Обзор методов анализа и исключения тренда

Для понимания сущности развития технологического процесса знание показателей динамики часто оказывается недостаточным и требуется аналитическая модель тренда, а также характеристика ошибки значений уровне ВР, предсказанных этой моделью. В практике изучения временного ряда разли­чают различные типы развития тренда: равномерное, равноускоренное (равнозамедленное), по экспоненте, по степенной функции, полиномом различной степени и т. д. Для решения этих углублённых задач используется «регрессионный анализ» [ ].

Исключение тренда. Линейный или полиномиальный более высокого порядка тренд может быть исключён при помощи универсального метода наименьших квадратов. Другим, сравнительно менее точным методом исключения только линейного тренда, является «метод среднего наклона».

Метод среднего наклонасостоит в следующем. Пусть исходная случайная реализация u(t) имеет вид

(2.4)

где - выборочное среднее значение функции u(t) на интервале (0, Т_r); - средний наклон функции u(t) относительно t, x(t) - исправленная реализация с нулевым средним значением и нулевым средним наклоном.

Интегрируя u(t) в пределах от 0 до Т_r/3 и от 2Т_r/3 до Т_r и вычитая первый интеграл из второго, определим значение параметра в виде

(2.5)

Заменяя непрерывные функции дискретной последовательностью {u_n}, n = 1, 2, ..., N, где N= T_r/h, получаем

(2.6),

где - наибольшее целое число, меньшее или равное N/3.

Графический пример исключения линейного тренда представлен на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Пример исключения линейного тренда: а - запись колебательного процесса U(t) при наличии тренда; б - графическое представление

линейного тренда (t) = b₀ + b₁t; в - запись колебательного процесса

с исключенным трендом U(t) - (t)

Исключение тренда методом наименьших квадратов. Обозначим значения процесса, отстоящие друг от друга на интервал h, через {u_n}, n= 1, 2, ..., N. Пусть для тренда, содержащегося в анализируемых данных, требуется найти приближение в виде полинома степени k:

(2.7)

Согласно методу наименьших квадратов, последовательность коэффициентов |b_k| выбирается таким образом, чтобы неотрицательная при любых значениях b = (b_о, b₁ ..., b_k) величина

(2.8)

называемая «суммой квадратов остатков», была наименьшей. Искомая последовательность коэффициентов отыскивается путем приравнивания нулю частных производных уравнения по переменной b_l:

В результате получается система из К+1 уравнений, где К - степень полинома тренда:

(2.9)

При решении системы (2.9) находятся искомые значения коэффициентов регрессии |b_k|, в частности, для линейного тренда (при K=1) система (2.9) запишется в виде:

а рассчитанные коэффициенты регрессии в виде:

(2.10)

(2.11)

Метод наименьших квадратов позволяет аналогичным образом достаточно просто (подставляя k > 1, см. выше) исключить и тренд, представленный полиномом более высокого порядка.

Исключение тренда является не просто этапом исключения «выбросов», но и важным промежуточным этапом цифрового анализа. Если в данных наблюдений содержится тренд, то при последующей обработке в оценки корреляционных функций и спектральных плотностей могут быть внесены сильные искажения. В частности, совершенно недостоверной окажется оценка спектральной плотности на низких частотах (см. ниже § 5.1). То есть исключение тренда позволяет правильно определять другую часть систематической составляющей временного ряда - периодическую составляющую. Поэтому исключению тренда уделяется самое серьёзное внимание и оно представлено опциями многих статистических программ.

Следует знать, что установление тренда часто производится не только с целью его исключения, то есть определения вычитаемого члена в уравнениях (2.5) - (2.6) и (2.8), но и является важной отдельной задачей при прогнозировании и управлении процессами (см. ниже § 8.5).