учащиеся включаются в предметно-практическую деятельность, и на основе выполнения действий составляются задачи. Сначала составляются задачи простые, а затем и состав­ные. Например, учитель дает ученику задание: «В коробке лежат 4 карандаша. Володя положил в коробку еще 3 карандаша. Затем он отдал 5 карандашей Тане. Что сначала сделал Володя? (Положил в коробку карандаши.) Что потом сделал Володя? (Отдал карандаши Тане.) Сколько действий сделал Володя? Какие действия? Какие вопросы можно задать Володе? Составим задачу и решим ее».

Необходимо сопоставить решение простой и составной задач. Причем составная задача должна отличаться от простой только дополнительным числовым данным и вопросом. Например: «У мальчика было в альбоме 8 марок. Он положил туда еще 6 марок. Сколько всего марок стало в альбоме?»; «У мальчика в альбоме было 8 марок. Он положил туда еще 6 марок. 9 марок он подарил товарищу. Сколько марок осталось в альбоме?» Разбираются и решаются обе задачи. Решение задач с вопросами и ответами записывается.

Далее необходимо сопоставить решение и содержание простой

и составной задач.

Во сколько действий решена первая задача? Во сколько действий решена вторая задача? Сколько действий сделал ученик в первой задаче? Сколько —

во второй?

Чем еще отличается условие первой задачи от условия второй?

Какой вопрос первой задачи? Какой вопрос второй задачи? Почему нельзя было сразу ответить на вопрос второй задачи?

Чего мы не знали?

Сопоставляя простые и составные задачи, учащиеся постепенно научатся узнавать в составной задаче простые, уже бывшие в опыте

13 Перова М. Н.

их решения. Обращая внимание на усложняющуюся ситуацию зада» чи (наличие нового действия и дополнительного числа) и сопостав­ляя вопросы задачи, учитель помогает учащимся организовать тща­тельный анализ предметной ситуации задачи, раскрыть зависимость между числовыми данными, между данными и искомым. Сначала сравнение простой и составной задач проводится после их решения, так же как и при решении простых задач, а по мере накопления опыта сравнение задач должно предшествовать решению.

Тщательному анализу условия задачи способствует требование] подчеркнуть разным цветом две простые задачи в составной.

После решения составных задач (с тремя числами) с разнород­ными действиями на нахождение суммы и остатка предъявляются | составные задачи, составленные из различных, ранее решавшихся видов простых задач: задачи на увеличение числа на несколько единиц и нахождение суммы и др.

Например: «Ребята посадили в первом ряду 8 елочек, а во втором на 4 елочки больше. Сколько всего елочек посадили ребя­та?» Нередко эту задачу учащиеся решают одним действием. Поэ­тому важно выяснить, почему эту задачу нельзя решить одним действием. Надо тщательно разобрать условие задачи, сделать рисунок или краткую запись условия, которые бы показали, что число елочек во втором ряду неизвестно, а поэтому сразу и нель­зя узнать, сколько всего елочек посадили ребята.

Разбор задачи, как было показано выше, можно начинать от главного вопроса или от числовых данных.

Покажем рассуждения, которые надо провести, подводя уча­щихся к выбору действий от главного вопроса задачи: «Что нужно узнать в задаче? Какие елочки входят в число всех елочек? Можем ли сразу узнать, сколько всего елочек посадили ребята? Почему нет? Какого числа мы не знаем? Можно ли сейчас узнать, сколько елочек во втором ряду? Каким действием это можно сделать? Почему? Теперь мы знаем, сколько елочек в первом ряду, и узнали, сколько их во втором ряду. Можно ли теперь ответить на вопрос задачи? Каким действием? Почему? Решили ли мы задачу? Почему? Во сколько действий задача? Какое первое действие? Какое второе действие? Запишем решение задачи с пояснением».

Решение.

1) 8 ел.+4 ел. = 12 елочек посадили ребята во втором ряду;

2) 8 ел.+ 12 ел.=20 елочек посадили ребята.
378

Решение задачи учитель закрепляет с учащимися, задавая им вопросы: «Что означает число 12 елочек в ответе первого дейст­вия? Как получили это число? Почему сделали сложение? Что показывает число 20 елочек? Сколько действий нужно было сде­лать, чтобы ответить на вопрос задачи? Почему сразу одним дей­ствием нельзя было ответить на вопрос задачи? Чего мы не знали?»

Далее можно провести последующую работу над этой же зада­чей (см. с. 357).

В период ознакомления с решением составных задач наблюда­ется смешение их с простыми. Поэтому эффективными оказыва­ются задания, в которых требуется: в простой задаче поставить такой вопрос, чтобы она решалась двумя действиями; дополнив простую задачу данными, изменить вопрос, чтобы задача решалась двумя действиями; в составной задаче изменить вопрос так, чтобы она решалась одним действием. Постоянное сопоставление про­стых и составных задач поможет сознательному их решению.

Полезны упражнения на составление сложных задач. Это будет способствовать лучшему усвоению видов простых задач, умению их узнать и вычленить в составной задаче, поможет учащимся более сознательно осуществлять анализ задач.

По мере знакомства учащихся с новыми арифметическими дей­ствиями — умножением и делением (3-й класс), а также с новы­ми математическими понятиями — учащиеся решают новые как простые, так и составные задачи, в которые входят эти простые. Например, учащиеся решают задачи на нахождение произведения и суммы или остатка, на деление на равные части и нахождение суммы, на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз и нахождение суммы и разности и т. д. Составные задачи усложня­ются как за счет включения новых видов простых задач, так и за счет увеличения количества действий, которые надо выполнить, чтобы ответить на вопрос задачи. Если во 2-х и 3-х классах учащиеся решают задачи в 2 действия, то в 4—5-х классах — в 2—3 действия, в последующих классах — в 3—4 действия.

При решении составных задач учащихся следует научить общим приемам работы над задачей: умению анализировать содер­жание задачи, выделяя известные данные, искомое (т. е. устанав­ливая, что нужно узнать в задаче), определять, каких данных недостает для ответа на главный вопрос задачи (т. е. устанавли­вая промежуточные искомые). Такому анализу содержания задачи

13* 379

во многом способствует умение учащихся конкретизировать его с
помощью предметов, иллюстраций, краткой записи, схем и черте­
жей. Учитель должен научить учащихся приемам решения задач,
показать, что решение любой задачи складывается из ряда этапов:
работы над содержанием, составления плана и выбора действий]
выполнения действий и проверки правильности решения. ,

В практике работы школы VIII вида оправдал себя прием рабо-| ты с карточками-заданиями, в которых излагается последователь ность работы над задачей.

Приведем один образец такого задания:

1.Прочитай задачу внимательно.

2. О чем эта задача? _ч

3. Что известно в задаче? Назови каждое число и объясни, что
оно показывает. .

4. Назови главный вопрос задачи. Объясни, что нужно узнать]
в задаче.

5. Запиши задачу кратко или сделай чертеж.

6. Повтори задачу по краткой записи. .

7. Можно ли сразу ответить на главный вопрос задачи? Каких
данных не хватает, чтобы ответить на этот вопрос сразу?

8. Что можно узнать сначала? Каким действием? Что можно
узнать потом?

9. Составь план решения и наметь действия. Выполни решение.

10. Проверь решение и запиши ответ задачи.

Работе по этим карточкам-заданиям учащихся следует учить. Сначала учитель сам читает каждый пункт задания в отдельности и учит отвечать учащихся на вопросы каждого пункта. Учащиеся повторяют за учителем ход рассуждения. Затем пункты задания читает один из учеников, а остальные должны быть готовы под руководством учителя провести рассуждения вслух. Далее ученик, вызванный к доске для решения задачи, читает пункт задания про себя, а вслух ведет рассуждения. Учитель оказывает ему помощь. К ответу этого ученика привлекаются и остальные учащиеся клас­са. Наконец, ученики читают задания про себя, а при комменти­ровании действий получают меньшую помощь учителя. В этот период некоторые учащиеся уже могут самостоятельно решать задачу, все меньше прибегая к карточке, т. е. можно считать, что они усвоили всю систему работы над задачей.

Часть учащихся еще длительное время пользуется этими кар­точками, но и у них постепенно формируются навыки самостоя-380

тельной работы над задачей. В классе всегда имеются один или несколько учеников, которым необходима помощь учителя. Эти ученики не овладевают навыками самостоятельной работы над задачей, и им приходится оказывать помощь наводящими вопроса­ми и при записи содержания задачи, и при составлении плана и выбора действий.

Работа с карточками-заданиями используется широко и при ознакомлении учащихся с решением задачи нового вида. Когда учащиеся постепенно начнут усваивать решение задачи данного вида, карточки-задания следует использовать частично, т. е. не вести подробных рассуждений. Иногда ученику достаточно прочи­тать задачу, и ход решения ему становится ясен. Другим ход решения становится доступным после изображения содержания задачи в краткой форме записи. Для какой-то части учащихся дополнительно к этому нужно поставить один-два наводящих во­проса. В каждом отдельном случае учитель должен подходить дифференцированно к учащимся, учитывая их возможности и спо­собности.

Безусловно, в каждом классе есть и такие учащиеся, которым все эти виды помощи окажутся недостаточными. В этом случае таким детям учитель может на карточках дать готовый план зада­чи, а учащиеся впишут только действия или на карточках будут записывать действия по порядку таким образом: 1) П+П=; 2) П-П = ; 3) П:П = .

Знаками +, —, :, X указываются действия между числовыми данными, вместо промежуточного искомого ставятся прямоуголь­ники. Некоторым детям достаточно указать на карточке количест­во действий и сами действия знаками.

Например: «В трех школьных мастерских занимаются 115 уча­щихся. В слесарной мастерской школы занимаются 35 человек, в столярной — на 6 человек больше, остальные занимаются в швей­ной мастерской. Сколько человек занимается в швейной мастер­ской?»

Отдельным учащимся предлагаются карточки с дифференциро­ванной помощью в зависимости от индивидуальных возможностей учащихся.

Карточка Карточка

1) 35 чел.+б чел.=П 1) П+О=

2) 35 чел.+П чел.=П 2) П+П=

3) 115 чел.-П чел.=П 3) П-П=

Среди составных арифметических задач большое место и школе VIII вида занимают задачи, решаемые приведением к едп нице. В содержание таких задач входят две величины, связанные пропорциональной зависимостью. При этом даются два значения одной величины и одно из соответствующих значений другой ве­личины, а определить нужно второе значение этой величины. Третья величина, связанная с двумя данными, остается без изме­нения. Например, в задаче: «За 3 булочки заплатили 6 р. Купили 5 таких булочек. Сколько будет стоить покупка?» — даны два значения количества (количество булочек 3 и 5), одно значение стоимости. Второе значение стоимости неизвестно (искомое). Цена постоянная.

Подготовительная работа к решению этих задач начинается с решения простых задач на нахождение суммы одинаковых слагае­мых (или на нахождение произведения), на деление на равные части, тесно связанные с задачами на прямое приведение к единице.

С задачами на нахождение стоимости по цене и количеству учащиеся знакомятся в 3-м классе.

Можно начать работу над такими задачами, устраивая игры в магазин. На витрине магазина разложены товары. Это могут быть учебные принадлежности, книги, игрушки с указанием цены. Учи­тель обращает внимание на термин «цена». Он просит назвать цены ряда товаров. Ученику предлагается выбрать предмет для покупки и купить не один, а два или три таких предмета. На основе этого составляется задача, например: «Цена одной тетради 2 р. Валя купила 3 тетради. Сколько денег уплатила Валя за все тетради?»

Учитель ставит вопросы: «Что известно в задаче? Что показы­вает число 2р.? (Цену одной тетради.) Что показывает число 3 тетради? (Количество купленных тетрадей.) Что неизвестно в за­даче?» (Стоимость всей покупки.) (Слова «цена», «количество», «стоимость» учащиеся могут и не называть. Их называет в этом случае учитель.)

При разборе задачи учитель интонацией голоса подчеркивает слова «цена», «количество», «стоимость». Задача иллюстрируется.

Чтобы учащиеся лучше запомнили слова «цена», «количество», «стоимость», а также чтобы нагляднее показать зависимость между величинами, целесообразно составить таблицу, в которую необходимо вписать эти величины.

Составляются и решаются аналогичные задачи на покупку дру­гих предметов.

Учитель подводит учащихся к обобщению, что по цене и коли­честву можно узнать стоимость, если цену товара умножить на количество.

Цена	Количество	Стоимость
2 Р.	3 тетради	?

На следующий год (4-й класс) вводятся те же задачи на зави­симость между величинами, но неизвестными являются в них либо цена, либо количество. Учащиеся сами должны научиться составлять таблицы при решении подобных задач и вписывать в них числовые данные. Искомые могут быть обозначены либо зна­ком вопроса (?), либо буквой х.

Цена	Количество	Стоимость
2 р.	3 булочки
?	4 булочки	8 р.
2 р.	)	16 р.

Сначала решается задача на определение стоимости по цене и количеству. Рассуждение проводится так: «Какова цена 1 булоч­ки? Запишем под словом «цена» 2 р. Сколько булочек купили? (Какое количество булочек?) Под словом «количество» запишем 3 булочки. Что нужно узнать в задаче? (Стоимость булочек.) Как узнать стоимость, если известны цена и количество? (Цену умно­жить на количество: 2 р. хЗ=6 р.)»

Далее учащиеся знакомятся с задачей вида: «Купили 4 булочки за 8 р. Сколько денег заплатили за 1 булочку?»

Рассуждаем так: «Что известно в задаче? Что означает число 4 булочки? (Количество.) Что означает число 8 р.? (Стоимость.) Что нужно узнать? (Цену 1 булочки.) Каким действием можно узнать цену 1 булочки?» (Если учащиеся не ответят, что нужно 8 р.:4, то рассуждение проводится так: «4 булочки стоят 8 р. Дешевле или до­роже стоит 1 булочка? Во сколько раз дешевле 1 булочка, чем 4 бу­лочки? Значит, какое действие надо сделать?»)

Решив еще несколько задач, учащиеся подводятся к выводу: «Чтобы определить цену, нужно стоимость разделить на количест­во».

Так же учащиеся учатся решать задачи на определение количе­ства по стоимости и цене.

Решение таких задач готовит учащихся к знакомству с задача­ми на прямое приведение к единице, например: «3 тетради стоят 9 р. Сколько стоят 5 таких тетрадей?»

Разбор этой задачи лучше начинать с вопроса задачи: «Можно ли сразу узнать, сколько стоят 5 тетрадей? Почему нельзя? Что нам неизвестно? Можно ли узнать из условия задачи, сколько стоит одна тетрадь? Каким действием это можно узнать? Почему делением? Когда будем знать цену одной тетради, можно ли уз­нать стоимость 5 тетрадей? Каким действием? Почему? А какой главный вопрос задачи? Ответили ли мы на главный вопрос зада­чи? Какой первый вопрос задачи? Какой второй вопрос задачи? Запишем решение задачи с вопросами».

Решение

1. Сколько стоит одна тетрадь?

9 р.:3=3 р.

2. Сколько стоят 5 тетрадей?

3 р.х!5 р. Ответ. 15 р. стоят 5 тетрадей.

Чтобы учащиеся более осознанно решали сложные задачи, по­лезно сравнивать их с простыми задачами. Например, только что решенную задачу следует сравнить с такой простой задачей: «1 тетрадь стоит 3 р. Сколько стоят 5 таких же тетрадей?»

«Что нужно было узнать во второй задаче? Что нужно было узнать в первой задаче? Почему во второй задаче сразу ответили на вопрос задачи, а в первой задаче надо было сделать еще одно действие?»

Если учащиеся затрудняются ответить на этот вопрос, то учи­тель спрашивает: «Чего мы не знали в первой задаче? Без какого числа нельзя было ответить на вопрос задачи?»

Можно рассмотреть задачи на обратное приведение к единице, например: «6 тетрадей стоят 12 р. Сколько тетрадей можно ку­пить на 24 р.?»

Предварительно решаются задачи на нахождение количества по стоимости и цене, например: «1 тетрадь стоит 2 р. Сколько тетрадей можно купить на 24 р.?»

При решении задачи на обратное приведение к единице рас­суждение можно проводить от данных задачи, например: «6 тетра­дей стоят 12 р. Что отсюда можно узнать? (Цену одной тетради.) Каким действием узнаем цену одной тетради? Если знаем цену 384

тетради и стоимость всех тетрадей (24 р.), то что отсюда можем узнать? (Количество тетрадей.) Каким действием? Какой первый вопрос задачи? Какое первое действие? Какой второй вопрос зада­чи? Какое второе действие? Решение задачи запишем так: сначала план, а потом действия».

План

Решение

1) 12 р.:6=2 р. 2) 24 р.:2 р=12 (тетрадей)

1. Сколько стоит одна тетрадь?

2. Сколько тетрадей купили?
Ответ. Купили 12 тетрадей.

Учащимся школы VIII вида очень трудно отдифференцировать два вида этих взаимно обратных задач, поэтому на этом этапе очень полезен прием сравнения, сопоставления условий и реше­ний этих задач, сопоставление вопросов, записей наименований в действиях, ответов.

Цена	Количество	Стоимость
Одинаковая	3 т. X	6 р. 24 р.

Использование иллюстративного изображения условий обеих задач, а затем запись условий в таблицы, как показывает опыт, во многом облегчает для учащихся решение таких задач.

Цена	Количество	Стоимость
Одинаковая	3 т.	6 р.

Задачи на прямое и обратное приведение к единице могут отражать зависимость между скоростью, временем и расстоянием; между расходом материала на одно изделие, количество изделий и общим расходом материала; между массой одного предмета, количеством предметов и общей массой; между емкостью одного сосуда, количеством сосудов и общей емкостью и т. д.