Основные кинематические параметры

Траектория. Линию, которую очерчивает материальная точка при движении в пространстве, называют траекторией.

Траектория может быть прямой и кривой, плоской и простран­ственной линией.

Уравнение траектории при плоском движении: у = f(х).

Пройденный путь. Путь измеряется вдоль траектории в направлении движения. Обозначение — S, единицы измерения — метры.

Уравнение движения точки. Уравнение, определяющее положение движущейся точки в за­висимости от времени, называется уравнением движения.

Положение точки в каждый момент времени можно опреде­лить по расстоянию, пройденному вдоль траектории от некоторой неподвижной точки, рассматрива­емой как начало отсчета (рис. 9.1). Такой способ задания движения называется естественным.

Таким образом, уравнение движения можно представить в виде S = f(t). Положение точки можно также определить, если известны ее координаты в зависимости от времени (рис. 9.2). Тогда в случае движения на плоскости должны быть заданы два уравнения:

В случае пространственного движе­ния добавляется и третья координата

z = fз(t)

Такой способ задания движения называют координатным.

Скорость движения. Векторная величина, характеризующая в данный момент быст­роту и направление движения по траектории, называется скоростью.

Скорость — вектор, в любой момент времени направленный по касатель­ной к траектории в сторону направления движения (рис. 9.3).

Если точка за равные проме­жутки времени проходит равные расстояния, то движение называют равномерным.

Средняя скорость на пути AS определяется как

где ΔS — пройденный путь за время Δt; Δt — промежуток времени.

Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то движение называют неравномерным.

В этом случае скорость — величина переменная и зависит от времени v = f(t).

При рассмотрении малых промежутков времени (Δt → 0) сред­няя скорость становится равной истинной скорости движения в дан­ный момент. Поэтому скорость в данный момент определяют как

производную пути по времени:

За единицу скорости принимают 1 м/с. Иногда скорость измеря­ют в км/ч, 1км/ч = 0,278м/с.

Ускорение точки. Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и направлению, называется ускорением точки.

Скорость точки при перемещении из точки М₁ в точку М₂ ме­няется по величине и направлению. Среднее значение ускорения за этот промежуток времени

При рассмотрении бесконечно малого промежутка времени среднее ускорение превратится в ускорение в данный мо­мент:

Обычно для удобства рассматривают две взаимно перпен­дикулярные составляющие ускорения: нормальное и касательное (рис. 9.5).

Нормальное ускорение а_п характеризует изменение скорости по направлению и определяется как

где г — радиус кривизны траектории в данный момент времени.

Нормальное ускорение всегда направлено перпендикулярно ско­рости к центру дуги.

Касательное ускорение a_t характеризует изменение скорости по величине и всегда направлено по касательной к траектории; при ускорении его направление совпадает с направлением скорости, а при замедлении оно направлено противоположно направлению век­тора скорости.

Формула для определения касательного ускорения имеет вид:

Значение полного ускорения определяется как а_t = dV/dt = v¹ = S’’ (рис. 9.6).

Примеры решения задач

Пример 1. Дано уравнение движения точки: S = 0,36t² + 0,18t. Определить скорость точки в конце третьей секунды движения и среднюю скорость за первые 3 секунды.

Решение

1. Уравнение скорости

S' = 2 • 0,36t + 0,18; v = 0,72t + 0,18.

2. Скорость в конце третьей секунды (t = Зс) v₃ = 0,72 * 3 + 0,18 = 2,34м/с.

3.Средняя скорость V_ср = dS/dt = (0,36 • 3²+ 0,18 * 3)/3 = 1,26 м/с.

Пример 2. Точка движется по кривой радиуса г = 10 м соглас­но уравнению S = 2,5t² + 1,2t + 2,5 (рис. 9.6).

Определить полное ускорение точки в конце второй секунды движения и указать направление касательной и нормальной состав­ляющих ускорения в точке М.

Решение

1.Касательное ускорение определяется как a_t = dV/dt

Уравнение скорости: v = dS/dt

Скорость будет равна v = 2 * 2,5t + 1,2; v = 5t + 1,2 (м/с).

Касательное ускорение: а_t = v' = 5 м/с².

Вывод: касательное ускорение не зависит от времени, оно посто­янно.

2. Нормальное ускорение: а_п = v²/r

Скорость на второй секунде будет равна v₂ = 5*2 + 1,2 = 11,2 м/с.

Величина нормального ускорения: а_п2 = (11,2)²/10 = 12,54 м/с² .

3. Полное ускорение:

Полное ускорение в конце второй секунды:

4. Нормальное ускорение направлено перпендикулярно скорости к центру дуги.

Касательное ускорение направлено по касательной к кривой и совпадает с направлением скорости, т. к. касательное ускорение — положительная величина (скорость растет).

Пример 3. По дуге, равной ¹/₄ длины окружности радиуса г = 16м (рис. 1.110), из положения А₀ в положение A₁ движется точка согласно уравнению s = πt². Определить скорость точки в момент, когда она проходит середину длины дуги A₀A₁, и в момент достижения положения A₁.

Решение

1. Если длина дуги А₀А₁ равна ¹/₄ длины окружности, то середина дуги А находится от начала отсчета А₀ на расстоянии ¹/₈ окружности, т, е.

2. Из заданного уравнения движения s = πt² нахо­дим, что точка после начала движения достигает се­редины дуги через промежуток времени

3. Продифференцировав уравнение движения, най­дем уравнение скорости:

4. Подставив значение t = 2 с в уравнение скорос­ти, найдем

5. Проводим в точке А (середину дуги A₀A₁) касательную к траектории и изобразим вектор скорости v (рис. 1.110).

Скорость точки в конце траектории (в положении A₁) рекомендуется найти самостоятельно. (Ответ: 17,8 м/с.)

Пример 4.Для точки, движение которой рассматривалось в примере 3, определить ускорения а и a₁ соответственно для положений точки в А и A₁.

Решение

1. Точка движется согласно уравнению s = πt²; следовательно, v =2st и из формулы

модуль касательного ускорения от време­ни не зависит, значит при любом поло­жении точки на траектории ее касатель­ное ускорение a_t = 6,28 м/с².

2. Как известно из примера 1.19, в момент, когда точка занимает на траекто­рии положение А, ее скорость v = 4π = 12,6 м/с. Следовательно, в этот мо­мент значение нормального ускорения

3. Находим направление ускорения а точки в момент, когда она проходит положение A, используя третью из формул (рис. 1.113):

4. Находим модуль ускорения точки, используя первую из формул (1.90):

Рекомендуется самостоятельно проверить полученный результат по форму­ле (1.89), а затем найти модуль и направление ускорения точки в положении (Ответ: a_t=20,8 м/с²; а₁«72°30'.)

Контрольные вопросы и задания

1. Запишите в общем виде закон движения в естественной и ко­ординатной форме.

2. Что называют траекторией движения?

3. Как определяется скорость движения точки при естественном способе задания движения?

4. Запишите формулы для определения касательного, нормаль­ного и полного ускорений.

5. Что характеризует касательное ускорение и как оно направ­лено по отношению к вектору скорости?

6. Что характеризует и как направлено нормальное ускорение?

ЛЕКЦИЯ 10

Тема 1.8. Кинематика точки

Иметь представление о скоростях средней и истинной, об уско­рении при прямолинейном и криволинейном движениях, о различ­ных видах движения точки.

Знать формулы (без вывода) и графики равномерного и равно­переменного движений точки.

Уметь определять параметры движения точки по заданному закону движения, строить и читать кинематические графики.