Кинематика потока газа в рабочем колесе с радиальной решёткой

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли считается одним из основных законов гидромеханики, он устанавливает связь между давлением в потоке жидкости и скоростью его движения в гидравлических системах: с увеличением скорости движения потока давление в нем должно падать. С его помощью объясняются многие гидродинамические эффекты. Рассмотрим некоторые хорошо известные из них. Подъем и распыление жидкости в пульверизаторе (рис. 1) происходит благодаря пониженному давлению в струе воздуха, проходящему с большой скоростью над трубочкой, опущенной в сосуд с жидкостью. Подниматься жидкость вверх заставляет атмосферное давление, которое больше давления в струе воздуха.

Шарик для пинг-понга (рис. 2) устойчиво парит в вертикальной струе воздуха, так как давление в струе меньше атмосферного, которое и прижимает шарик к струе, не давая ему упасть. Суда, идущие параллельным курсом (рис. 3), притягиваются друг к другу, что является причиной многих морских катастроф. Это объясняется понижением давления между судами из-за большей скорости воды в суженном пространстве между ними.
Подъемная сила крыла (рис. 4) обусловлена наличием разности давлений р₁ и р₂ из-за разницы скоростей V₁ иV₂, когда V₁ меньше V₂, так как частицы воздуха, находящиеся над крылом, до момента встречи на конце крыла проходят больший путь, чем частицы, расположенные снизу.
Если подуть между двумя листами бумаги, касающимися друг друга (рис. 5), то они не разойдутся, как казалось бы, должно произойти, а наоборот, прижмутся друг к другу.
Таким образом, мы видим, что уравнение Бернулли имеет широкий диапазон применения для объяснения многих гидродинамических явлений. Даниил Бернулли опубликовал его в 1738 году после многолетних размышлений и исследований, поисков и сомнений. Он был абсолютно уверен в правильности открытого им закона, связывающего статическое давление в жидкости со скоростью ее движения.

Рассмотрим вывод этого уравнения для элементарной струйки жидкости (линии тока), как он дается во всех учебниках, при стационарном ламинарном течении идеальной несжимаемой жидкости. Чтобы исключить влияние силы тяжести на движение жидкости, возьмем горизонтальный участок трубы (рис. 6), элементарную струйку также расположим горизонтально.

Рассмотрим движение элемента жидкости, определяемого длиной l₁. На выделенную часть жидкости будет действовать движущая сила, создаваемая статическим давлением p₁:
, (1)
где S₁ – площадь поперечного сечения с левой стороны выделенного участка жидкости, и сила сопротивления, определяемая статическим давлением p₂:
, (2)
где S₂ – площадь поперечного сечения с правой стороны участка.
Давление, действующее на боковую поверхность элемента жидкости, по утверждению авторов, перпендикулярно к перемещениям и работы совершать не будет.
Под действием этих двух сил выделенная часть жидкости будет двигаться слева направо. Предположим, что она переместится на некоторое небольшое расстояние и займет положение, определяемое длиной l₂, при этом левый конец элемента жидкости переместится на величину Dl₁, а правый на величину Dl₂.
В соответствии с законами механики движение элемента жидкости будет характеризоваться тем, что изменение его кинетической энергии будет равно работе всех действующих на него сил:
, (3)
где m – масса выделенного элемента жидкости, и - конечная и начальная скорости его центра масс.

Правую часть выражения (3) можно преобразовать, если обратить внимание на то, что в обоих положениях выделенного элемента имеется общая часть (не заштрихованная на рис. 6), которая будет обладать одной и той же кинетической энергией. Эту часть энергии можно ввести в уравнение (3), прибавив и отняв ее в правой части:
(4)

где m_общ – масса общей части, V_sобщ – скорость центра масс общей части.
Выражения в скобках представляют собой кинетические энергии заштрихованных участков длиной Dl₁ и Dl₂ , движущихся в силу их малой протяженности с постоянными для всех точек скоростями V₁ и V₂. Поэтому уравнение (4) примет вид:
, (5)

где Dm₁ и Dm2 – массы заштрихованных участков жидкости.
В силу непрерывности потока жидкости объемы и массы заштрихованных частей будут равны:
, (6)
где r – плотность жидкости.

Разделив выражение (5) на S₁Dl₁= S₂Dl₂, преобразуем его к виду:
(7)
После перестановки членов уравнение примет вид:
(8)
Это и есть уравнение Бернулли. Поскольку элемент жидкости может быть взят в любом месте потока и любой длины, уравнение Бернулли можно записать следующим образом:
(9)
где р и V – статическое давление и скорость движения в любом месте элементарной струйки жидкости.

Течение газа в диффузоре

Рассмотрим плоский диффузор с дозвуковым течением.

Диффузор – является расширительным каналом, так как f₁ > f₂ (площадь проходного сечения) из-за этого падает скорость С₁ > С₂. В диффузоре кинетическая энергия превращается в потенциальную, поэтому скорость С падает, а давление Р растёт. (Р₁ Р₂).

(1)

В уравнении (1) падение энергии за счёт увеличения

(увеличиваем давление, падает скорость).

Сила действия газа (Н) получается от удара молекул на единицу площади (м²), увеличивается давление. Чем больше молекул в единице объема, тем больше сила (Н) и выше давление (Па). Повысить давление значит сблизить молекулы, чтобы число ударов молекул было больше.

Вырежем на входе диффузора объём газа массой m между сечениями А и Б. При движении газа в диффузоре скорость падает и сечение А - затормаживается. Сечение Б по инерции догоняет А и следовательно происходит уменьшение объёма, то есть сжатие. Число молекул становится больше на единицу площади.

Потери в диффузоре зависят от длины пути L (потери на трение) и от вихреобразования.

В диффузоре I, L₁ > L₂ – поэтому увеличиваются потери на трение, V₁ мал и как следствие нет вихреобразования и газ течёт плавно.

В диффузоре II потери на трение меньше, потому что L₂ < L₁, но происходит резкое увеличение площади проходного сечения, так как V₂ > 12⁰, получаются вихри, увеличивается снижение К.П.Д.

Основные потери происходят в пограничном слое.

Течение газа в конфузоре

В конфузоре площадь проходного сечения уменьшается f₂ < f₁, поэтому увеличивается скорость С и в соответствии с уравнением Бернулли снижается давление Р.

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли считается одним из основных законов гидромеханики, он устанавливает связь между давлением в потоке жидкости и скоростью его движения в гидравлических системах: с увеличением скорости движения потока давление в нем должно падать. С его помощью объясняются многие гидродинамические эффекты. Рассмотрим некоторые хорошо известные из них. Подъем и распыление жидкости в пульверизаторе (рис. 1) происходит благодаря пониженному давлению в струе воздуха, проходящему с большой скоростью над трубочкой, опущенной в сосуд с жидкостью. Подниматься жидкость вверх заставляет атмосферное давление, которое больше давления в струе воздуха.

Шарик для пинг-понга (рис. 2) устойчиво парит в вертикальной струе воздуха, так как давление в струе меньше атмосферного, которое и прижимает шарик к струе, не давая ему упасть. Суда, идущие параллельным курсом (рис. 3), притягиваются друг к другу, что является причиной многих морских катастроф. Это объясняется понижением давления между судами из-за большей скорости воды в суженном пространстве между ними.
Подъемная сила крыла (рис. 4) обусловлена наличием разности давлений р₁ и р₂ из-за разницы скоростей V₁ иV₂, когда V₁ меньше V₂, так как частицы воздуха, находящиеся над крылом, до момента встречи на конце крыла проходят больший путь, чем частицы, расположенные снизу.
Если подуть между двумя листами бумаги, касающимися друг друга (рис. 5), то они не разойдутся, как казалось бы, должно произойти, а наоборот, прижмутся друг к другу.
Таким образом, мы видим, что уравнение Бернулли имеет широкий диапазон применения для объяснения многих гидродинамических явлений. Даниил Бернулли опубликовал его в 1738 году после многолетних размышлений и исследований, поисков и сомнений. Он был абсолютно уверен в правильности открытого им закона, связывающего статическое давление в жидкости со скоростью ее движения.

Рассмотрим вывод этого уравнения для элементарной струйки жидкости (линии тока), как он дается во всех учебниках, при стационарном ламинарном течении идеальной несжимаемой жидкости. Чтобы исключить влияние силы тяжести на движение жидкости, возьмем горизонтальный участок трубы (рис. 6), элементарную струйку также расположим горизонтально.

Рассмотрим движение элемента жидкости, определяемого длиной l₁. На выделенную часть жидкости будет действовать движущая сила, создаваемая статическим давлением p₁:
, (1)
где S₁ – площадь поперечного сечения с левой стороны выделенного участка жидкости, и сила сопротивления, определяемая статическим давлением p₂:
, (2)
где S₂ – площадь поперечного сечения с правой стороны участка.
Давление, действующее на боковую поверхность элемента жидкости, по утверждению авторов, перпендикулярно к перемещениям и работы совершать не будет.
Под действием этих двух сил выделенная часть жидкости будет двигаться слева направо. Предположим, что она переместится на некоторое небольшое расстояние и займет положение, определяемое длиной l₂, при этом левый конец элемента жидкости переместится на величину Dl₁, а правый на величину Dl₂.
В соответствии с законами механики движение элемента жидкости будет характеризоваться тем, что изменение его кинетической энергии будет равно работе всех действующих на него сил:
, (3)
где m – масса выделенного элемента жидкости, и - конечная и начальная скорости его центра масс.

Правую часть выражения (3) можно преобразовать, если обратить внимание на то, что в обоих положениях выделенного элемента имеется общая часть (не заштрихованная на рис. 6), которая будет обладать одной и той же кинетической энергией. Эту часть энергии можно ввести в уравнение (3), прибавив и отняв ее в правой части:
(4)

где m_общ – масса общей части, V_sобщ – скорость центра масс общей части.
Выражения в скобках представляют собой кинетические энергии заштрихованных участков длиной Dl₁ и Dl₂ , движущихся в силу их малой протяженности с постоянными для всех точек скоростями V₁ и V₂. Поэтому уравнение (4) примет вид:
, (5)

где Dm₁ и Dm2 – массы заштрихованных участков жидкости.
В силу непрерывности потока жидкости объемы и массы заштрихованных частей будут равны:
, (6)
где r – плотность жидкости.

Разделив выражение (5) на S₁Dl₁= S₂Dl₂, преобразуем его к виду:
(7)
После перестановки членов уравнение примет вид:
(8)
Это и есть уравнение Бернулли. Поскольку элемент жидкости может быть взят в любом месте потока и любой длины, уравнение Бернулли можно записать следующим образом:
(9)
где р и V – статическое давление и скорость движения в любом месте элементарной струйки жидкости.

Течение газа в диффузоре

Рассмотрим плоский диффузор с дозвуковым течением.

Диффузор – является расширительным каналом, так как f₁ > f₂ (площадь проходного сечения) из-за этого падает скорость С₁ > С₂. В диффузоре кинетическая энергия превращается в потенциальную, поэтому скорость С падает, а давление Р растёт. (Р₁ Р₂).

(1)

В уравнении (1) падение энергии за счёт увеличения

(увеличиваем давление, падает скорость).

Сила действия газа (Н) получается от удара молекул на единицу площади (м²), увеличивается давление. Чем больше молекул в единице объема, тем больше сила (Н) и выше давление (Па). Повысить давление значит сблизить молекулы, чтобы число ударов молекул было больше.

Вырежем на входе диффузора объём газа массой m между сечениями А и Б. При движении газа в диффузоре скорость падает и сечение А - затормаживается. Сечение Б по инерции догоняет А и следовательно происходит уменьшение объёма, то есть сжатие. Число молекул становится больше на единицу площади.

Потери в диффузоре зависят от длины пути L (потери на трение) и от вихреобразования.

В диффузоре I, L₁ > L₂ – поэтому увеличиваются потери на трение, V₁ мал и как следствие нет вихреобразования и газ течёт плавно.

В диффузоре II потери на трение меньше, потому что L₂ < L₁, но происходит резкое увеличение площади проходного сечения, так как V₂ > 12⁰, получаются вихри, увеличивается снижение К.П.Д.

Основные потери происходят в пограничном слое.

Течение газа в конфузоре

В конфузоре площадь проходного сечения уменьшается f₂ < f₁, поэтому увеличивается скорость С и в соответствии с уравнением Бернулли снижается давление Р.

Кинематика потока газа в рабочем колесе с радиальной решёткой

Как отмечалось ранее, поток в ступени турбокомпрессора является пространственным, т.е. трехмерным. Для упрощения задач проектирования ступеней турбокомпрессоров и анализа течения в проточной части используют двух- и одномерные модели течения.

Для понимания принципа действия турбокомпрессоров с позиции законов механики жидкости и газа достаточно рассмотреть одномерный подход в описании течения газа в проточной части. Такой подход часто составляет основу предварительных расчетов турбокомпрессоров.

Лопаточные аппараты рабочего колеса и неподвижных элементов представляют собой пространственные решетки, состоящие из лопаток, симметрично расположенных по углу поворота ротора (координата θ). При одномерном подходе параметры потока полагаются равномерно распределенными по площади контрольных сечений, условно делящих проточную часть на составные элементы.

Распределение скоростей газового потока по каждому из элементов ступени турбокомпрессора называется кинематикой потока.

Кинематика потока определяет расход газа через проточную часть, затраты работы на сжатие и перемещение газа и в связи с этим оказывает решающее влияние на эффективность, размеры и конструкцию проточной части турбокомпрессоров.

При проектировании новых турбокомпрессоров решается задача выбора наиболее целесообразной кинематической схемы движения потока (так называемая обратная задача газовой динамики).

При выполнении поверочных расчетов и анализе течения в уже существующих машинах решается прямая задача газовой динамики.

Для описания кинематики потока используют треугольники скоростей (рис. 3.1).Угол β– угол потока в относительном движении, он образован вектором относительной скорости и обратным направлением окружной скорости .Угол α– угол потока в абсолютном движении, он образован вектором абсолютной скорости и вектором .

Рис. 3.1 Треугольник скоростей

Для того чтобы построить треугольник скоростей для рабочего колеса необходимо:

• определить направлениевектора относительной скорости , направление которого (угол β₁) должно примерно соответствовать на расчетном режиме углу β_л1 (если строится треугольник скоростей на входе в РК) или углу β_л2 (если строится треугольник скоростей на выходе из РК);

• определить направление вращения рабочего колеса, а значит направление вектора переносной (окружной) скорости ;

• отложить от конца вектора скорости вектор , соединив начало вектора с концом вектора , получим вектор абсолютной скорости .

Треугольники скоростей неподвижных элементов прямоугольные, так как переносное и относительное движение в них не имеет смысла, а есть только проекции вектора абсолютной скорости С_r, С_z и С_u.

Условимся в дальнейшем, в обозначении векторов скоростей, знак вектора вверху символа опускать.

В случае нерасчетных режимов работы вектор относительной скорости на входе в решетку не совпадает с направлением касательной к средней линии профиля.

Угол между направлением входной скорости W₁ и направлением касательной в передней точке к средней линии профиля называется угломатаки

.

Угол атаки может иметь как положительные значения, так и отрицательные (рис. 3.2). Положительные значения углов атаки соответствую пониженному расходу газа, а отрицательные – повышенному.

Для ПНА угол атаки

.

При выходе из решетки поток отстает от геометрического угла установки лопатки β_л2 на величину угла β, который называется углом отставания потока

.

Разница между направлением потока на входе и выходе называется углом разворота потока ε=β₂ – β₁.

В компрессорных ступенях угол разворота потока находится обычно в пределах . Для сравнения, в ступенях осевых турбин это значение гораздо больше . Возможность применения больших углов разворота потока в турбинных ступенях объясняется тем, что компрессорные решетки, в отличие от турбинных, имеют расширяющиеся межлопаточные каналы, т.е.в турбинных решетках характер течения конфузорный, а в компрессорных – диффузорный.Такой характер течения в межлопаточных каналах компрессорных ступеней, особенно при больших углах разворота, приводит к срыву потока с лопаток и снижению эффективности работы ступени.

Рис. 3.2 Углы атаки на входе в решетку рабочего колесаи угол отставания потока

На рис. 3.3 показаны треугольники скоростей в круговых лопаточных решетках ступени ЦК промежуточного типа.

а)

б)

Рис. 3.3 Кинематика потока в ступени центробежного компрессора:

а) схема ступени и потока в круговых лопаточных решетках;

б) треугольники скоростей