Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом

Знать аналитический способ определения равнодействующей силы, условия равновесия плоской сходящейся системы сил в ана­литической форме.

Уметь определять проекции силы на две взаимно перпендику­лярные оси, решать задачи на равновесие в аналитической форме.

Проекция силы на ось

Проекция силы на ось определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора (рис. 3.1).

 
  Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Величина проекции силы на ось равна произведению модуля си­лы на косинус угла между вектором силы и положительным направ­лением оси. Таким образом, проекция имеет знак: положительный при одинаковом направлении вектора силы и оси и отрицательный при направлении в сторону отрицательной полуоси (рис. 3.2).

 
  Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

F1x = F1 cos α1 >0; F2x = F2cos α2= - F2 cos β2;

cos α2 = cos (180° — β2)= — cos β2

F3x = F3 cos90° = 0; F4x = F4 cos180° = - F4.

Проекция силы на две взаимно перпендикулярные оси (рис. 3.3).

 
  Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Определение равнодействующей системы сил аналитическим способом

Величина равнодействующей равна векторной (геометрической) сумме векторов системы сил. Определяем равнодействующую геометрическим способом.

Выберем систему координат, определим пропорции всех заданных векторов на эти оси (рис. 3.4, а).

Складываем проекции всех векторов на оси х и у (рис. 3.4, б).

 
  Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Модуль (величину) равнодействующей можно найти по известным проекциям:

 
  Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Направление вектора равнодействующей можно определить по величинам и знакам косинусов углов, образуемых равнодействующей с осями координат (рис. 3.5).

Условия равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме

 
  Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Исходя из того, что равнодействующая равна нулю, получим:

Условия равновесия в аналитической форме можно сформули­ровать следующим образом:

Плоская система сходящихся сил находится в равновесии, ес­ли алгебраическая сумма проекций всех сил системы на любую ось равна нулю.

Система уравнений равновесия плоской сходящейся системы сил:

 
  Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

В задачах координатные оси выбирают так, чтобы решение было наиболее простым. Желательно, чтобы хотя бы одна неизвестная сила совпадала с осью координат.

Примеры решения задач

Пример 1. Определить величины и знаки проекций представленных на рис. 3.6 сил.

 
  Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Решение

Пример 2. Определить величину и направление равнодействующей плоской системы сходящихся сил аналитическим способом.

Решение

1.

 
  Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Определяем проекции всех сил системы на Ох (рис. 3.7, а):

Сложив алгебраически проекции, получим проекцию равнодействующей на ось Ох.

Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

 
  Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Fx = 8,66 – 20 + 10,6 = - 0,735 кН

Знак говорит о том, что равнодействующая направлен влево.

2.

 
  Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Определяем проекции всех сил на ось Оу значения проекций, получим величину проекции Оу.

Сложив алгебраически значения проек­ций, получим величину проекции равнодей­ствующей на ось Оу.

 
  Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Знак проекции соответствует на­правлению вниз. Следовательно, равно­действующая направлена влево и вниз (рис. 3.7б).

3. Определяем модуль равнодействую­щей по величинам проекций:

 
  Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

 
  Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

4. Определяем значение угла равнодействующей с осью Ох:

 
  Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

и значение угла с осью Оу:

Пример 3. Система трех сил находится в равновесии. Известны проекции двух сил системы на взаимно перпендикулярные оси Ох и )у:

Flx = 10 кН; F2x = 5 кН;

F1y = - 2 кН; F2y = 6 кН.

Определить, чему равна и как направлена третья сила системы.

Решение

 
  Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

1. Из уравнений равновесия системы определяем:

2.

 
  Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru По полученным величинам проекций определяем модуль силы:

 
  Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Направление вектора силы относитель­но оси Ох (рис. 3.8):

Угол с осью Ох будет равен

 
  Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Пример 4. Определить величину и направление реакций свя­зей для схемы, приведенной на рисунке, а под действием груза G = 30 кН. Проверить правильность определения реакций.

Решение

1. В задаче рассматривается равновесие тела, опи­рающегося на плоскость и подвешенного на нити. Заменим тело точкой 0, совпадающей с центром тяжести.

Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru 2. Приложим к точке 0 активную силу, которой является соб­ственный вес тела G. Направим ее вниз (рис. б).

3. Мысленно отбросим связи — плоскость и нить. Заменим их действие на точку 0 реакциями связей. Реакция плоскости (обо­значим ее R) проходит по нормали к плоскости в точке А, а ре­акция или усилие в нити (обозначим ее S) — по нити от точки. Обе реакции и вес тела или линии их действия должны пересе­каться в точке 0.

Изобразим действующие силы в виде системы трех сходя­щихся сил на отдельном чертеже (рис. в).

4. Выберем положение системы координат. Начало координат совмещаем с точкой 0. Ось х совмещаем с направлением линии действия реакции R, а ось у направим перпендикулярно оси х (рис. г). Определим углы между осями координат и реакциями R и S. Обычно рис. б и в не выполняют отдельно, а сразу от рис. а переходят к рис. г. Можно было ось у совместить с усилием S, и ось х направить по углом 90°, тогда решение было бы другим.

5. Составим сумму проекций всех сил на оси координат:

Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Решим систему уравнений. Из второго уравнения находим

Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Из первого уравнения находим

Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

6.Проверим решение, для чего расположим оси координат, как показано на рис. д. Составим уравнения равновесия для вновь принятых осей:

Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Решим систему уравнений способом подстановки.

Из первого уравнения найдем R:

Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Подставим это выражение во второе уравнение:

Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Очевидно, что при расположении осей, как показано на рис. д, вычисления оказались более сложными.

Ответ: R = 11,84 кН; S = 22,21 кН.

Пример 5. Определить усилия в нити и стержне кронштейна, показанного на рис. а, если G = 20 кН.

Решение

1. Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru Рассмотрим равновесие точки А (или узла А), в которой сходятся все стержни и нити.

2. Активной силой является вес груза G, направленный вниз (рис. б).

3. Отбросим связи: стержень и нить. Усилие в нити обозна­чим Sx и направим от точки А, так как нить может испытывать только растяжение. Усилие в стержне обозначим S2 и тоже на­правим от точки А, предполагая что стержень АС растянут (рис. б).

Выполним на отдельном чертеже схему действия сил в точке А (рис. в).

4. Выберем положение системы координат. Начало коорди­нат совмещаем с точкой А (рис. г). Ось х совмещаем с лини­ей действия усилия S, а ось у располагаем перпендикулярно оси х. Укажем углы между осями координат и усилиями S1.и S2.

5. Составим уравнения равновесия.

Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Из второго уравнения находим

Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Из первого уравнения находим

Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Знак «минус» перед S2 свидетельствует о том, что стержень АС не растянут, как предполагалось, а сжат.

6. Проверку решения предлагаем выполнить самостоятельно, расположив оси координат так, как показано на рис. д.

Ответ: S1 = 15,56 кН, S2 = - 29,24 кН (при принятом на черте­же направлении усилий).

Величина усилий зависит от углов наклона стержня и нити. Например, если на рис. а угол 70° заменить на 60°, сохранив угол 30°, то усилия будут равны: S1= 20 кН, S2 = - 34,64 кН. А при угле 50° S1 = 29,26 кН, S2 = - 44,8 кН. Оба усилия растут и становятся больше веса груза.

Пример 6. Как изменятся усилия в стержне и нити, если груз будет перекинут через блок, как показано на рис. а?

Остальные данные — в примере 5.

Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru Решение

1. Рассматриваемой тонкой остается точка А.

2. Активная сила (вес груза G) действует на точку горизонтально слева направо, так как груз перекинут через блок.

3. Усилия S1 и S2 прикладываем к точке А, как в примере 2.

4. Выбираем систему координат, как показано на рис. б.

 
  Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

5. Составляем и решаем уравнения равновесия:

 
  Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Из первого уравнения находим

 
  Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Из второго уравнения находим

Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru Ответ: S1 = 26,94 кН; S2 = - 10,64 кН при принятом направлении усилий на чертеже. Усилие S1 увеличилось, S2 — уменьшилось, а знаки не изменились.

Пример 7. Определить усилия в стержнях (рис. а). Массой стержней пренебречь.

Решение

В соответствии с последовательностью действий, будем рассматривать равновесие узла А к которому приложены заданные нагрузки (Р, 2Р, 3Р) и искомые реакции стержней АВ и АС.

Освободим узел А от связей, заменим их действие искомыми реакциями NАС, NAB(рис. в). Получили плоскую систему сходящихся сил.

Выбираем систему координат (рис. г).

Сила NAB перпендикулярна оси v, сила NАС — оси и; поэтому в каждое уравнение равновесия войдет лишь одна неизвестная сила:

 
  Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Силы NAB и NАС получились положительными; это значит, что предполагаемые направления сил совпадают с действительными.

На рис. д показаны силы, действующие на узел (реакции стержней), и силы, действующие на стержни (усилия в стержнях или реакции узла).

Решим тот же пример графическим методом.

Полученная система сил (см. рис. в) находится в равновесии, и, следовательно, силовой многоугольник, построенный для этой системы сил, должен быть замкнутым.

Строим силовой многоугольник. Выбираем масштаб (рис. е). От точки О (рис. ж) в выбранном масштабе откладываем сначала силу Р, затем от конца вектора Р — силу 2Р, после чего от конца вектора 2Р — силу ЗР. Масштаб следует выбрать достаточно крупный, с тем чтобы при измерении отрезков (векторов), изображающих искомые силы, можно было получить их значения без большой погрешности. Через точку b проводим линию, параллельную стержню АС, и через точку О — линию, параллельную стержню АВ. Отрезки ОС и CB представляют собой искомые усилия. Направления задан­ных сил известны; стрелки, изображающие направления искомых сил, ставим таким образом, чтобы в векторном многоугольнике было единое на­правление обхода — в данном случае против часовой стрелки. Измерив отрезки к и Ос в со­ответствии с выбранным мас­штабом, находим абсолютные величины реакций; NAcza\,2P\ Nab~4,2P.

Решение примера выполнено двумя способами, которые (в пределах точности построений) дали совпадающие результаты. Очевидно, здесь никакой допол­нительной проверки решения не требуется.

Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru Пример 8. Определить предельное значение угла а, при котором груз А (рис. а) будет находиться в по­кое. Плоскость ВС считать абсолютно гладкой.

Решение

Силы, действующие на груз А, представляют собой плоскую систему сходящихся сил. NBC — реакция наклонной плоскости.

Если груз А находится в покое, то ∑Pto = 0, т.е.

Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Контрольные вопросы и задания

Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

1. Запишите выражение для расчета проекции силы F на ось Оу (рис. 3.9).

2. Определите сумму проекций сил системы на ось Ох (рис. 3.10).

4. Определите величину силы по известным проекциям:

Fx = 3 кН; Fy = 4 кН.

5.

 
  Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru

Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом - student2.ru Груз находится в равновесии (рис. 3.11). Какая система урав­нений равновесия для шарнира А записана верно?

Указания.

1. При ответе на вопросы 1 и 2 необходимо знать, что в выраже­ние для величины проекции силы на ось подставляется угол между вектором силы и положительной полуосью координат. Не забыть, что определяется алгебраическая сумма.

2. При ответе на вопрос 4 сначала следует определить возмож­ные направления реакций в стержнях, мысленно убирая по очереди стержни и рассматривая возможные перемещения (см. лекцию 1).

Затем записать алгебраические суммы проекций сил на оси Ох и Оу. Полученные уравнения сравнить с приведенными.

5. Ответьте на вопросы тестового задания.


Наши рекомендации